专题二----四点共圆的应用

专题二----四点共圆的应用【知识点】1、如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”；2、性质：①共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；②圆内接四边形的对角互补；③圆内接四边形的一个外角等于它的内对角；3、判定：①若两个直角三角形共斜边，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径；②共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆；③对于凸四边形ABCD，若对角互补，则A、B、C、D四点共圆；④相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD，其对角线AC、BD交于P，若PA·PC=PB·PD，则A、B、C、D四点共圆；⑤割线定理的逆定理：对于凸四边形ABCD，两边AB、DC的延长线相交于点P，若PB·PA=PC·PD，则A、B、C、D四点共圆；4、四点共圆的妙用：巧用四点共圆可以帮助我们在解题过程中快速地求角等、边等、相似、边长、最值等问题。【例1】如图，点C为线段AB上任意一点（不与点A，B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和△BCE，CA=CD，CB=CE，且∠ACD=∠BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP。求证：∠APC=∠BPC【变式1】如图，在正方形ABCD中，E为CD上一动点，连接AE交对角线BD于点F，过点F作FG⊥AE交BC于点G，求证：△AFG为等腰直角三角形。ADCBDPABCDEFG【例2】如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上的点，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CD于点P，交边CD于点F；求证：AE=EP【变式2】如图，在Rt△ABC和在Rt△DBC中，∠BAC=∠BDC=90°，点O、M分别为BC、AD的中点，求证：OM⊥AD【例3】如图，△ABC和△EFG均为边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M，当△EFG绕点D旋转时，线段EM长的最大值是；【变式3】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，O为AC的中点，过O作OE⊥OF，OE、OF分别交射线AB、BC于E、F，则EF的最小值为【例4】如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为点F,连接OF，则OF的长为ABECPDABCDOMABCDFGMEABCDOEF【变式4】如图，正方形ABCD的中心为O点，面积为25；点P为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA：PB=3:4，则PB=【检测练习】1、如图，正方形OABC的边长为2，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是．2、如图，在△ABC中，∠ACB=65°，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，则∠AED=，∠CED=。3、如图，C为半圆⊙O上一点，AB为直径，且AB=2a，∠COA=60°，延长CP交半圆于点D，过P点作AP的垂线交AD的延长线于点H，则PH的长度为5、如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为点O，连接AO，如果AB=4，AO=26，则AC的长为6、已知△ABC为等腰直角三角形，∠C为直角，延长CA到D，以AD为直径作圆，连接BD与⊙O交于点E，连接CE，CE的延长线交⊙O于另一点F，则BD：CF=7、如图，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB交于点D，且PB=5，PD=3，则PD·DC=8、如图，AB为⊙O的直径，AD、BC为圆的两条弦，且BD与AC相交于点E；求证：AC·AE+BD·BE=AB2ABCOEFABCDOPABCDEAOBPHDCFBCOEAACBEFDOABCDEOABPCD