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1第4讲全等三角形的判定ABC什么叫全等三角形?两个能完全重合的三角形叫做全等三角形。AˊBˊCˊABC全等三角形的性质?全等三角形:对应边相等,对应角相等。△ABC≌△A’B’C’AˊBˊCˊAB=A’B’,AC=A’C’,BC=B’C’∠A=∠A’,∠B=∠B’,∠C=∠C’全等三角形共有6组元素(3组对应边、3组对应角)对应角是:∠BOF和∠COE、∠BFO和∠CEO、∠FOB和∠EOC。对应边是:OF和OE、OB和OC、BF和CE。下列全等三角形的对应边和对应角1、△ABE≌△ACF对应角是:∠A和∠A、∠ABE和∠ACF、∠AEB和∠AFC;对应边是AB和AC、AE和AF、BE和CF。2、△BCE≌△CBF对应角是:∠BCE和∠CBF、∠BEC和∠CFB、∠CBE和∠BCF。对应边是:CB和BC、CE和BF、CF和BE。3、△BOF≌△COE找一找三角形的6组元素(3组对应边、3组对应角)中,要使两个三角形全等,到底需要满足哪些条件?6选1or6选2(一个角对应相等)——(一条边对应相等)////(两条边对应相等)(两个角对应相等)6选1:一个角对应相等的两个三角形不一定全等;一条边对应相等的两个三角形不一定全等;6选2:两个角对应相等的两个三角形不一定全等;两条边对应相等的两个三角形不一定全等;一角和一边对应相等的两个三角形不一定全等;\\\\(一个角、一条边对应相等)==①②可见:要使两个三角形全等,应至少有组元素对应相等。36选3边边边(SSS)两边一角两角一边角角角两边和它的夹角(SAS)两边和它一边的对角两角和夹边(ASA)两角和一角的对边(AAS)××两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。\=\=SSA可见:要使两个三角形全等,应至少有组元素对应相等。36选3边边边(SSS)两边一角两角一边角角角两边和它的夹角(SAS)两边和它一边的对角两角和夹边(ASA)两角和一角的对边(AAS)××10三个角对应相等的两个三角形不一定全等AAA可见:要使两个三角形全等,应至少有组元素对应相等。36选3边边边(SSS)两边一角两角一边角角角两边和它的夹角(SAS)两边和它一边的对角两角和夹边(ASA)两角和一角的对边(AAS)××12三角形全等的4个种判定公理:SSS(边边边)SAS(边角边)ASA(角边角)AAS(角角边)有三边对应相等的两个三角形全等.有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.有两角和及其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等.有公共边的,公共边是对应边.有公共角的,公共角是对应角.有对顶角的,对顶角是对应角.一对最长的边是对应边,一对最短的边是对应边.一对最大的角是对应角,一对最小的角是对应角.在找全等三角形的对应元素时一般有什么规律?知识回顾:一般三角形全等的条件:1.定义(重合)法;2.SSS;3.SAS;4.ASA;5.AAS.直角三角形全等特有的条件:HL.包括直角三角形不包括其它形状的三角形解题中常用的4种方法角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。用法:∵QD⊥OA,QE⊥OB,QD=QE.∴点Q在∠AOB的平分线上.角的平分线上的点到角的两边的距离相等.用法:∵QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上∴QD=QE二.角的平分线:1.角平分线的性质:2.角平分线的判定:定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.ACBPMN如图,∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).引入新知逆定理到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.(如图)ACBPMN∵PA=PB(已知),∴点P在AB的垂直平分线上(即MC垂直平分AB)(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).老师提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.从这个结果出发,你还能联想到什么?想一想•例子19一、挖掘“隐含条件”判全等1.如图(1),AB=CD,AC=BD,则△ABC≌△DCB吗?说说理由ADBC图(1)2.如图(2),点D在AB上,点E在AC上,CD与BE相交于点O,且AD=AE,AB=AC.若∠B=20°,CD=5cm,则∠C=,BE=.说说理由.BCODEA图(2)3.如图(3),AC与BD相交于O,若OB=OD,∠A=∠C,若AB=3cm,则CD=.说说理由.ADBCO图(3)20°5cm3cm学习提示:公共边,公共角,对顶角这些都是隐含的边,角相等的条件!204、如图,已知AD平分∠BAC,要使△ABD≌△ACD,•根据“SAS”需要添加条件;•根据“ASA”需要添加条件;•根据“AAS”需要添加条件;ABCDAB=AC∠BDA=∠CDA∠B=∠C友情提示:添加条件的题目.