第9章机械振动和机械波

第9章机械振动和机械波物体在某一位置附近所作的来回往复的运动。机械振动：振动在空间或媒质中的传播过程。简称为波。波动：机械振动在弹性媒质中的传播称为弹性波。变化电场和变化磁场在空间的传播称为电磁波。描述物体状态的物理量在某一数值附近往复变化振动:简谐振动是最简单、最基本的振动，是研究各种复杂振动的基础。振动和波动是紧密联系的两种物质运动形式，振动的规律是研究波动的必备基础。一、简谐振动的动力学特征:(以水平弹簧振子为例)1、受力特征2、平衡位置是物体受力为零的位置。1、位移是相对平衡位置的。§9.1简谐振动kxf说明平衡位置Fxkxpmmo物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化，这种运动就称为简谐振动。负号表示弹性力F的方向与位移的方向相反，始终指向运动物体的平衡位置，故称之为线性回复力。在线性回复力作用下物体沿x轴围绕平衡位置O点作周期性往复运动。2、动力学方程特征在水平方向上：xkf由牛顿第二定律，有：22ddtxmxk则有：ω仅由系统本身决定，与振动情况无关。加速度与离开平衡位置的位移大小成正比，方向相反。令：2mk0dd222xtx注意fgmNxkxmo若某系统的运动规律满足上述微分方程，且ω由系统性质决定，则该系统做简谐振动。（该判断方法具有一般性，不仅适用于机械振动）。3、运动学方程（振动表达式）由：0dd222xtx可解得：或：sin()xAt简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。A---振幅（离开平衡位置的最大距离）ω--角频率（2π秒内振动次数或单位时间相位改变）cos()xAt--相位（描述运动状态的量）t)cos(tAxAxOt利用上述判据判断是否做简谐振动的步骤：1、确定研究对象，分析受力。2、找出平衡位置（受合外力为零的点），写出回复力（或回复力矩）的表达式。3、写出动力学方程（利用牛顿第二定律或刚体定轴转动定律）。4、简谐振动的判椐若位移x，满足,xtx0dd222kxf)cos(tAx或或结论：如果质点所受的力可以表示为kxf或质点的位移与时间的关系可以表示为,xtx0dd222)cos(tAx或则质点做简谐振动。5、简谐振动的速度和加速度由：)cos(tAx1)v、a与x的ω相同。2)Aa,Avmaxmax24)三者相位依次差π/2。)sin(ddtAtxv)cos(dd2tAtva)2cos(/tAv)cos(2tAa3)a与x方向相反，且成正比。xa2说明二、描述简谐振动的特征量(1)振幅A(2)角频率)cos(tAx)cos(tAxTxAto描述物体振动强弱的物理量描述振动状态恢复的快慢。周期T:振动物体作一次完全振动（即一次往复运动）所经历的时间。单位：秒（s）cos()cos[()]AtAtT2T2T频率ν：周期的倒数，即单位时间内物体振动的次数。单位：赫兹（Hz）21T22T则称为角频率或圆频率，单位为rads1对于弹簧振子，kmT22mkT211mk固有周期固有频率(3)初相位、相位和相位差—t=0时的相位，反映初始时刻振动物体的运动状态。初相位—描述物体振动状态的物理量t相位相位差：)cos(1111tAx)cos(2222tAx)()(1122tt同相两振动步调相反。①同相和反相2(012....)kk、、两振动步调相同。(21)(012...)kk.、、反相)(Δ12txoA1A2x1x2同相x2xox1t反相A1A2两个同频率的简谐振动：②超前和滞后超前。比振动振动时当120,x2比x1较早达到正最大。超前比振动振动121A2x1xtox2A落后。比振动振动时当120,x1比x2较早达到正最大。1x1A2xtox2A落后比振动振动12(4)振幅和初相位的确定由：)cos(tAxsin()vAt初始条件：000vv,xxt时，)1cos0Axsin0Av写为：）2sin0Av22020vxA00arctan()vx联立1)和2)式，得：b）仅由中之一不能决定，需由其中两个方程可求出。cossintg,,a）尚需满足1）和2）所决定的状态。注意例题1、单摆：质量m，摆长l，试分析单摆的运动规律。gmtFT解：单摆受力如图所示。取逆时针方向为角位移θ的正方向，则重力沿摆球运动轨迹的切向分量为：sintmFg负号表明该力的方向与角位移的方向相反。0dd22lgtsindd22gtl若θ很小，则有：sin即：摆球的切向运动方程为：sinmgmaFtt22ddddtlltvat因此，单摆在小角度下的摆动是简谐振动。其中：lg0dd222t22lTg单摆的周期：例题2、一长为l的均匀细棒悬于其一端的光滑水平轴上，做成一复摆。此摆作微小摆动的周期为多少？解：均匀细棒可看作刚体，分析所受力矩：取逆时针为正方向。sin2lMmgJmglsin2θ很小，则：02dd31222lgtl即：023dd22lgtlg232glT3222由转动定律：22ddtJ222dd31tmlOgml所以是简谐振动，其周期为：例题3、一质点沿x轴作简谐振动，其角频率。在t=0时刻，其初始位移，初始速度。求此简谐振动的表达式。