七年级数学下册培优资料

七年级数学下册培优资料整式的乘除与因式分解考点·方法·破译1.同底数幂的乘法：mnmnaaa，（m,n都是正整数），即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。2.幂的乘方：()mnmnaa，（m,n都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘。3.积的乘方：()nnnabab，（n为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。4.整式的乘法：（1）单项式的乘法法则：一般地，单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．（2）单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．可用下式表示：m(a+b+c)=ma+mb+mc(a、b、c都表示单项式)（3）多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．5.乘法公式：（1）平方差公式:平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个数的平方差”，即用字母表示为：(a+b)(a－b)=a2－b2；其结构特征是：公式的左边是两个一次二项式的乘积，并且这两个二项式中有一项是完全相同的，另一项则是互为相反数，右边是乘式中两项的平方差.（2）完全平方公式：完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和（或差）的平方，等于第一数的平方加上（或减去）第一数与第二数乘积的2倍，加上第二数的平方”，即用字母表示为：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a－b)2=a2－2ab+b2；其结构特征是：左边是“两个数的和或差”的平方，右边是三项，首末两项是平方项，且符号相同，中间项是2ab，且符号由左边的“和”或“差”来确定.在完全平方公式中，字母a、b都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的数，也可以取一个单项式、一个多项式或代数式.如(3x+y－2)2＝(3x+y)2－2×(3x+y)×2+22＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4，或者(3x+y－2)2＝(3x)2+2×3x(y－2)+(y－2)2＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4.前者是把3x+y看成是完全平方公式中的a，2看成是b；后者是把3x看成是完全平方公式中的a，y－2看成是b.（3）添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都变号。乘法公式的几种常见的恒等变形有：(1)．a2+b2＝(a+b)2－2ab＝(a－b)2+2ab.(2)．ab＝21［(a+b)2－（a2+b2）］＝41［(a+b)2－(a－b)2］＝2222baba.(3)．(a+b)2+(a－b)2＝2a2+2b2.(4)．(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.利用上述的恒等变形，我们可以迅速地解决有关看似与乘法公式无关的问题，并且还会收到事半功倍的效果.6.整式的除法：mnmnaaa，（0a，m，n都是正整数，并且mn），即同底数幂相除，底数不变，指数相减。（1）01(0)aa，任何不等于0的数的0次幂都等于1.（2）单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。（3）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。7.因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。8．常用的因式分解方法：（1）提公因式法：把mambmc，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式()abc是mambmc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法。i多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。ii公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；②字母：各项都含有的相同字母；③指数：相同字母的最低次幂。（2）公式法：（1）常用公式平方差：)ba)(ba(ba22完全平方：222)ba(b2aba（2）常见的两个二项式幂的变号规律：①22()()nnabba；②2121()()nnabba．（n为正整数）（3）十字相乘法ⅰ二次项系数为1的二次三项式qpxx2中，如果能把常数项q分解成两个因式ba,的积，并且ba等于一次项系数中p，那么它就可以分解成bxaxabxbaxqpxx22ⅱ二次项系数不为1的二次三项式cbxax2中，如果能把二次项系数a分解成两个因数21,aa的积，把常数项c分解成两个因数21,cc的积，并且1221caca等于一次项系数b，那么它就可以分解成：2112212212ccxcacaxaacbxax221cxaaxa。（4）分组分解法ⅰ定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22abab没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如：22abab=22()()()()()()(1)ababababababab，这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。ⅱ原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。ⅲ有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。