高中数学对数与对数函数知识点及例题讲解

1对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果ab=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.（2）指数式与对数式的关系：ab=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:①loga（MN）=logaM+logaN.②logaNM=logaM－logaN.③logaMn=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）④对数换底公式：logbN=bNaaloglog（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y=logax（a＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里a0,或=1的时候是会有相应b的值的。但是，根据对数定义:logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：logaM^n=nlogaM如果a0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log(-2)4^(-2)就不等于(-2)*log(-2)4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）（2）对数函数的图象Oxyy=logxaOxyaay=logxa11110(())底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.（3）对数函数的性质:①定义域：（0，+∞）.②值域：R.③过点（1，0），即当x=1时，y=0.④当a＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a＜1时，在（0，+∞）上是减函数.2基础例题题型1（对数的计算）1．求下列各式的值．（1）355log＋212log2－1505log－145log；（2）log2125×log318×log519.练习题1．计算：lg12－lg58＋lg12.5－log89·log278；2.log535＋212log2－log5150－log514；3.log2125×log318×log519.4.3991loglog4log32．5.4lg2lg5lg223221(6).log24lglog27lg2log327.2lg2lg3111lg0.36lg823例2．已知实数x、y、z满足3x＝4y＝6z＞1.(1)求证：2x＋1y＝2z；(2)试比较3x、4y、6z的大小．练习题．已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log3645.3题型二：（对数函数定义域值域问题）例1．已知函数22log1xfxx的定义域为集合A，关于x的不等式22aax的解集为B，若AB，求实数a的取值范围．2．设函数22log(22)yaxx定义域为A．（1）若AR，求实数a的取值范围；（2）若22log(22)2axx在[1,2]x上恒成立，求实数a的取值范围．练习题1．已知函数2lg21fxaxx（1）若fx的定义域是R,求实数a的取值范围及fx的值域；（2）若fx的值域是R，求实数a的取值范围及fx的定义域2求函数y=2lg（x－2）－lg（x－3）的最小值.题型三（奇偶性及其单调性）例题1．已知定义域为R的函数f(x)为奇函数，且满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1.(1)求f(x)在[－1,0)上的解析式；(2)求f(12log24)的值．2.已知f（x）=log31［3－（x－1）2］，求f（x）的值域及单调区间.43.已知y=loga（3－ax）在［0，2］上是x的减函数，求a的取值范围.4．已知函数()lg(2)lg(2)fxxx.（Ⅰ）求函数()yfx的定义域；（Ⅱ）判断函数()yfx的奇偶性；（Ⅲ）若(2)()fmfm，求m的取值范围.练习题1．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a＞0，a≠1)(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；(3)当a＞1时，求使f(x)＞0的x的取值范围2．函数()fx是定义在R上的偶函数，(0)0f，当0x时，12()logfxx.（1）求函数()fx的解析式；（2）解不等式2(1)2fx；53．已知()fx是定义在R上的偶函数，且0x时，12()log(1)fxx．（Ⅰ）求(0)f，(1)f；（Ⅱ）求函数()fx的表达式；（Ⅲ）若(1)1fa，求a的取值范围．题型4（函数图像问题）例题1.函数f（x）=|log2x|的图象是111-111111xxxxyyyyOOOOABCD2.求函数y＝log2｜x｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.3．设f(x)＝|lgx|，a，b为实数，且0＜a＜b.(1)求方程f(x)＝1的解；(2)若a，b满足f(a)＝f(b)＝2f2ab，求证：a·b＝1，2ab＞1.练习题：1．已知0a且1a，函数)1(log)(xxfa，xxga11log)(，记)()(2)(xgxfxF（1）求函数)(xF的定义域及其零点；（2）若关于x的方程2()2350Fxmm在区间)1,0[内仅有一解，求实数m的取值范围.62．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)设g(x)＝log44•23xaa－，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．3.函数y＝log2｜ax－1｜（a≠0）的对称轴方程是x＝－2，那么a等于题型五：函数方程1方程lgx+lg（x+3）=1的解x=___________________.2.已知函数f（x）=,4),1(,4,)21(xxfxx则f（2+log23）的值为4．已知函数1,0)((log)(aaxaxxfa为常数）.（Ⅰ）求函数()fx的定义域；（Ⅱ）若2a，1,9x,求函数()fx的值域；（Ⅲ）若函数()fxya的图像恒在直线21yx的上方，求实数a的取值范围.5．已知函数221loglog(28).242xxyx（Ⅰ）令xt2log，求y关于t的函数关系式及t的取值范围；（Ⅱ）求函数的值域，并求函数取得最小值时的x的值.6.设函数f（x）=lg（1－x），g（x）=lg（1+x），在f（x）和g（x）的公共定义域内比较|f（x）|与|g（x）|的大小.