长方体和正方体知识点汇总

第二讲长方体和正方体一、长方体和正方体的认识【知识点1】要素立体图形棱面顶点数量特征数量特征数量特征长方体12互相平行的棱长度相等6相对的面完全相同8同一个顶点引出的三条棱分别叫做长、宽、高特殊长方体12垂直于正方形面的棱长度相等6两个面是正方形，其余四个面是完全相同的长方形8正方体12所有的棱长度都相等6所有面都是正方形且完全相同8一个长方体至少可以有两个面是正方形，最多可以有6各面是正方形，但不会存在3个、4个、5个面是正方形！练习：（1）判断并改正：1、长方体的六个面一定是长方形；()2、正方体的六个面面积一定相等；()3、一个长方体(非正方体)最多有四个面面积相等；()4、相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体。()7、长方体的三条棱分别叫做长、宽、高。()8、有两个面是正方形的长方体一定是正方体。()9、有三个面是正方形的长方体一定是正方体。（）11、有两个相对的面是正方形的长方体，另外四个面的面积是相等的。（）12、长方体和正方体最多可以看到3个面。（）14、正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等。（）15、长方体（不包括正方体）除了相对的面相等，也可能有两个相邻的面相等。（）16、一个长方体中最少有4条棱长度相等，最多有8条棱长度相等。（）（2）填空：1、一个长方体最多有（）个面是正方形，最多有（）条棱长度相等。2、一个长方体的底面是一个正方形，则它的4个侧面是（）形。3、正方体不仅相对的面相等，而且所有相邻的面（），它的六个面都是相等的（）形。4、把长方体放在桌面上，最多可以看到（）个面。最少可以看到（）个面。【知识点2】棱长和公式：长方体棱长和=（长+宽+高）×4长+宽+高=棱长和÷4长方体棱长和=下面周长×2+高×4长方体棱长和=右面周长×2+长×4长方体棱长和=前面周长×2+宽×4正方体棱长和=棱长×12棱长=棱长和÷12棱长和的变形：例如：有一个礼盒需要用彩带捆扎，捆扎效果如图，打结部分需要10厘米彩带，一共需要多长的彩带？分析：本题虽然并未直接提出求棱长和，但由于彩带的捆扎是和棱相互平行的，因此，在解决问题时首先确定每部分彩带与那条棱平行，从而间接去求棱长和。前面和后面的彩带长度=高的长度；左面和右面的彩带长度=高的长度；上面和下面的彩带长度=长的长度。需要彩带的长度=高×4+长×2+宽×2+打结部分长度20×4+30×2+10=150cm练习：（1）看图2-6，并填空单位：厘米这个长方体长()厘米，宽()厘米，高()厘米。由一个顶点引出的三条棱的长度和是()厘米。棱长总和是()厘米。上下两个面是()形。（2）看图2-7并填空单位：厘米这是一个()体，正方体的棱长是()厘米，棱长之和是()厘米，每个面的面积是()平方厘米。（3）有一个长方体的鱼缸，长50厘米，宽30厘米，高30厘米，需要在用铝合金包裹玻璃连接处，需要（）米的铝合金。（4）把两个棱长1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是（）厘米。（7）一个长方体长12厘米宽8厘米高7厘米，把它切成一个尽可能大的正方体，这个正方体的棱长是（）。（7）一个长方体的礼堂如图，过节时需要在四周装上成串的彩灯，每串彩灯长2m，一共需要多少串彩灯？（8）一只鱼缸，棱长和为280cm，其中，底面周长为50cm，右面周长为40cm，前面周长为50cm，鱼缸的长、宽、高各是多少？【知识点3】确定长方体中每个面的形状以及长、宽、高分别是多少。长方体一共有（）个面，（）面完全相同，如：前面和（）完全相同，（）和（）完全相同，（）和（）完全相同。根据习惯我们一般认为在一个平面中水平方向的为长，垂直方向的为高。根据这一习惯我们30㎝20cm20cm30m6m50m我们只需找到需要的面并根据习惯确定长和宽即可。例如：如图下列长方体的后面是（）形状，长是（）宽是（）；它的右面是（）形状，长是（）宽是（）；下面是（）形状，长是（）宽是（）。练习：（1）长方体展开后每个面都是什么形状？展开后哪俩个面是相对的面？面积相等吗？上下，左右、前后各个面的长和宽分别是原长方体的什么？