机械能守恒定律的理解及应用

机械能守恒定律的理解及应用一、机械能守恒定律：1.机械能守恒定律内容表述:①表述一:在只有重力做功的情形下,物体的动能和重力势能发生相互转化,但总的机械能保持不变.这个结论叫做机械能守恒定律.不但动能和重力势能的相互转化中机械能保持不变,在弹性势能和动能的转化过程中,如果只有弹簧的弹力做功,机械能也是保持不变的.②表述二:在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化,但总的机械能不变.这个结论叫做机械能守恒定律.机械能守恒定律是力学中的一条重要定律,又是更普遍的能的转化和守恒定律的一种特殊情况.2.怎样理解机械能守恒定律:①只有重力做功的情形：重力势能是相对的，表达式为Ep=mgh，式中的h是物体的重心到参考平面(零重力势能面)的高度．若物体在参考平面以上，则重力势能为正；若物体在参考平面以下，则重力势能为负．通常，选择地面作为零重力势能参考平面．重力势能的变化量与零重力势能的选取无关．重力对物体做多少正功，物体的重力势能就减少多少；重力对物体做多少负功，物体的重力势能就增加多少．即W重=-ΔE重．②只有弹力做功的情形：一个物体由于外力的作用发生形变,如果撤去外力后形变会消失,这种形变就叫做弹性形变.物体因发生弹性形变而具有的势能叫做弹性势能.和重力势能一样，弹性势能也是相对的.对于弹簧的弹性势能一般取其为原长时弹性势能为零.弹力对物体做了多少负功，物体的弹性势能就增加多少．即W弹=-ΔE弹．重力做功和弹力做功均和途径无关.重力势能的大小与哪些因素有关,学生容易理解.以下就弹性势能的大小与哪些因素有关做出说明:一个物体在A位置时,弹簧处于原长,如图１所示．我们对物体从A→B→C→B→A的过程进行分析．当物体到B位置时,弹簧的弹力做了负功,弹簧具有了弹性势能.再将物体推到C处,弹力又做了负功,弹簧的弹性势能进一步增加.当物体从C回到B,弹力做正功,弹簧的弹性势能减少.再将物体从B回到A，弹力继续做正功，弹簧的弹性势能继续减少．从这个例子,我们注意到：(Ⅰ)和重力势能一样,物体的弹性势能和弹力做功密切相关.弹力做多少负功(外力克服弹力做功),物体的弹性势能就增加多少；弹力做多少正功(弹力克服外力做功),物体的弹性势能就减少多少.(Ⅱ)和重力一样,弹力做功也和途径无关.物体从B到C弹力做的负功和C到B弹力做的正功相互抵消,因此物体从A直接到B跟物体从A到C再回到B做的功是一样多的.这个问题可以这样理解，由于物体在同一个位置的弹力相同，在B、C间靠着很近的两个点之间，向左移动和向右移动经过这两个点做的功，大小相同，符号相反如图１所示．而力在一段位移对物体做功的总量是力对每一小段位移做功的累加．所以，物体从B到C弹力做的负功和C到B弹力做的正功相互抵消（图１中，为了清楚的表示物理量的关系，把B、C间靠着很近的两个点的间距放大了）．不难想象,在压缩弹簧中的过程,弹力做的功和两个因素有关：一个是弹簧的劲度系数；另一个是压缩的距离.因此对同一根弹簧,形变越大弹性势能越大,两根弹簧发生同样的形变,1F2F2F1F位移方向位移方向2图1图劲度系数大的弹簧弹性势能大.由于弹簧从平衡位置拉伸和压缩相同的长度时的力相同，所以同一根弹簧，从平衡位置拉伸和压缩相同的长度时，弹簧的弹性势能相同．所以，弹簧的弹性势能与弹簧的劲度系数和形变量两个因素有关．③机械能守恒定律动能和势能之和称为机械能.一种形式的机械能可以和另一种形式的机械能相互转化.下面我们看一些例子.物体自由下落或沿光滑斜面滑下的时候,重力对物体做功,物体的重力势能减少；而物体速度越来越大,表示物体的动能增加了.这时重力势能转变为动能.原来具有一定速度的物体,在竖直上升或沿光滑斜面上升的过程中,物体克服重力做功,速度越来越小,物体动能减少了；而随着高度增加,重力势能却增加了.