第5章抽样分布与参数估计

02468101214161850-6070-8090-1000%5%10%15%20%25%30%35%`统计学导论曾五一肖红叶主编5-2第五章抽样分布与参数估计第一节抽样的基本概念与数学原理第二节抽样分布第三节参数估计第四节样本容量的确定第五节EXCEL在参数估计中的应用5-3第一节抽样的基本概念与数学原理一、有关抽样的基本概念二、大数定理与中心极限定理5-4一、有关抽样的基本概念（一）样本容量与样本个数1.样本容量。样本是从总体中抽出的部分单位的集合，这个集合的大小称为样本容量，一般用n表示，它表明一个样本中所包含的单位数。一般地，样本单位数大于30个的样本称为大样本，不超过30个的样本称为小样本。2.样本个数。样本个数又称样本可能数目，它是指从一个总体中可能抽取多少个样本。5-5（二）总体参数与样本统计量1.总体参数。总体分布的数量特征就是总体的参数，也是抽样统计推断的对象。常见的总体参数有：总体的平均数指标，总体成数(比例)指标，总体分布的方差、标准差等等。它们都是反映总体分布特征的重要指标。5-62.样本统计量。样本统计量是样本的一个函数。它们是随机变量。我们利用统计量来估计和推断总体的有关参数。常见的样本统计量有：样本平均数，样本比例，样本的方差、标准差。5-7（三）概率抽样及其组织形式所谓概率抽样，就是要求对总体的每一次观察（每一次抽取）都是一次随机试验，并且有和总体相同的分布。按这样的要求对总体观测（抽取）n次，可得到容量为n的样本。5-8【例5-1】有10个同样的球，分别标有从1至10的号码。（1）从中有目的地抽出5号球；（2）从中随便地取一个球；（3）把10个球放在袋中，充分混匀，从中抽出一个球，抽取时，要求袋中各个球有相等的被抽中的概率。5-9显然，（1）和（2）的抽取行为都不是随机试验。因而不属于概率抽样。只有（3）的抽取行为是随机试验。总体的分布可用表5-1的分布列来描述，而（3）的随机试验中所观测的随机变量也有与表5-1有相同的分布。所以，（3）的抽取行为是概率抽样。表5-110个球号码的分布号码12345678910频率1011011011011011011011011011015-10（四）放回抽样与不放回抽样1.放回抽样。放回抽样的具体做法是：从总体中抽出一个样本单位，记录其标志值后，又将其放回总体中继续参加下一轮单位的抽取。放回抽样的特点是：第一，n个单位的样本是由n次试验的结果构成的。第二，每次试验是独立的，即其试验的结果与前次、后次的结果无关。第三，每次试验是在相同条件下进行的，每个单位在多次试验中选中的机会(概率)是相同的。在放回抽样中，样本可能的个数是nN，N为总体单位数，n为样本容量。5-112.不放回抽样。不放回抽样的具体做法是：每次从总体抽取一个单位，记录其标志值后不放回原总体，不参加下一轮抽样。下一次继续从总体中余下的单位中抽取。不放回抽样的特点是：第一，n个单位的样本由n次试验结果构成，但由于每次抽出不放回，所以实质上相当于从总体中同时抽取n个样本单位。第二，每次试验结果不是独立的，上次中选情况影响下次抽选结果。第三，每个单位在多次(轮)试验中中选的机会是不等的。不放回抽样，如果考虑顺序，其样本可能个数为)!(!nNN；如果不考虑顺序，其样本可能个数为!)!(!nnNN。5-12（五）抽样分布从总体中可以随机地抽取许多样本，由每一个样本都可以计算样本统计量的观测值，所有可能的样本观测值及其所对应的概率便是所谓的抽样分布。因此，抽样分布也可以称为样本统计量的概率分布。抽样分布可能是精确地服从某种已知分布（所谓已知分布，例如我们在第四章介绍过的各种常见分布），也可能是以某种已知分布为极限分布。在实际应用中，后者更为多见。5-13【例5-2】对某公司10名推销员用放回抽样方式抽取容量为n=2的样本（y1，y2），构造统计量()/1inYyni。10名推销员任职年限如表5-2。表5-210名推销员任职年限资料推销员编号12345678910任职年限（xi）12345678910要求：（1）计算样本的可能个数。（2）给出统计量X的分布、数学期望和标准差。5-14解：（1）可能样本数=Nn=102=100所有可能得到的样本如表5-3。表中方格内数对是用推销员序号表示的样本的各种配合方式，括号内数字是推销员任职年限的样本均值。(2)用表5-3中各样本配合方式的样本均值（括号中数字）数据作成分布数列（表5-4）便描述了样本平均数这个统计量的分布。5-15第二次抽取可能被抽中的人员12345678910第一次抽取可能被抽中的人员11,1(1)1,2(1.5)1,3(2)1,4(2.5)1,5(3)1,6(3.5)1,7(4)1,8(4.5)1,9(5)1,10(5.5)22,1(1.5)2,2(2)2,3(2.5)2,4(3)2,5(3.5)2,6(4)2,7(4.5)2,8(5)2,9(5.5)2,10(6)33,1(2)3,2(2.5)3,3(3)3,4(3.5)3,5(4)3,6(4.5)3,7(5)3,8(5.5)3,9(6)3,10(6.5)44,1(2.5)4,2(3)4,3(3.5)4,4(4)4,5(4.5)4,6(5)4,7(5.5)4,8(6)4,9(6.5)4,10(7)55,1(3)5,2(3.5)5,3(4)5,4(4.5)5,5(5)5,6(5.5)5,7(6)5,8(6.5)5,9(7)5,10(7.5)66,1(3.5)6,2(4)6,3(4.5)6,4(5)6,5(5.5)6,6(6)6,7(6.5)6,8(7)6,9(7.5)6,10(8)77,1(4)7,2(4.5)7,3(5)7,4(5.5)7,5(6)7,6(6.5)7,7(7)7,8(7.5)7,9(8)7,10(8.5)88,1(4.5)8,2(5)8,3(5.5)8,4(6)8,5(6.5)8,6(7)8,7(7.5)8,8(8)8,9(8.5)8,10(9)99,1(5)9,2(5.5)9,3(6)9,4(6.5)9,5(7)9,6(7.5)9,7(8)9,8(8.5)9,9(9)9,10(9.5)1010,1(5.5)10,2(6)10,3(6.5)10,4(7)10,5(7.5)10,6(8)10,7(8.5)10,8(9)10,9(9.5)10,10(10)表5-310人中有放回抽二人的全部可能样本5-16表5-4任职年限样本均值分布数列样本均值X样本数P(X)1.