（2）一个长方体的长是25厘米，宽是20厘米，高是18厘米，最大的面的长是（）厘米，宽是（）厘米，它的面积是（）平方厘米；最小的面长是（）厘米，宽是（）厘米，它的面积是（）平方厘米。（3）一个长方体的长、宽、高分别是8、6、4米，它的前后的面的面积是（），左右的面的面积是（），上下的面的面积是（）。【知识点4】经过折叠可以组合成正方体:经过折叠可以组合成长方体：上面下面左面后面右面前面练习：下列三个图形中，能拼成正方体的是（）①②③【知识点5】长方体或正方体的切割组合对棱长的影响（1）切割将长方体横向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4条长和4条宽；（棱长增加的最长）将长方体竖向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4条宽和4条高；（棱长增加的最短）将正方体沿无论沿那个方向切割成两个长方体后，棱长将比原来增加4条棱。二、组合将两个完全相同的长方体沿上下面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条长和4条宽；（棱长减少的最多）将两个完全相同的长方体沿前后面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条长和4条高；将两个完全相同的长方体沿左右面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条宽和4条高；（棱长减少的最少）将两个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来两个正方体时减少8条棱；一次类推将三个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来三个正方体时减少16条棱，四个组合减少24条棱，五个组合减少32条……（公式：8×（N—1））例如：将五个完全相同的正方体组合成一个长方体后，棱长和为140厘米，原来每个正方体的棱长和是多少？分析：五个正方体棱长共有12×5=60条；将五个完全相同正方体组合后棱长比原来减少32条，还剩60-32=28条；即这28条棱的长度和即为新长方体的棱长和，所以正方体一条棱的长度为：140÷28=5cm；所以一个正方体的棱长和为：5×12=60cm。【知识点6】小正方体拼大正方体的规律由于正方体，每条棱的长度相等，所以要用小的正方体拼出大的正方体每条棱上摆放的小正方的个数应该是相等的，因此要拼出最小的正方体至少需要2×2×2=23=8个（也就是说每条棱上放2个小正方体），接着再往大了拼正方体，就是每条棱上放3个小正方体即3×3×3=33=27个，依次类推接下来是4×4×4=43=64个；5×5×5=53=125个……从中我们可以发现要用小的正方体拼出大的正方体所需要的小正方体的个数应该是一个数的立方。这就要求我们能够熟记一些数的立方：23=833=2743=6453=12563=21673=34383=51293=729103=1000小正方体拼大长方体的规律规律同正方体，首先观察大长方体各棱长分别是小正方体棱长的几倍，如，长方体长是小正方体棱长的a倍，宽是小正方体棱长的b倍，高是小正方体棱长的c倍，则，大长方体就是由a×b×c个小正方体组成的。练习：（1）用棱长为3厘米的小正方体拼棱长为9厘米的大正方体需要（）个小正方体。A、8个B、27个C、26个D、64个（2）一个长方体的长宽高分别是18、12、9，如果用棱长为3的小正方拼一个这样的长方体，一共需要（）块这样的小正方体。（3）一个长方体的盒子里面长5分米，宽4分米，深3分米，放棱长为5厘米的正方体小木块共可以放（）块。二、长方体和正方体的表面积【知识点1】长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2=（a×b+a×c+b×c）×2=（前面面积+上面面积+右面面积）×2正方体表面积=棱长×棱长×6=a×a×6=6a2=任意一个面的面积×6前面面积=后面面积；左面面积=右面面积；上面面积=下面面积两个棱长和相等的长方体或一个长方体和一个正方体，表面积不一定相等！表面积相等的两个长方体或一个长方体和一个正方体，棱长和也不一定相等！练习：1、一个长方体长6厘米，宽4厘米，高3厘米。