函数的表示法(公开课)

§2.2.2函数的表示法初中我们学习过,函数的表示方法通常有种,它们是、和。列表法图像法解析法三在研究函数的过程中,采用不同的方法表示函数,可以从不同的角度帮助我们理解函数的性质,是研究函数的重要手段.列表法的优点：不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观。在实际问题中常常使用表格，有些表格描述了两个变量间的函数关系。比如，某天一昼夜温度变化情况如下表时刻0：004：008：0012：0016：0020：0024：00温度/(OC)-2-5498.53.5-1像这样，用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法，称为列表法。列表法的缺点：它只能表示有限个元素间的函数关系。1、列表法图像法的优点：能形象直观的表示出函数的局部变化规律。人的心脏跳动强度是时间的函数。医学上常用心电图，就是利用仪器记录心脏跳动的强度（函数值）随时间变化的曲线图。2、图像法像这样，用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法，称为图像法。图像法的缺点：只能近似求出自变量所对应的函数值，而且有时误差较大。把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。3、解析法正比列函数反比列函数一次函数二次函数)0(kkxy)0(kxky)0(kbkxy)0(2acbxaxy函数解析式一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式（简称解析式）表示出来，这种方法称为解析法。xy3xy2152xy652xxy解析法的优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求任意一个函数值。三是能便利研究函数性质。解析法的缺点：不够形象、直观，而且并不是所有函数都有解析式。解析法1、h=130t-5t2（0≤t≤26）2、南极臭氧层空洞图象法3、恩格尔系数列表法(5)气温的摄氏度数x与华氏度数y之间可以进行转化。3259xy(6)某气象站测得当地某一天的气温变化情况如图所示：20２10８６４121816142422(时)时间t温度T（℃）-２0２468(4)近年来上海市区的环境绿化不断得到改善，下表是上海市区人均绿化面积变化的一些统计数据：年份200020012002200320042005人均绿化面积(㎡）4.55.57.09.410.011.0解析法图象法列表法用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法。用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法。一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式（简称解析式）表示出来。函数的表示法列表法图像法解析法列表法图像法解析法优点不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观可以直观地表示函数的局部变化规律，进而可以预测它的整体趋势一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求任意一个函数值。三是能便利研究函数性质。缺点只能表示有限个元素间的函数关系有些函数的图像难以精确作出不够形象、直观，一些实际问题难以找到它的解析式例1某种笔记本每个5元,买x（x∈{1,2,3,4,5}）个笔记本需要y(元).试用三种表示方法表示函数y=f(x).解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}，解析法表示:y=5x,(x∈{1,2,3,4,5})笔记本数x12345钱数y510152025列表法表示:12345x0510152025y．．．．．图象法表示：它的函数图像为第一和第二象限的角平分线.||yx-3-2-1O123321xy解:由绝对值的定义，得:例2、请画出函数的图像:||xy||xy,x,x0xx＜0例3、国内跨省市之间邮寄信函,每封信函的质量和对应的邮资如表.信函质量(m)/g0m≤2020m≤4040m≤6060m≤8080m≤100邮资(M)/元1.202.403.604.806.00画出图像,并写出函数的解析式.].100,80(,00.6],80,60(,80.4],60,40(,60.3],40,20(,40.2],20,0(,20.1mmmmmM解：邮资是信函质量的函数，函数图像如图。函数的解析式为M＝1.20，0m≤20，2.40，20m≤40，3.60，40m≤60，4.80，60m≤80，6.00，80m≤100.o20406080100m/g1.204.803.602.401.20M/元例3、国内跨省市之间邮寄信函,每封信函的质量和对应的邮资如表.信函质量(m)/g0m≤2020m≤4040m≤6060m≤8080m≤100邮资(M)/元1.202.403.604.806.00画出图像,并写出函数的解析式.解：邮资是信函质量的函数，函数图像如图。函数的解析式为M＝1.20，0m≤20，2.40，20m≤40，3.60，40m≤60，4.80，60m≤80，6.00，80m≤100.o20406080100m/g1.204.803.602.401.20M/元这样的函数称为分段函数分段函数不是几个函数，而是同一个函数在不同范围内的表示方法不同所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数，（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。对它应有以下两点基本认识：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、线段、折线、离散的点等等。