高中函数解题技巧方法总结(高考)

高中数学函数知识点总结9.求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数的定义域是yxxx432lg（答：，，，）022334函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。正切函数xytankkxRx,2,且余切函数xycotkkxRx,,且反三角函数的定义域函数y＝arcsinx的定义域是[－1,1]，值域是，函数y＝arccosx的定义域是[－1,1]，值域是[0,π]，函数y＝arctgx的定义域是R，值域是.，函数y＝arcctgx的定义域是R，值域是(0,π).当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。10.如何求复合函数的定义域？复合函数定义域的求法：已知)(xfy的定义域为nm,，求)(xgfy的定义域，可由nxgm)(解出x的范围，即为)(xgfy的定义域。11、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例求函数y=x1的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数y=2x-2x+5，x[-1，2]的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂.112..22222222bay型：直接用不等式性质k+xbxb.y型,先化简，再用均值不等式xmxnx1例：y1+xx+xxmxncy型通常用判别式xmxnxmxnd.y型xn法一：用判别式法二：用换元法，把分母替换掉xx1（x+1）（x+1）+11例：y（x+1）1211x1x1x113.反函数存在的条件是什么？求反函数的步骤掌握了吗？（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）如：求函数的反函数fxxxxx()1002（答：）fxxxxx1110()14.反函数的性质有哪些？反函数性质：1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的x对应原函数中的y）2、反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x）3、反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线y=x对称①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；②保存了原来函数的单调性、奇函数性；③设的定义域为，值域为，，，则yf(x)ACaAbCf(a)=bf1()baffafbaffbfab111()()()()，15.如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）判断函数单调性的方法有三种：(1)定义法：根据定义，设任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之间的大小关系可以变形为求1212()()fxfxxx的正负号或者12()()fxfx与1的关系(2)参照图象：①若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性；（特例：奇函数）②若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数）(3)利用单调函数的性质：①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同向变化的②函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是反向变化的。③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加）④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）⑤函数f(x)与1()fx在f(x)的同号区间里反向变化。⑥若函数u＝φ(x)，x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递增的；若函数u＝φ(x),x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减）⑦若函数y＝f(x)是严格单调的，则其反函数x＝f－1(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。如：求的单调区间yxxlog1222（设，由则uxxux22002且，，如图：log12211uuxuO12x当，时，，又，∴xuuy(]log0112当，时，，又，∴xuuy[)log1212∴……）f(g)g(x)f[g(x)]f(x)+g(x)f(x)*g(x)都是正数增增增增增增减减//减增减//减减增减减17.函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）若总成立为奇函数函数图象关于原点对称fxfxfx()()()若总成立为偶函数函数图象关于轴对称fxfxfxy()()()判断函数奇偶性的方法一、定义域法一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.二、奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算)(xf，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x)=0奇函数f(x)-f(-x)=0偶函数f(x)1偶函数f(-x)f(x)1奇函数f(-x)三、复合函数奇偶性18.你熟悉周期函数的定义吗？（若存在实数（），在定义域内总有，则为周期TTfxTfxfx0()()函数，T是一个周期。）如：若，则fxafx()（答：是周期函数，为的一个周期）fxTafx()()2我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t.推导：()()0()(2)()(2)0fxfxtfxfxtfxtfxt，f(g)g(x)f[g(x)]f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称，对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。如：()()()()()()(2)(2)(2)()(2)2,222,()(22)()(22),()2||(,,,fxxaxbfaxfaxfbxfbxfxfaxfaxfbxfxfbxtaxbxtbaftftbafxfxbafxbaab又如：若图象有两条对称轴，即，令则即所以函数以为周期因不知道的大小关系为保守起见我加了一个绝对值19.你掌握常用的图象变换了吗？fxfxy()()与的图象关于轴对称联想点（x,y）,(-x,y)fxfxx()()与的图象关于轴对称联想点（x,y）,(x,-y)fxfx()()与的图象关于原点对称联想点（x,y）,(-x,-y)fxfxyx()()与的图象关于直线对称1联想点（x,y）,(y,x)fxfaxxa()()与的图象关于直线对称2联想点（x,y）,(2a-x,y)fxfaxa()()()与的图象关于点，对称20联想点（x,y）,(2a-x,0)将图象左移个单位右移个单位yfxaaaayfxayfxa()()()()()00上移个单位下移个单位bbbbyfxabyfxab()()()()00（这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。）注意如下“翻折”变换：()|()|x()(||)yfxfxfxfx把轴下方的图像翻到上面把轴右方的图像翻到上面如：fxx()log21作出及的图象yxyxloglog2211yy=log2xO1x19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？(k0)y(k0)y=bO’(a,b)Oxx=a（）一次函数：10ykxbk(k为斜率，b为直线与y轴的交点)（）反比例函数：推广为是中心，200ykxkybkxakOab'()的双曲线。（）二次函数图象为抛物线30244222yaxbxcaaxbaacba顶点坐标为，，对称轴baacbaxba24422开口方向：，向上，函数ayacba0442minayacba0442，向下，max1212122,,||||bxabcxxxxxxaaa根的关系：2212121212()()()()(mn()()()(,2()()()(,)(,)fxaxbxcfxaxmnfxaxxxxxxfxaxxxxhxhxh二次函数的几种表达形式：一般式顶点式，（，）为顶点是方程的个根）函数经过点（应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程axbxcxxyaxbxcx212200，时，两根、为二次函数的图象与轴的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。axbxc200()②求闭区间［m，n］上的最值。2max(),min()2max(),min()2224min,maxmax((),())4m,n0bnffmffnabmffnffmabnmacbafffmfnaa区间在对称轴左边（）区间在对称轴右边（）区间在对称轴边（）也可以比较和对称轴的关系，距离越远，值越大(只讨论的情况）③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。④一元二次方程根的分布问题。如：二次方程的两根都大于axbxckbakfk20020()y(a0)Okx1x2x一根大于，一根小于kkfk()0yOxkk0mn22()0()0mn()()0bmnafmfnfmfn在区间（，）内有根在区间（，）内有1根（）指数函数：，401yaaax（）对数函数，501yxaaalog由图象记性质！（注意底数的限定！）yy=ax(a1)(0a1)y=logax(a1)1O1x(0a1)（）“对勾函数”60yxkxk利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？（均值不等式一定要注意等号成立的条件）20.你在基本运算上常出现错误吗？指数运算：，aaaaapp01010(())aaaaaamnmnmnmn((010))，log()loglog00aaaMNMNMN对数运算：，logloglogloglogaaaanaMNMNMnM，1对数恒等式：axaxloglogloglogloglog1loglogmncaaacaxbnbbbamxa对数换底公式：21.如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）如：（），满足，证明为奇