08-立体图形上的最短路径问题

第8讲立体图形上的最短路径问题一、方法技巧解决立体图形上最短路径问题：1.基本思路：立体图形平面化，即化“曲”为“直”2.“平面化”的基本方法：（1）通过平移来转化例如：求A、B两点的最短距离，可通过平移，将楼梯“拉直”即可（2）通过旋转来转化例如：求'AC、两点的最短距离，可将长方体表面展开，利用勾股定理即可求例如：求小蚂蚁在圆锥底面上点A处绕圆锥一周回到A点的最短距离可将圆锥侧面展开，根据“两点之间，线段最短”即可得解（3）通过轴对称来转化例如：求圆柱形杯子外侧点B到内侧点A的最短距离，可将杯子（圆柱）侧面展开，作点A关于杯口的对称点'A，根据“两点之间，线段最短”可知'AB即为最短距离3.储备知识点：（1）两点之间，线段最短（2）勾股定理4.解题关键：准确画出立体图形的平面展开图二、应用举例类型一通过平移来转化【例题1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想要到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？【答案】13cm【解析】试题分析：只需将其展开便可直观得出解题思路，将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案.试题解析：解：展开图如图所示，2251213ABcm所以，蚂蚁爬行的最短路线是13cm类型二通过旋转来转化【例题2】如下图，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为8cm，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A点沿棱柱侧面到点C’处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少？【答案】cm412【解析】试题分析：解这类题应将立体图形展开，转化为平面图形，把空间两点的距离转化为平面上两点间的距离，利用“同一平面内两点间的最短路线是连接这两点的线段”进行计算.试题解析：解：如图1，设蚂蚁爬行的路径是AEC’（在面ADD’A’上爬行是一样的）.将四棱柱剪开铺平使矩形AA’B’B与BB’C’C相连，连接AC’，使E点在AC’上（如图2）)(412810')('2222cmCCBCABAC所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为cm412【难度】一般【例题3】如下图所示，圆柱形玻璃容器高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，试求蜘蛛捕获苍蝇充饥所走的最短路线的长度.【答案】34cm【解析】试题分析：展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇的最短路径，过点S作SECD于E，求出SE、EF，根据勾股定理求出SF即可.试题解析：解：如下图所示，把圆柱的半侧面展开成矩形，点S，F各自所在的母线为矩形的一组对边上下底面圆的半周长为矩形的另一组对边.该矩形上的线段SF即为所求的最短路线.过点S作点F所在母线的垂线，得到SEFRt.2230(1811)34SFcm【难度】较易【例题4】（2015·红河期末）如下图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________m（结果不取近似值）【答案】35【解析】试题分析：求小猫经过的最短距离，首先应将其侧面展开，将问题转化为平面上两点间的距离的问题，根据展开图中扇形的弧长与圆锥底面周长相等可求展开图的扇形圆心角度数，故可得出展开图中90BAP，即可用勾股定理求出小猫经过的最短距离BP长.试题解析：解：作出圆锥侧面展开后的扇形图如下图，设该扇形的圆心角度数为n，由展开扇形圆弧长等于底面圆周长，可得180nACBC，再由6ACBCm，可得180n，故在展开的平面图形中，1180902BAC点B到P的最短距离为22226335()BPABAPm【难度】一般类型三通过轴对称来转化【例题5】桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在位置？【答案】15厘米【解析】试题分析：把圆柱展开，得到矩形形状，AB、的最短距离就是线段'BA的长，根据勾股定理解答即可试题解析：解：如图所示，作A点关于杯口的对称点'A则22'91215BA厘米【难度】较易三、实战演练类型一通过平移来转化1．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为dm．【答案】25dm【解析】试题分析：先将图形平面展开，再根据勾股定理进行解答试题解析：解：如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理可得x2=202+[（2+3）×3]2，解得x=25．即蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为25dm．【难度】较易类型二通过旋转来转化2.（2015·陕西）有一个圆柱形油罐，已知油罐周长是12m，高AB是5m，要从点A处开始绕油罐一周造梯子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长？【答案】13m【解析】试题分析：把圆柱沿AB侧面展开，连接AB，再根据勾股定理得出结论试题解析：解：展开图如图所示，12ACm，5BCm222212513ABACBCm【难度】较易3.有一个圆柱体，如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一小蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处蚂蚁爬行的最短距离.【答案】21625cm【解析】试题分析：圆柱展开就是一个长方形，根据两点之间线段最短可求试题解析：解：∵4AB，BC为底面周长的一半，即5BC∴22222451625ACABBCcm【难度】较易4.葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线-螺旋前进的，难道植物也懂得数学？阅读以上信息，解决下列问题：（1）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm,则它爬行一周的路程是多少？