2.1.2椭圆的简单几何性质(1)

13.1.2椭圆的简单几何性质（1）高二数学选修2-1第三章圆锥曲线与方程2一、复习：1.椭圆的定义:到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2|）的动点的轨迹叫做椭圆。2.椭圆的标准方程是：3.椭圆中a,b,c的关系是:a2=b2+c2|)|2(2||||2121FFaaPFPF当焦点在X轴上时当焦点在Y轴上时)0(12222babyax)0(12222babxay3二、椭圆简单的几何性质-a≤x≤a,-b≤y≤b知,122ax得：122byoyB2B1A1A2F1F21、范围：椭圆落在x=±a,y=±b组成的矩形中4椭圆顶点坐标为：2.顶点与长短轴椭圆和它的对称轴的四个交点——椭圆的顶点.回顾：A1(－a，0)、A2(a，0)、B1(0，－b)、B2(0，b)焦点坐标(±c，0)oxyA2(a,0)A1(-a,0)B2(0,b)B1(0,-b)B2(0,b)B1(0,-b))0(12222babyax5长轴：线段A1A2；长轴长|A1A2|=2a短轴：线段B1B2；短轴长|B1B2|=2b焦距|F1F2|=2c①a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长；③焦点必在长轴上；②a2=b2+c2，oxyB2(0,b)B1(0,-b)A2(a,0)A1(-a,0)bacaF2F1|B2F2|=a；注意63.椭圆的对称性)0(12222babyaxoxy在方程中，把换成，方程不变，说明：椭圆关于轴对称；椭圆关于轴对称；椭圆关于点对称；坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心x-xxY(0,0)Y-YX-XY-YQ(-x,y)P(x,y)M(x,-y)N(-x,-y)7想一想椭圆的对称轴一定是ｘ轴和ｙ轴吗？对称中心一定是原点吗？oxyF2F1说明椭圆的对称性不随位置的改变而改变．8123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y12345-1-5-2-3-4x12345-1-5-2-3-4x根据前面所学有关知识画出下列图形1162522yx142522yx（1）（2）A1B1A2B2B2A2B1A19问题2：圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较“圆”，用什么样的量来刻画椭圆“扁”的程度呢？104、椭圆的离心率ace离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。[1]离心率的取值范围：1）e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁因为ac0，所以0e1[2]离心率对椭圆形状的影响：2）e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆yOx3）当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲线又是什么？[3]e与a,b的关系:222221ababaace11小试身手：3.比较下列每组中两个椭圆的形状,哪一个更扁?22222(1)19161221610xxyxy222y+=1与；5y（）x+=1与。212标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a、b、c的关系22221(0)xyabab|x|≤a,|y|≤b关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.abceaa2=b2+c222221(0)xyabba|x|≤b,|y|≤a同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)同前同前同前13它的长轴长是：。短轴长是：。焦距是。离心率等于：。焦点坐标是：。顶点坐标是：。外切矩形的面积等于：。例1已知椭圆方程为16x2+25y2=400108635(3,0)(5,0)(0,4)80分析：椭圆方程转化为标准方程为：2222162540012516xyxya=5b=4c=3oxyoxy题型一：利用椭圆方程，研究其几何性质14已知椭圆方程为6x2+y2=6它的长轴长是：。短轴是：。焦距是：.离心率等于：。焦点坐标是：。顶点坐是：。外切矩形的面积等于：。262)5,0(52630(0,6)(1,0)4616122yx其标准方程是51622bacba则例2.题型一：利用椭圆方程，研究其几何性质15例2求适合下列条件的椭圆的标准方程⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；⑵长轴长等于20，离心率3/5。⑶一焦点将长轴分成２:１的两部分,且经过点32,4P22194xy所求椭圆方程为：解：⑴方法一：设方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤：⑴定位；⑵定量题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程将点的坐标方程，求出m＝1/9,n＝1/4。16例2求适合下列条件的椭圆的标准方程⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；⑵长轴长等于20，离心率3/5。⑶一焦点将长轴分成２:１的两部分,且经过点32,4P22194xy解：(1)方法二：利用椭圆的几何性质题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，故a＝3，b＝2，所以椭圆的标准方程为17例2求适合下列条件的椭圆的标准方程⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；⑵长轴长等于20，离心率3/5。⑶一焦点将长轴分成２:１的两部分,且经过点32,4P2222111006410064xyyx椭圆方程为：或题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程3220,5caea：解(2)10,6ac8.b18例2求适合下列条件的椭圆的标准方程⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；⑵长轴长等于20，离心率3/5。