首先要找到已具备的条件,这些条件有些是题目已知条件,有些是图中隐含条件.二.添条件判全等21例、如图,已知AB=AC,AD=AE,AB、DC相交于点M,AC、BE相交于点N,∠1=∠2,试说明:(1)△ABE≌△ACD(2)AM=ANANMEDCB12创造条件!?225、已知:∠B=∠DEF,BC=EF,现要证明△ABC≌△DEF,若要以“SAS”为依据,还缺条件______;若要以“ASA”为依据,还缺条件_______;若要以“AAS”为依据,还缺条件_______并说明理由。.AB=DE∠ACB=∠F∠A=∠DABCDEF236.如图(4)AE=CF,∠AFD=∠CEB,DF=BE,△AFD与△CEB全等吗?为什么?解:∵AE=CF(已知)ADBCFE∴AE-FE=CF-EF(等量减等量,差相等)即AF=CE在△AFD和△CEB中,∴△AFD≌△CEB∠AFD=∠CEB(已知)DF=BE(已知)AF=CE(已证)(SAS)247.如图(5)∠CAE=∠BAD,∠B=∠D,AC=AE,△ABC与△ADE全等吗?为什么?ACEBD解:∵∠CAE=∠BAD(已知)∴∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE(等量减等量,差相等)即∠BAC=∠DAE在△ABC和△ADE中,∴△ABC≌△ADE∠BAC=∠DAE(已证)AC=AE(已知)∠B=∠D(已知)(AAS)•练一练268.“三月三,放风筝”如图(6)是小东同学自己做的风筝,他根据AB=AD,BC=DC,不用度量,就知道∠ABC=∠ADC。请用所学的知识给予说明。解:连接AC∴△ADC≌△ABC(SSS)∴∠ABC=∠ADC(全等三角形的对应角相等)在△ABC和△ADC中,BC=DC(已知)AC=AC(公共边)AB=AD(已知)如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED=cm;如果∠ECD=600,那么∠EDC=0.老师期望:你能说出填空结果的根据.EDABC760课堂练习28实际运用9.测量如图河的宽度,某人在河的对岸找到一参照物树木A,视线AB与河岸垂直,然后该人沿河岸步行10步(每步约0.75M)到O处,进行标记,再向前步行10步到D处,最后背对河岸向前步行20步,此时树木A,标记O,恰好在同一视线上,则河的宽度为米。15ABODC2911.如图,M是AB的中点,∠1=2,MC=MD.试说明ΔACM≌ΔBDMABMCD12证明:∵M是AB的中点(已知)∴MA=MB(中点定义)在ΔACM和ΔBDM中,MA=MB(已证)∠1=∠2(已知)MC=MD(已知)∴ΔACM≌ΔBDM(SAS)3012.如图,M、N分别在AB和AC上,CM与BN相交于点O,若BM=CN,∠B=∠C.请找出图中所有相等的线段,并说明理由.COBAMN3、如图,OB⊥AB,OC⊥AC,垂足为B,C,OB=OCAO平分∠BAC吗?为什么?OCBA答:AO平分∠BAC理由:∵OB⊥AB,OC⊥AC∴∠B=∠C=90°在Rt△ABO和Rt△ACO中OB=OCAO=AO∴Rt△ABO≌Rt△ACO(HL)∴∠BAO=∠CAO∴AO平分∠BAC9、如图,已知E在AB上,∠1=∠2,∠3=∠4,那么AC等于AD吗?为什么?4321EDCBA解:AC=AD理由:在△EBC和△EBD中∠1=∠2∠3=∠4EB=EB∴△EBC≌△EBD(AAS)∴BC=BD在△ABC和△ABD中AB=AB∠1=∠2BC=BD∴△ABC≌△ABD(SAS)∴AC=AD3314、已知:ΔABC和ΔBDE是等边三角形,点D在AE的延长线上。求证:BD+DC=ADABCDE分析:∵AD=AE+ED∴只需证:BD+DC=AE+ED∵BD=ED∴只需证DC=AE即可。3416.如图,在四边形ABCD中,已知AB=AD,CD=CB,则图形中哪些角必定相等?请说明理由。BACD3517.如图,CA=CB,AD=BD,M、N分别是CA、CB的中点,则DM=DN,说明理由。ACDBMN3618.如图,AB=DE,AF=CD,EF=BC,∠A=∠D,试说明:BF∥CEABCDEF3719.如图,AB=DC,AC=DB,你能说明图中∠1=∠2的理由吗?ABCD123820.如图,AB∥DC,AD∥BC,说出△ABD≌△CDB的理由。ABCD3921.如图AB=CD,AD=BC,O为AD中点,过O点的直线分别交AD、BC于M、N,你能说明∠1=∠2吗?12DABCO4022如图AB=AC,∠B=∠C,点D、E在BC上,且BD=CE,那么图中又哪些三角形全等?说明理由。ABCDE41感悟与反思:1、平行——角相等;2、对顶角——角相等;3、公共角——角相等;4、角平分线——角相等;5、垂直——角相等;6、中点——边相等;7、公共边——边相等;8、旋转——角相等,边相等。42一.挖掘“隐含条件”判全等二.添条件判全等三.转化“间接条件”判全等
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