Turbo码的理论分析和研究

Turbo码的理论分析和研究卢小娜SY04024541.Turbo码的提出C.E.Shannon在其“通信的数学理论”一文中提出并证明了著名的有噪信道编码定理，他在证明信息速率达到信道容量可实现无差错传输时引用了3个基本条件：1）采用随机性编译码。2）编码长度L趋于无穷，即分组的码组长度无限。3）译码过程采用最佳的最大似然译码（ML）方案。在信道编码的研究与发展过程中，基本上是以后两个条件为主要方向的。而对于条件1），虽然随机选择编码码字可以使获得好码的概率增大，但是最大似然译码器的复杂度随码字数目的增大而加大，当编码长度很大时，译码几乎不可能实现。因此，多年来随机编码理论一直是作为分析和证明编码定理的主要方法，而如何在构造码上发挥作用却并未引起人们的足够重视。直到1993年，Turbo码的发现，才较好的解决了这一问题，为Shannon随机码理论的应用研究奠定了基础。Turbo码，又称为并行级联卷积码（PCCC），它通过在编码器中引入随机交织器，使码字具有近似随机的特性；通过分量码的并行级联实现通过短码（分量码）构造长码（Turbo码）；在接受端虽然采用了次最优的迭代算法，但分量码采用的是最优的最大后验概率译码算法，同时通过迭代过程可使译码接近最大似然译码。综合上述分析可见，Turbo码充分考虑了Shannon信道编码定理证明时所假设的条件，从而获得了接近Shannon理论极限的性能。模拟结果表明，如果采用大小为65535的随机交织器，并进行18次迭代，则在Eb/No=0.7dB时，码率为1/2的Turbo码在AWGN信道上的误码率（BER）=10-5,接近了Shannon限（1/2码率的Shannon限时0dB）。Turbo码就目前而言，已经有了很大的发展，在各方面也都走向了实际应用阶段。同时，迭代译码的思想已经广泛应用于编码、调制、信号检测等领域。本文首先介绍Turbo码的基本编码方案以及编码器的各个组成部分，然后简单介绍Turbo迭代译码方案。2.Turbo码的编码Turbo码的最大特点在于它通过在编译码器中交织器和解交织器的使用，有效地实现了随机性编译码的思想，通过短码的有效结合实现长码，达到了接近Shannon理论极限的性能。Turbo码编码器是由两个递归系统卷积码（RSC）编码器通过一个随机交织器并行连接而成的，编码后的校验位经过删余阵，从而产生不同码率的码字。见图2-1。在Turbo码编码过程中，信息序列u={u1,u2,…uN}经过一个N位交织器，形成一个新序列u1={u1’,u2’,…uN’}（长度与内容没变，但比特位置经过重新排列）。u与u1分别送到两个分量编码器，同时u作为系统输出Xs直接送至复接器。一般情况下，这两个编码器结构相同，生成序列Xp1与Xp2。为了提高码率，序列Xp1与Xp2需要经过删余矩阵，采用删余技术从这两个校验序列中周期地删除一些校验位，形成校验位序列Xp。Xp与未编码序列Xs经过复用调制后，生成Turbo码序列X。编码器中交织器的使用是实现Turbo码近似随机编码的关键。交织器实际上是一个一一映射函数，作用是将输入信息序列中的比特位置进行重置，以减小分量编码器输出校验序列的相关性和提高码重。删余矩阵的作用是提高编码码率，其元素取自集合{0，1}。矩阵中每一行分别与两个分量编码器相对应，其中“0”表示相应位置上的校验比特被删除，而“1”则表示保留相应位置的校验比特。下面通过一个具体实例来说明Turbo码的编码过程。如图2-2是一个码率为1/3的Turbo码编码器的组成框图：复接删余矩阵分量编码器1交织器分量编码器2图2-1Turbo码编码器结构框图这个编码器是基于（2，1，4）RSC（递归系统卷积码）的Turbo码编码器，分量码是码率为1/2的寄存器级数为4的（2，1，4）RSC码，生成多项式为（1+D+D2+D3+D4,1+D4）。假设输入序列为(1011001)kd（2.1）则第一个分量码的输出序列为(1011001)kX1(1110001)kY（2.2）假设经过交织器后信息序列变为(1101010)kd（2.3）第二个分量码编码器所输出的校验位序列为2(1000000)kY（2.4）则得到Turbo码序列为(111,010,110,100,000,000,110)（2.5）图2-2一个码率为1/3的Turbo码编码器若要将码率提高到1/2，可采用一个删余矩阵，如1001P，表示分别删除1kY中位于偶数位的校验比特和2kY中位于奇数位的校验比特。与系统输出kX复接后得到Turbo码序列为(11,00,11,10,00,00,11)（2.6）同样，也可以通过在码字中增加校验比特的比率来提高Turbo码的性能。图2-3是M维Turbo编码器的一般性结构。以下如无特殊说明，所讨论的Turbo码均是指由两个分量码构成PCCC。3.Turbo码的译码Turbo码获得优异性能的根本原因之一是采用了迭代译码，通过分量译码器之间软信息的交换来提高译码性能。一个由两个分量码构成Turbo码的译码器是由两个与分量码编码器对应的译码单元和交织器与解交织器组成的，将一个译码单元的软输出信息作为下一个译码单元的输入，为了获得更好的译码性能，将此过程迭代数次。这就是Turbo码译码器的基本工作原理。3.1Turbo码译码器的组成Turbo码译码器的基本结构如图3-1所示。交织器1分量编码器1分量编码器M分量编码器2交织器M交织器2……图2-3Turbo码编码器的一般性结构它由两个软输入软输出（SISO）译码器DEC1和DE2串行级联组成，交织器与编码器中所使用的交织器相同。