1rads10cm07.5x1cms075.0v解：质点的振动方程及速度表达式分别为cos()xAtsin()vAtm2222200220.750.07510.610()10vAx则根据初始条件可得：000.7537arctan()arctan()100.07544vx或将初始条件和角频率代入振动方程有0.075cosAcos0所以因此可以确定74所以该质点作简谐振动的表达式为m2710.610cos(10)()4xt例题4、一质点作简谐振动，其振动曲线如图所示。求此简谐振动的表达式。x/m0.040.04O/st0.5解：质点作简谐振动，其振动方程及速度表达式分别为cos()xAtsin()vAt由振动曲线可知m0.04Ass20.51T1rads22T0t00x，00v时，由图可知，即0cos0xA0sin0vA可以确定2则该简谐振动的表达式为m0.04cos(2)()2xt三、简谐振动的研究方法1、解析法：已知表达式A、、2、曲线法：已知曲线A、、3、旋转矢量法：已知A、、曲线已知A、、表达式)cos(tAx)cos(tAxTAxoAtAAx0ttoxtt四、简谐振动的旋转矢量表示法1、旋转矢量：－振幅ApAxoM0t作坐标轴Ox,自O点作一矢量OM，用表示。AAAt时刻与x轴的夹角－相位ωt+A以恒定角速度ω绕O点作逆时针转动－角频率ωA在t=0时与x轴的夹角－初相AtA矢量的端点M在x轴上的投影点P的坐标为：A)cos(tAx旋转矢量在x轴上的投影坐标作简谐振动。P点的速度和加速度分别代表着简谐振动的速度和加速度。例题5以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线如图所示，试写出其运动方程。解设该简谐振动的运动方程为)cos(tAx由图可知，A=2cm，当t=0时1cos20x32/由矢量图可得：t=1s时位移达到正的最大值，即：画出矢量图：知：34341tstAAx3234cos2txAAx00v01212(s)t(cm)xs1例题6、一质点沿x轴作简谐振动，振幅A=0.12m，周期T=2s，当t=0时，质点对平衡位置的位移x0=0.06m，此时向x轴正向运动。求：(1)此振动的表达式。(2)从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时间。利用旋转矢量法求解，根据初始条件就可画出振幅矢量的初始位置，从而得到：3O20Ax0vx)cos(tAx解(1)取平衡位置为坐标原点。设振动方程为：T20.12cos()3xt(2)旋转矢量图可知，从起始时刻到第一次质点通过原点，旋转矢量转过的角度为：A/t65s830.2tv00时，在3，4象限。v00时，在1，2象限。x00时，在1，4象限。x00时，在2，3象限。AA0v0x0v0x0v0x0v0x讨论：6523)(sin21212222tmAmvEk2、简谐振动的势能)(cos2121222tkAkxEp五、简谐振动的能量)(sin2122tkA1、简谐振动的动能)sin(tAv3、简谐振动的总能量221kAEEEpk①在运动过程中，Ep与Ek振幅相同，变化规律相同，周期相同，相位相反②系统总能量守恒，与振幅的平方成正比，动能与势能相互转换，系统与外界无能量交换（无阻尼自由振动系统）E/Ek/EptkAEk22sin21tkAEp22cos21221kAE43TT4T2Tto说明③E∝A2，这是一切振动形式的共同性质。④将222111222EmvkxkA对时间求一阶导数，得dd2211()022mvkxtddvtx2dd20xkxtm得到即：对同一物理现象，用动力学观点分析得到的简谐振动的微分方程式和从能量观点分析得到的简谐振动的微分方程式，结论是相同的。1、简谐振动的定义式：或：2、简谐振动的动力学特征：物体受力与位移成正比而方向相反。3、简谐振动的运动学特征：物体的加速度与位移成正比而方向相反。4、描述简谐振动的物理量:①振幅A：②角频率：mklg)cos(tAx0dd222xtxkxfxmka22020vxA一、简谐振动小结kmT2221Tf④相位(t+)和初相：③周期T和频率：glT2⑤相位差：同相:)210(2....kk、、)210(12....kk、、）（反相:)()(1122tt5、旋转矢量法：AAptxoM0tt00tgxv)(Δ12一、同方向同频率谐振动的合成：)cos(222tAx)cos(111tAx21xxx合振动的运动方程：22112211coscossinsintgAAAA§9.2简谐振动的合成)cos(212212221AAAAA222coscossinsinAtt11221122(coscos)cos(sinsin)sinAAtAAt111coscossinsinAtt11221122coscoscossinsinsinAAAAAA令)cos(tAx有:合成结果仍为简谐运动合振动与分振动在同一方向，且有相同频率。说明：用旋转矢量法研究同方向、同频率简谐振动的合成：由旋转矢量图可以直接得到合振动的振幅及初相位。22sinA11sinAx22cosA11cosAA2A1A21讨论：(1)(2)同相，合振幅最大反相，合振幅最小当A1=A2时，质点静止。