（2）如果树干的周长是80cm,绕一圈爬行100cm，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？【答案】（1）50cm；（2）6m【解析】试题分析：（1）如下图，将圆柱展开，可知底面圆周长，即为AC的长，圆柱的高即为BC的长，求出AB的长即为葛藤树的最短路程（2）先根据勾股定理求出绕行1圈的高度，再求出绕行10圈的高度，即为树干高试题解析：解：（1）如图，O的周长为30cm，即AC=30cm高是40cm，则BC=40cm，由勾股定理得2250ABACBCcm故爬行一周的路程是50cm（2）O的周长为80cm，即AC=80cm绕一圈爬行100cm，则AB=100cm，高BC=60cm∴树干高=60×10=600cm=6m故树干高6m【难度】一般5．（2015·江阴市）如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点，蚂蚁爬行的最短距离是（）A．13B．17C．1D．25【答案】B【解析】试题分析：根据已知得出蚂蚁从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点，蚂蚁爬行的最短距离是如图BM的长度，进而利用勾股定理求出试题解析：解：∵蚂蚁从盒外的B点沿正方体的表面爬到盒内的M点∴蚂蚁爬行的最短距离是如图BM的长度∵无盖的正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M∴1224AB11AM∴224117BM故选：B【难度】较易6.已知O为圆锥顶点，OA、OB为圆锥的母线，C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示，若沿OA剪开，则得到的圆锥侧面展开图为（）【答案】C【解析】试题分析：要求小蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，再利用做对称点作出另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线.试题解析：解：∵C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A∴侧面展开图BO为扇形对称轴，连接AC即是最短路线∵另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，作出C关于OA的对称点，再利用扇形对称性得出关于BO的另一对称点，连接即可.故选C【难度】一般7．（2014·枣庄）图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为cm．【答案】3236cm【解析】试题分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将图②的几何体表面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果试题解析：解：如答图，易知△BCD是等腰直角三角形，△ACD是等边三角形，在Rt△BCD中，2262CDBCBDcm，∴1322BECDcm，在Rt△ACE中，2236AEACCEcm，∴从顶点A爬行到顶点B的最短距离为3236cm【难度】一般8.一个圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径r=2，若一只小蚂蚁从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬行的最短路线长是________（结果保留根式）【答案】82【解析】解：设圆锥的展开图扇形’QAA的中心角'AQA的度数为n，则822180n，解得：90n即'90AQA在'RtAQA中，根据勾股定理'82AA【难度】一般9.如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm，假若点B有一只蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食物，那么它爬行的最短路程是多少？【答案】25【解析】试题分析：根据圆锥的主视图是等边三角形可知，展开图是半径是4的半圆，点B是半圆的一个端点，而点P是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点B和P在展开图中的距离，就是这只蚂蚁爬行的最短距离试题解析：解：设圆锥的展开图的圆心角为n，则422180n，解得：180n即'180CAC在展开图中，'BACC，4BA，2AP由勾股定理得，22422025BP点评：本题主要考查了圆锥的侧面展开图的计算，正确判断蚂蚁爬行的路线，把曲面的问题化为平面的问题是解题的关键【难度】较难10.（1）如图○1，一个无盖的长方体盒子的棱长分别为3BCcm，4ABcm，15AAcm，盒子的内部顶点1C处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）假设昆虫甲在顶点1C处静止不动，请计算A处的昆虫乙沿盒子内壁爬行到昆虫甲1C处的最短路程，并画出其最短路径，简要说明画法（2）如果（1）问中的长方体的棱长分别为6ABBCcm，114AAcm，如图○2，假设昆虫甲从盒内顶点1C以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱1CC向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以3厘米/秒的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？【答案】（1）1AEC就是最短路径（2）5秒【解析】解：（1）如图二，将上表面展开，使上表面与前表面在同一平面内，即11AAD、、三点共线，111538AAAD114DC根据勾股定理得180AC如图三，将右侧面展开，使右侧面与下面在同一平面内，即1ABB、、三点共线1459ABBB，113BC根据勾股定理得190AC如图四，将右侧面展开，使右侧面与前表面在同一平面内，即ABC、、三点共线.437ABBC，15CC根据勾股定理得174AC∵74＜80＜90∴最短路程是74cm.在