这个长方体上下两个面的面积各是（）平方厘米，前后两个面的面积各是（）平方厘米，左右两个面的面积各是（）平方厘米，表面积是（）平方厘米。2、判断题：长方体的表面积一定比正方体的表面积大。()如果一个长方体能锯成四个完全一样的正方体，那么长方体前面的面积是底面积的4倍．（）3、把一个棱长为6米的正方体分成两个大小、形状相同的长方体，每个长方体的表面积是（）㎡。4、长方体的长是6厘米，宽是4厘米，高是2厘米，它的棱长总和是（）厘米，六个面中最大的面积是（）平方厘米，表面积是（）平方厘米。5、用字母表示正方体（或长方体）的表面积＝（）；用字母表示长方体的体积公式是（）。6、下面哪些问题跟长方体表面积有关。（）A：在一个长方体木箱外面刷油漆，刷油漆的面积一共有多少平方分米？B：做一个长方体的金鱼缸需要多少玻璃？C：求一个长方形足球场需多少平方米的草皮？7、一个长方体的长是5分米，宽和高都是4分米，在这个长方体中，长度为4分米的棱有（）条，面积是20平方分米的面有（）个。8、一个长方体的金鱼缸，长是8分米，宽是5分米，高是6分米，不小心前面的玻璃被打坏了，修理时配上的玻璃的面积是（）。9、一个长方体侧面积是360平方厘米，高是9厘米，长是宽的1.5倍，求它的表面积。【知识点2】长方体表面求法的变形：①贴商标类型：只求四周面积。例如：一个长方体包装盒，长宽高分别为8,4,5，需要在包装盒四周贴上商标，需要商标纸的面积是多少？②游泳池类型：只求四周和底面。例如：一座游泳池，长宽高分别为10m，4m，1.5m，需要在池内贴上边长为1dm的瓷砖，大约需要多少块瓷砖？③抽纸盒类型：六个面面积减去缺口面积。例如：一款抽纸盒，长宽高分别是20cm，12cm，5cm，上面有长14cm，宽3cm的抽纸口，做这款抽纸盒需要多少硬纸片？④占地面积问题：只求底面面积。例如：一个长方体蓄水池，长12m，宽8m，深3m，这个水池占地面积多少平方米？练习：（1）一盒饼干长20厘米，宽15厘米，高30厘米，现在要在它的四周贴上商标纸，如果商标纸的接头处是4厘米，这张商标纸的面积是多少平方厘米？（2）一种长方体硬纸盒，长10厘米，宽6厘米，高5厘米，有2平方米的硬纸板210张，可以做这样的硬纸盒多少个？（不计接口）（3）一个通风管的横截面是边长是0.5米的正方形,长2.5米.如果用铁皮做这样的通风管50只,需要多少平方米的铁皮?（4）一个房间的长6米，宽3.5米，高3米，门窗面积是8平方米。现在要把这个房间的四壁和顶面粉刷水泥，粉刷水泥的面积是多少平方米？如果每平方米需要水泥4千克，一共要水泥多少千克？（5）在一节长120厘米，宽和高都是10厘米的通风管，至少需要铁皮多少平方厘米？做12节这样的通风管呢？（6）做一个正方体无盖纸盒，棱长是21厘米，至少需要多少平方厘米的纸板？（7）一个抽屉，长50厘米，宽30厘米，高10厘米，做这样的2个抽屉，至少需要木板多少平方厘米？（8）长方体的长为12厘米，高为8厘米，阴影部分的两个面的面积和是200平方厘米，这个长方体的表面积是多少平方厘米？3.一只鱼缸，棱长和为280cm，其中，底面周长为50cm，右面周长为40cm，前面周长为50cm，这只鱼缸的占地面积是多少平方厘米？（10）一块长方形铁皮长60厘米，宽40厘米，如图，从四个角上剪去边长是10厘米的正方形，然后做成盒子，这个盒子的表面积是多少平方厘米？（11）一个无盖正方体铁桶内外进行涂漆，涂漆的是（）个面.【知识点3】棱长变化对表面积的影响：（1）正方体正方体的棱长扩大2倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8倍；正方体的棱长扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍，体积扩大27倍；正方体的棱长扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍。二、长方体长方体的长宽高同时扩大2倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8倍；长方体的长宽高同时扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍，体积扩大27倍；长方体的长宽高