这时动能转化成重力势能.弹性势能也可以和动能相互转化.放开一个被压缩的弹簧,它可以把一个与它接触的小球弹出去.这时弹力做功,弹簧的弹性势能就减少；同时小球得到一定的速度,动能增加.放开被拉开的弓把箭射出去,这时弓的弹性势能减少,箭的动能增加.从这些例子我们可以看出,机械能的相互转化是通过重力或弹力做功来实现的.重力或弹力做功的过程,也就是机械能从一种形式转化为另一种形式的过程.那么在各种机械能相互转化的过程中有什么规律呢?我们用一个最简单的例子来看一下.一个做自由落体运动的小球从1位置下落到2位置,设小球在位置1和2的速度分别为v1和v2,1位置和2位置离地的高度分别为h1和h2(如图３).根据落体运动的规律可知：)(2212122hhgvv等式两边都乘以0.5m,得22211211mvmvmghmgh22由此可知,在小球从1位置落到2位置的过程中,它重力势能的减少量等于它动能的增加量,也就是说它在下落过程中机械能总量保持不变.机械能守恒定律关系式的推导，我们还可以通过下列方法来建立：我们还是用图3给出的情形研究．小球从1位置下落到2位置的过程中，重力做功WG=mg(h1-h2)；运用动能定理，21222121mvmvWG,得:2122212121mvmvmghmgh,即：2222112121mvmghmvmgh．3．机械能守恒定律的应用范例：【例1】以10m/s的速度将质量m的物体从地面竖直向上抛出，忽略空气阻力，求(1)物体上升的最大高度(2)上升过程中何处重力势能和动能相等解：(1)以地面为参考面，设物体上升的最大高度为h,由机械能守恒得E1＝E2，即mghmv002120，所以mmgvh51021022203图（2）在地面有E1＝2021mv在高h1处有Ek=Ep,即12112221mghmvmghE由机械能守恒定律得21EE，即120221mghmv解得mmgvh5.21041004201【例2】把一个小球用细线悬挂起来，就成为一个摆（见图4），摆长为L，最大偏角为．小球从A处释放运动到最低位置O时的速度是多大？解：在小球运动的过程中，小球共受到重力和绳对小球的拉力共2个力的作用．由于绳子对小球的拉力方向始终与速度方向垂直，绳子对小球的拉力不做功，只有重力对小球做功，小球的机械能守恒．小球重力势能的减小量为cos1(mgL），动能的增加量为0212mv，根据机械能守恒得：221)cos1(mvmgL，即)cos1(2gLv．【例３】如图5所示，质量均为m的A、B两个小球，用长为2L的轻杆相连接，在竖直平面内，绕固定轴O沿顺时针方向自由转动（转轴在杆的中点），不计一切摩擦．（1）某时刻A、B球恰好在如图所示的位置，A、B球的线速度大小均为v．试判断A、B球以后的运动是否为匀速圆周运动，请说明理由！（2）若gLv，在如图所示的位置时，B球从杆上脱落，求B球落地时的速度大小．解：（1）在图示位置转动一个较小的角度，由几何关系可得，A球下降的高度和B球上升的高度相同，A、B球系统的重力势能不变，由于系统的机械能守恒，所以A、B球的动能不变，所以A、B球以后的运动是为匀速圆周运动．（2）B球速度大小与A球相同，做平抛运动，满足机械能守恒条件设球落地时速度大小是v，取地面为重力势能零点，运用机械能守恒定律：22212121mvLmgvm得：小球落地的速度大小为gLv2．对于一个物体系来说，如果没有外力做功，又没有耗散力做功，而只有保守力做功，那么系内物体的动能和势能可以相互转换，但总机械能保持不变．【例2】给出的情景就是系统机械能守恒的实例．这里要指出的是，由于杆对A球和B球都做功，A球和B球的机械能均不守恒，但在A球向下转动的过程中，杆对A球做正功，杆对B球做负功，杆对A、B球做功的总量为零，所以系统的机械能守恒．vvOABLLL5.2地面5图6图4图