译码器DEC1对分量码RSC1进行最佳译码，产生关于信息序列u中每一比特的似然比信息，并将其中的“外信息”经过交织送给DEC2，译码器DEC2将此信息作为先验信息，对分量码RSC2进行最佳译码，产生交织后信息序列中每一比特的似然比信息，然后将其中的“外信息”经过解交织后送给DEC1，进行下一次译码。这样经过多次迭代，DEC1或DEC2的外信息趋于稳定，似然比渐进值逼近于对整个码的最大似然译码，然后对此似然比进行硬判决，即可得到信息序列u的每一比特的最佳估值序列û。在描述具体的迭代译码过程之前，先说明几个符号的意义。kP——码字符号或信息符号的概率信息；kL——码字符号或信息符号的概率对数似然比（LLR）信息；eL——外部对数似然比信息；aL——先验对数似然比信息；u——信息符号；c——码字符号；以码率为1/2的Turbo码为例，编码输出信号为图3-1Turbo码译码器框图,spkkkXxx对于BPSK调制，输出信号与编码码字,spkkkCcc之间满足关系21kskXEC(3.1.1)假定接收信号为,()spkkkYyy其中sskkkppkkkyxiyxq(3.1.2)ki和kq是服从均值为0，方差为No/2的独立同分布高斯随机变量。在接收端，接受采样经过匹配滤波之后得到的接收序列12,,,NRRRR经过串并转换后得到如下三序列：系统接收信息序列12,,,ssssNYyyy用于DEC1的接收校验序列111112,,,ppppNYyyy和用于DEC2的接收校验序列222212,,,ppppNYyyy若其中某些校验比特在编码过程中通过删余矩阵被删除，则在接收校验序列的相应位置以“0”填充。于是，两个译码器的输出序列分别为11221:,2:,spspdecYYYdecYYY为了使译码后的比特错误概率最小，根据最大后验概率准则，Turbo译码器的最佳译码策略是，根据接收序列计算后验概率（APP）12()\,kkPuPuYY。但这对于稍长一点的码计算复杂度太高。在Turbo码译码方案中，巧妙地采用了一种次最优的译码规则，将1Y和2Y分开考虑，由两个分量译码器分别计算后验概率11\,akPuYL和22\,akPuYL，然后通过DEC1和DEC2之间的多次迭代，使他们收敛于APP译码的12\,kPuYY，从而接近Shannon极限。3.2Turbo码的译码算法关于11\,akPuYL和22\,akPuYL的求解，目前已有多种方法，它们构成了Turbo码的不同译码算法。下面分别简单介绍。3.2.1分量码的最大后验概率译码（MAP）如图3-2所示SISO译码器，它能为每一译码比特提供对数似然比输出。MAP译码器的输入序列为112,,,,,NkNYyyyyy，其中，,()spkkkyyy。()akLu是关于ku的先验信息，()kLu是关于ku的对数似然比。它们的定义如下：(1)()ln(0)akkkpuLupu(3.2.1)11(1\)()ln(0\)NkkNkpuyLupuy(3.2.2)MAP译码器的任务就是求解式(3.2.2)，然后按照下列规则进行判决：1()0ˆ0()0kkkLuuLu(3.2.3)下面就对式(3.2.2)的计算方法进行推导。()kLuskYpkYMAP译码器图3-2SISO译码器框图()akLu根据Bayes规则，式(3.2.2)可以写为1111111(',)1111(',)0(1,)/()()ln(0,)/()(',,)/()ln(',,)/()kkNNkkNNkNNkkssuNNkkssupuypyLupuypypSsSsypypSsSsypy(3.2.4)式中，求和是对所有由1ku（或0ku）引起的1kkSS的状态转移进行的。11(',,)NkkpSsSsy可以按下式计算：11111(',,)',,\'\'',NkNkkkkkpssypsypsyspysssss(3.2.5)式中：1,kkspSsy为前向递推；1\NkkkspySs为后向递推；1',,\'kkkksspSsySs为s’和s之间的分支转移概率。考虑到RSC编码器等价于一个马尔可夫源，在状态1kS已知时，在k-1时刻以后发生的事件与以前输入无关。因此，可得11'111111'111''(,',)(',),\',',\''',kkkkskkkkkkskkkkkkssspSsSsypSsypSsySsyspSsySssss(3.2.6)1111'(,\')(\),\'',NkkkksNkkkkkkkssspSsySspySspSsySssss(3.2.7)至于分支转移概率',kss，可从其定义得到：11',\'\,'\kkkkkkkkksspSsSspySsSsPupyu(3.2.8)式中，kPu是ku的先验概率，\kkpyu由信道转移概率决定。为防止溢出，有必要对ks和ks进行归一化。令111()(\)kkkkkNkksspysspyy(3.2.9)因为11(,)kkkspypSsy，所以kkkssss(3.2.10)将式(3.2.6)带入上式，并分子分母同除以1kpy，得到1111''1111'''',/'','','',/kkkkksskkkkkkssssssspysssssssssspy(3.2.11)考虑到1111111\\/NkNkkkkkpyypyypypy，于是有11111111111111111'1'',''(\)\/',/\/','',/','',kkkskNkNkkkkkNkkk