二次函数知识点(大全)

第-1-页二次函数知识点归纳及提高训练1.定义：一般地，如果cbacbxaxy,,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.2.二次函数2axy的性质(1)抛物线2axy）（0a的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.(2)函数2axy的图像与a的符号关系.①当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点3.二次函数cbxaxy2的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.4.二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2axy；②kaxy2；③2hxay；④khxay2；⑤cbxaxy2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y轴(或重合)的直线记作hx.特别地，y轴记作直线0x.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：abacabxacbxaxy442222，∴顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是hx.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★9.抛物线cbxaxy2中，cba,,的作用(1)a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样.(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2,故：①0b时，对称轴为y轴；②0ab(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧；③0ab(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧.(3)c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置.当0x时，cy，∴抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点(0，c)：①0c，抛物线经过原点;②0c,与y轴交于正半轴；③0c,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0ab.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy当0a时开口向上当0a时开口向下0x(y轴)(0,0)kaxy20x(y轴)(0,k)2hxayhx(h,0)khxay2hx(h,k)cbxaxy2abx2(abacab4422，)第-2-页11.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.(2)顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay.12.直线与抛物线的交点(1)y轴与抛物线cbxaxy2得交点为(c,0)(2)与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2).(3)抛物线与x轴的交点二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点0抛物线与x轴相交；②有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切；③没有交点0抛物线与x轴相离.(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根.(5)一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组cbxaxynkxy2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，，，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB44422212212212113．二次函数与一元二次方程的关系：(1)一元二次方程cbxaxy2就是二次函数cbxaxy2当函数y的值为0时的情况．(2)二次函数cbxaxy2的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数cbxaxy2的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当0y时自变量x的值，即一元二次方程02cbxax的根．(3)当二次函数cbxaxy2的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程cbxaxy2有两个不相等的实数根；当二次函数cbxaxy2的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程02cbxax有两个相等的实数根；当二次函数cbxaxy2的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程02cbxax没有实数根14.二次函数的应用：(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．15.解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等．第-3-页提高训练一、填空题:1.已知函数y=(m+2)xm(m+1)是二次函数,则m=______________.2.二次函数y=-x2-2x的对称轴是x=_____________3.函数s=2t-t2,当t=___________时有最大值,最大值是__________.4.已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=__________.5.抛物线y=5x-5x2+m的顶点在x轴上,则m=_____________________.6.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是___________________.7.已知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于A,B两点,在x轴上方的抛物线上有一点C,且△ABC的面积等于10,则点C的坐标为__________________________.8.把抛物线y=2(x+1)2向下平移______单位后,所得抛物线在x轴上截得的线段长为5.9.如果二次函数y=x2-3x-2k,不论x取任何实数,都有y0,则k的取值范围是________10.函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)问当a,b,c满足什么条件时：(l）它是二次函数；(2）它是一次函数；(3）它是正比例函数；二.选择题:13.抛物线y=(x-1)2+1的顶点坐标是()(A)(1,1)(B)(-1,1)(C)(1,-1)(D)(-1,-1)14.抛物线y=-x2+x+7与坐标轴的交点个数为()(A)3个(B)2个(C)1个(D)0个15.把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有()(A)b=3,c=7(B)b=-9,c=-15(C)b=3,c=3(D)b=-9,c=2116.若二次函数y=ax2+c,当x取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为(A)a+c(B)a-c(C)-c(D)c17.当a,b为实数，二次函数y=a(x-1)2+b的最小值为-1时有()(A)ab(B)a=b(C)ab(D)a≥b18.已知函数y=3x2-6x+k(k为常数)的图象经过点A(0.85,y1)，B(1.1,y2),C(2,y3),则有()(A)y1y2y3(B)y1y2y3(C)y3y1y2(D)y1y3y219如果二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y=2x2-x-1的图象的对称轴上，那么一定有()(A)a=2或-2(B)a=2b(C)a=-2b(D)a=2,b=-1,c=-120抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过点(-1,0)，且满足4a+2b+c0.以下结论(1)a+b0;(2)a+c0;(3)-a+b+c0;(4)b2-2ac5a2其中正确的个数有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个三解答题：22．已知抛物线y=x2-2x-8（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。第-4-页23．抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,4)、B(-1,0)、C(-2,5)三点（1）求抛物线的解析式并画出这条抛物线；（2）直角坐标系中点的横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点。试结合图象，写出在第四象限内抛物线上的所有整点的坐标。24．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利过程。下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s和t之间的关系）。根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？25．已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下，并且经过A（0，1）和M（2，-3）两点。（1）若抛物线的对称轴为直线x=-1,求此抛物线的解析式；（2）如果抛物线的对称轴在y轴的左侧，试求a的取值范围；-11243-1123456t（月）S(万元)(第24题)第-5-页A、4B、-4C、-2D、27、零不是（）。A、非负数B、有理数C、正数D、整数8、下列说法错误的是（）。A、-0.5是分数B、0不是正数也不是负数C、-2.74是负分数D、非负数就是正数9、下列说法正确的是（）(A)一个数的平方必是非负数；(B)一个数的平方必大于这个数；(C)一个数的奇次方是负数；(D)一个数的奇次方是正数。三计算：-14-(1-0.5)×31×［2-(-3)2］)36()(1214361);20(2)10()10)(3(21;)()()3)(4(12141322)100(()12121814.31214.3514.3.102312136.9－14－（1—0.5）×［2－（－3）2］2.、用“＜”“＞”“=”填空：（1）若a＜b＜0＜c,则0_______cba;(2）若a＜0＜b＜c,则0_______cba3、观察算式：113921333632133310043213333……按规律填空：第-6-页___________10...432133333_____________...432133333n。4、小吃店一周中每天的盈亏情况如下（盈余为正）：128.3元，-25.6元，-15元，27元，-7元，36.5元，1