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.06.57.07.58.08.59.09.510.0123456789109876543210.010.020.030.040.050.060.070.080.090.100.090.080.070.060.050.040.030.020.01合计1001.005-17利用表5-4的资料，可以计算出样本平均数的期望值与方差。22222()()5.50()()[()]()[()]34.375(5.5)4.125EVEEXXPXXXXXPXXPXx()4.1252.0310VX5-18二、大数定理与中心极限定理（一）大数定理。大数定理：独立同分布的随机变量X1，X2，…,Xn，…，并且有数学期望iEX及方差2iVX，(i=1,2,…)。则对任意的正数ε，有：111niinXnplim(5.5)5-19大数定理表明：尽管个别现象受偶然因素影响，有各自不同的表现。但是，对总体的大量观察后进行平均，就能使偶然因素的影响相互抵消，消除由个别偶然因素引起的极端性影响，从而使总体平均数稳定下来，反映出事物变化的一般规律。5-20（二）正态分布的再生定理如果变量X服从正态分布，总体的平均数是，标准差是，从这个总体中抽出一个容量是n的样本，则样本平均数X也服从正态分布，其平均数)X(E仍为，其标准差为X。5-21从正态分布的再生定理可以看出，只要总体变量服从正态分布，则从中抽取的样本，不管n是多少，样本平均数都服从正态分布。但是在客观实际中，总体并非都是正态分布。对于从非正态分布的总体中抽取的样本平均数的分布问题，需要由中心极限定理来解决。5-22（三）中心极限定理1.样本平均数的中心极限定理如果变量X的分布具有期望值和标准差，从这个总体抽取容量为n的样本，则当n趋于无穷大时，样本平均数X近似服从正态分布，其平均数)X(E仍为，其标准差为X。中心极限定理告诉我们无论总体服从何种分布，只要它的平均数与标准差客观存在，我们就可以通过增大样本容量n的方式，保证样本平均数X近似服从正态分布。样本容量n越大，样本平均数的分布就越接近正态分布。5-232.样本比例的中心极限定理从任一总体比例为、方差为)(1的（0，1）分布总体中，抽取容量为n的样本，其样本比例P的分布会随着n的增大而趋近于平均数为，标准差为p的正态分布。5-24第二节抽样分布一、样本平均数的抽样分布二、样本比例的抽样分布5-25一、样本平均数的抽样分布（一）样本平均数的期望值与方差在放回抽样的情形下，设从总体中抽出的样本为nxxx,,,21，其是相互独立的，并且与总体服从同一分布。设总体均值为，方差为2，则可推导出样本平均数的期望值与方差、标准差分别为：5-2612()()1()()()12nnX+X++XEXEnEXEXEXn（5.7）2122122()1()()()nxnXXXDnDXDXDXnn（5.8）nx（5.9）5-27【例5-3】计算例5-2中10名推销员平均的任职年限及其标准差，并与例5-2求得的样本平均数的期望值与方差作比较。解：(12+3+4+5+6+7+8+9+10)/10=5.5222(15.5)(25.5)(105.5)/102.87228E(X)5.52.87228/22.0310xn5-28在不放回抽样的情况下，数学上可以证明，其样本平均数的期望值同样等于总体的期望值。而样本平均数的标准差为：12NnNnx(5.10)上式中的N为总体单位数。与放回抽样相比，这里多了一个NnNnN11，这个系数称为不放回抽样的修正系数。由于该系数在0，1之间，因此，不放回抽样的标准差比放回抽样小。当N远大于n时，修正系数近似1，修正与否对平均误差几乎没有影响，这时可以不考虑抽样方式差异，都按放回抽样处理。5-29（二）样本平均数的分布规律当总体X服从正态分布时，根据正态分布的再生定理，样本平均数服从正态分布，即2~(,)XXN。当总体不服从正态分布时，根据中心极限定理，只要样本容量n足够大，样本平均数X仍近似地服从正态分布2(,)XN。一般来说，当总体分布接近正态分布时，所需的样本容量n可以较小，反之则需要较大的样本容量。通常将样本单位数不少于30的称为大样本。5-30【例5-4】160件电子元器件重量的均值为5.02克，标准差为0.30克，从中采用不放回方式随机抽取64件，试求：（1）样本平均数的期望值与方差；（2）总重量在4.96克与5.00克之间的概率。解：（1）E(X)5.02克；12NnNnx=0.3160-64)0.02914(160-1)64（克5-31（2）该问题可化为求样本平均数的观测值在4.96克-5.0克之间的概率。因为2~(5.02,0.3)XN,所以，可先将其进行标准变换，并利用上一章介绍的标准正态分布求解概率。即有：4.96-5.025.0-5.02P(4.96X5.0)PZ0.30.3=0.0279+0.0793=0.10725-32例题1、某地区职工家庭的人均年收入平均为60000元，标准差为8000元。若知该地区家庭的人人均年收