⑶一焦点将长轴分成２:１的两部分,且经过点32,4P222211145290363249xyyx椭圆方程为：或题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程一焦点将长轴分成２：１解:(3)的两部分():()2:1acac3ac228bc22222222119889xyxycccc椭圆方程可设为：或22222222(32)4(32)4119889cccc或32,4P椭圆过，22145436cc或1922221111yxabPPPOPPFPFPF---------------------------------点是椭圆上的动点，当的坐标为时，到原点的最大距离为；当的坐标为时，到原点O的最小距离为；设（c,0),则当P的坐标为时，的最大值为；则当P的坐标为时，的最小值为。(±a,0)a(0,±b)b(-a,0)a+c(a,0)a-c1、有关椭圆的一些重要结论F2F1xy20的位置关系与椭圆点1),(.2222200byaxyxP;1),(122022000byaxyxP在椭圆内：点;1),(222022000byaxyxP在椭圆上：点;1),(322022000byaxyxP在椭圆外：点的位置关系与椭圆例：判断点184x,2)2((0,2)(2,2)22y有关椭圆的一些重要结论213.焦点相同的椭圆系有相同焦点且与椭圆求椭圆方程使其过点练习149x(-3,2),:22y有关椭圆的一些重要结论221.根据下列条件，求椭圆的标准方程。①长轴长和短轴长分别为8和6，焦点在x轴上②长轴和短轴分别在y轴，x轴上，经过P(-2,0)，Q(0,-3)两点.③一焦点坐标为（－3，0）一顶点坐标为（0，5）④两顶点坐标为（0，±6），且经过点（5，4）⑤焦距是12，离心率是0.6，焦点在x轴上。22169xy①+=12294yx②+=1223425xy③+=12210064xy⑤+=1224536xy④+=1题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程23练习1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率为。2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心率为。2221题型三：椭圆的离心率问题3、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，则其离心率e=__________534、若椭圆+=1的离心率为0.5，则：k=_____82kx92y445或2412212FFFPFPF()221..C.2-2.2122ABD1.设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为　　　，，D题型三：椭圆的离心率问题25题型三：椭圆的离心率问题21D31C22B23A,2PABBFBAF01.12222）则椭圆的离心率是（，若于点轴交轴，直线在椭圆上，且，点点为，右顶的左焦点为已知椭圆PBAPyxbabyax26例3：(1)椭圆的左焦点是两个顶点，如果到F1直线AB的距离为，则椭圆的离心率e=.22221(0)xyabab1(,0),Fc(,0),(0,)AaBb7b题型三：椭圆的离心率问题::0ABbxayab解直线方程为122.7FABbcabbdba222bac2227()2acac2251480aacc24.acac或51.2cea1227例3：(2)设M为椭圆上一点，为椭圆的焦点，如果，求椭圆的离心率。22221(0)xyabab12FF、122175,15MFFMFF题型三：椭圆的离心率问题012211275,1590MFFMFFFMF解：，1212sin15sin75sin90MFMFFF由正弦定理：1212sin75sin15sin90MFMFFF22sin75sin15sin90acsin903sin75sin153cea28题型三：椭圆的离心率问题1113(3):FA,,POAB(O)例已知F为椭圆的左焦点,A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点,P为椭圆上的点,当PF为椭圆中心时,求椭圆的离心率．2222::1xyab解设椭圆方程为11FAPF2(,)bPca(,0),(0,)AaBbPOABPOABkk2/babcabc22.22cceac291.（5分）椭圆(ab0)和（ab0,且k＞0）具有（）（A）相同的长轴（B）相同的焦点（C）相同的顶点（D）相同的离心率【解析】选D.由已知得的离心率e1=而的离心率故e1=e2.2222xy+=1ab2222xy+=kab2222xy+=1ab22222ca-b=,aa2222xy+=kab2222222ak-bka-be==.aka3031324.（2010·湛江高二检测）设椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为e=,点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4.（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C上一动点P（x0,y0）关于直线y=2x的对称点为P1（x1,y1）,求3x1-4y1的取值范围.2222xy+=1ab2233【解析】（1）依题意知，2a=4,∴a=2.∵∴所求椭圆C的方程为.（2）∵点P（x0,y0）关于直线y=2x的对称点为P1（x1,y1）,∴解得：∴3x1-4y1=-5x0.又-2≤x0≤2,∴-10≤-5x0≤10,∴3x1-4y1的取值范围为［-10，10］.22c2e==,c=2,b=a-c=2.a222xy+=14201010101y-y×2=-1,x-xy+yx+x=2.220000114y-3x3y+4xx=,y=.55347.（2010·新乡高二检测）椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，且经过点P（-1，）；（1）求满足条件的椭圆方程；（2）求该椭圆的顶点坐标，长轴和短轴长，离心率.3235【解析】（1）设椭圆方程为（a＞b＞0）,则c=1,焦点坐标为F1（-1，0），F2（1，0），2a=|PF1|+|PF2|=∴