经典·考题·赏析第一讲整式的乘除【例1】例题下列运算正确的是（）A.a5+a5=a10B.a5·a5=a10C．a4·a5=a20D．（a4）5=a9【思路点拨】选支A是整式的加法运算，合并得2a5；选支B正确；选支C为同底数幂运算应指数相加，而不是相乘，故为a4·a5=a9；选支D为幂的乘方运算，应底数不变，指数相乘，为（a4）5=a20．【解析】本题应选Ｂ．【规律总结】同底数幂的乘法是学习整式乘法的基础，一定要学好，学习它时注意体会从特殊到一般、从具体到抽象，有层次的进行概括抽象，归纳原理．【例2】下列运算正确的是（）A.(－x)2x3=x6B.325()()xxxC．2222)2(4xxxD．6328)2(xx【思路点拨】选支A错在把指数相乘，实际应相加(－x)2∙x3=x2·x3=x5；选支B错在符号不对，负的偶次幂为正，负的奇次幂为负，32()()xx=32xx=5x；选支C中积的乘方运算出现漏乘项错误，224(2)xx=22242xx=22440xx；选支D运算正确．【解析】本题应选Ｄ．【规律总结】幂的乘方与积的乘方，是学习整式乘法的基础．导出幂的乘方的根据是乘方的意义和同底数幂的乘法的性质．同学们要真正理解幂的乘方法的性质，这样才不致混淆性质而运算出错．【例3】下列运算在正确的是（）A.55102xxxB.358()()xxxC.2333(2)424xyxxyD.22111(3)(3)9224xyxyxy[答案]B[错因透视]对整式运算法则理解不深入才会出现错误，5552xxx，3(2)8，2111(3)(3)(3)222xyxyxy【例4】计算：（-2x2y）2·(-3xy)【思路点拨】灵活运用幂的运算性质、乘法交换律等进行运算．【解析】原式=4x4y2·(-3xy)(据积的乘方)=[4×(-3)](x4·x)(y2·y)(据乘法交换律、结合律)=-12x5y3(据有理数的乘法、同底数幂的乘法)【规律总结】因为单项式是数字与字母的积，所以，幂的运算性质，乘法交换律、结合律，可作为单项式乘法的依据．单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用，如：2a2b·(-3ab2)·5abc=[2×(-3)×5]·(a2·a·a)·(b·b2·b)·c=-30a4b4c【例5】（1）2xy(5xy2+3xy-1)（2）(a2-2bc)·(-2ab)2【思路点拨】（1）小题单项式为2xy，多项式里含三项为：5xy2、3xy、-1，乘积仍为三项；(2)小题应先算(-3ab)2，再用乘法交换律后的计算方法是相同的．【解析】（1）原式=2xy·5xy2+2xy·3xy+2xy·(-1)=10x2y3+6x2y2-2xy（2）原式=(a2-2bc)·4a2b2=4a2b2·a2+4a2b2·(-2bc)=4a4b2-8a2b3c【规律总结】在解答单项式与多项式相乘问题时，易犯如下错误：①出现漏乘，而导致缺项；②出现符号错误；③运算顺序出错，造成计算有错．【例6】计算：(1)(3x-2y)(2a+3b)(2)(x-y)(x2+xy+y2)【思路点拨】第（1）题，先用x分别与2a、3b相乘，再用-2y分别与2a、3b相乘，然后把所得的积相加；第（2）题，可先用二项式（x-y）中的x分别与三项式中的各项相乘，再用-y分别与三项式中的各项相乘，然后把所得的积相加．【解析】(1)原式=3x·2a+3x·3b+(-2y)·2a+(-2y)·3b=6ax+9bx-4ay-6by(2)原式=x·x2+x·xy+x·y2+(-y)·x2+(-y)·xy+(-y)·y2=x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3=x3-y3【规律总结】（1）利用多项式乘法法则时，既不要漏乘，又要注意确定各项的符号．（2）乘积中有同类项，要合并同类项．【例7】计算(1)(3x2+2y2)(-3x2+2y3)【思路点拨】仔细观察题目特点，凡两因式中相同项当作公式中的a，另一项(必须是互为相反数)当作公式中的b方可应用平方差公式，而有的，必须经过变形才能运用平方差公式．【解析】原式=(2y3)2-(3x2)2=4y6-9x4【规律总结】公式中的字母可表示具体的数，也可表示单项式或多项式，只要符合平方差公式的结构特征，就可运用．【例8】化简：(1)(2a+3b)2(2)(-x+2y)2(3)(-m-2n)2【思路点拨】此题可利用完全平方公式计算，第（1）题是两数和的平方，应选用“和”的完全平方公式，其中2a是公式中的a，3b是公式中的b；第(2)题(-x+2y)2=(2y-x)2=(x-2y)2所以应选用“差”的完全平方公式简捷；第(3)题(-m-2n)2=[-(m+2n)]2=(m+2n)2应选用“和”的完全平方公式简捷．【解析】(1)(2a+3b)2=(2a)2+2．2a．3b+(3b)2=4a2+12ab+9b2(2)(-x+2y)2=(2y-x)2=(2y)2-2·2y·x+x2=4y2-4xy+x2(3)(-m-2n)2=[-(m+2n)]2=(m+2n)2=m2+4mn+4n2【规律总结】（1）这三题其实都可以用“和”的完全平方公式（或“差”的完全平方公式）计算，只不过根据题目特点灵活采用变形可简化计算过程，其中(-x+2y)2转化为(2y-x)2或(x-2y)2是一个常用技巧．（2）完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2，展开式可记成“首(a)平方、尾(b)平方，首(a)尾(b)乘积的2倍加减在中央”．【例9】计算：(1)y10÷y3÷y4(2)(-ab)5÷(-ab)3【思路点拨】先观察题目，确定运算顺序及可运用的公式，再进行计算．题目（2）中被除数与除数的底数相同，故可先进行同底数幂的除法，再运用积的乘方的公式将计算进行到最后．【解析】(1)y10÷y3÷y4=y10-3-4=y3(2)(-ab)5÷(-ab)3=(-ab)2=a2b2【规律总结】像（2）这种题目，一定要计算到最后一步．【例10】计算：(1)xn+2÷xn-2(2)(x4)3·x4÷x16（3）用小数或分数表示：5.2×10-3【思路点拨】（1）在运用“同底数幂的除法”公式时，指数若是多项式，指数相减一定要打括号．(2)中先乘方运算再做乘除法；（3）先将负指数的幂化为小数，再进行乘法运算，得到最后结果．【解析】(1)xn+2÷x