例4、某质点在30s内运动速度v是时间t的函数,它的图像如图,用解析法表示出这个函数,并求出9s时质点的速度.t/sv/(cm/s)05101520253030252015105代入(20，30)，(30，0)得b=105k+b=15设v=kt+bb=10k=1v=t+10代入(0，10)，(5，15)得20k+b=3030k+b=0k=－3b=90v=－3t+90例4、某质点在30s内运动速度v是时间t的函数,它的图像如图,用解析法表示出这个函数,并求出9s时质点的速度.t/sv/(cm/s)05101520253030252015105,903,30,3,10)(ttttvt∈[0,5)，t∈[5,10)，t∈[10,20)，t∈[20,30].∵9∈[5,10)∴当t=9s时,质点的速度v(9)=3×9=27(cm/s).解速度是时间的函数，解析式为求分段函数的值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围;再按相应的对应法则求值v(2)=v(12)=v(20)=v(7)=例4、某质点在30s内运动速度v是时间t的函数,它的图像如图,用解析法表示出这个函数,并求出9s时质点的速度.t/sv/(cm/s)05101520253030252015105v(t)=t+10,(0≤t5),3t,(5≤t＜10),30,(10≤t＜20),t=9s时,v(9)=3×9=27(cm/s)-3t+90,(20≤t≤30).解:解析式为1.写出下列函数的定义域、值域：（1）f(x)=3x+5;（2）f(x)的图像如图；x12345678f(x)182764125216343512(3)(1)、定义域和值域都是(2)、定义域为思考交流值域为(3)、定义域为值域为{1,2,3,4,5,6,7,8}{1,8,27,64,125,216,343,512}R[a1,a2]∪[a3,a4][b4,b3]2.下面图形是函数图像吗？O11xyO11xyO11xy对于每一个自变量是不是有唯一的值和它对应思考交流3.下图中可表示函数y=f(x)的图像的只可能是（）xyoxyoxyoxyoD思考交流4.设M=[0,2],N=[1,2],在下列各图中,能表示f:M→N的函数是().xxxxyyyy000022222222ABCDD思考交流5.已知函数f(x)=x+2,(x≤－1)x2,(－1＜x＜2)2x,(x≥2)若f(x)=3,则x的值是()A.1B.1或32C.1,,332D.3D思考交流如何求函数解析式一、【配凑法（整体代换法）】可把看成一个整体，把右边变为由组成的式子，再换元求出的式子。))((xgf)(xf若已知的表达式，欲求的表达式，)(xg)(xg)(xf).1(),3(),(,35)1(1xffxfxxf求、已知函数例8)1(5)1(xxf解：85)(xxf835)3(f)1(xf7135x8)1(5x如何求函数解析式一、【配凑法（整体代换法）】可把看成一个整体，把右边变为由组成的式子，再换元求出的式子。))((xgf)(xf若已知的表达式，欲求的表达式，)(xg)(xg)(xf).1(),5(),(,23)1(xffxfxxf求－练习、已知函数5)1(3)1(xxf解：53)(xxf553)5(f)1(xf2083x5)1(3x二、【换元法】))((xgf)(xf)(xgt已知的表达式，欲求，我们常设).(,2)1(2xfxxxf求、已知函数例），解：令1(1ttx),1()1(2ttx则)1(2)1()(2tttf).1(12tttx1).1(1)(2xxxf22122ttt1tx2)1(tx等式变形解题步骤：④把t换成x③把x换成t②等式变形(用t表示x）②④③①①txg)(令解题时，把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。二、【换元法】))((xgf)(xf)(xgt已知的表达式，欲求，我们常设).(,22)1(2xfxxxf求练习、解题步骤：④把t换成x③把x换成t②等式变形(用t表示x）①txg)(令,1tx解：令1)(2xxf1tx则2)1(2)1()(2tttf222122ttt12t①②③④解题时，把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。bxkxf)1()1(若已知的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得的表达式。三、【待定系数法】)(xf)(xf正比列函数反比列函数一次函数二次函数)0(kkxy)0(kxky)0(kbkxy)0(2acbxaxy).(,92)()1(3)(3xfxxfxfxf求是一次函数，且满足、已知例)0()(kbkxxf解：由题意，设函数92)()1(3xxfxf92)(])1([3xbkxbxk92333xbkxbkkx92232xbkkx由怛等式的性质，得22k923bk1k3b故所求函数的解析式为3)(xxf若已知的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得的表达式。三、【待定系数法】)(xf)(xff(x).172x1)-2f(x-1)3f(x)(，求是一次函数，且满足已知xf)0()(kbkxxf解：由题意，设函数172x1)2f(x1)3f(x172xb]1)2[k(xb]1)3[k(x由怛等式的性质，得2k175bk2k7b故所求函数的解析式为72)(xxf172xb]22k)[(2kxb)333kx(k172xb22k2kxb333kxk172xb5kxkbxkxf)1()1(bxkxf)1()1(待定系数法只适用于已知所求函数类型求其解析式，配凑法与换元法所依据的数学思想完全相同--整体思想。配凑法换元法待定系数法是求函数解析式常用的方法四、【方程组法】对于已知等式中出现两个不同变量的函数关系式，依据这两个变量的关系，重新建立关于这两个变量的不同等式，利用整体思想把和另一个函数看成未知数，解方程组得函数的解析式。此类方法类似于解二元一次方程组，故称为方程组法。)(xf)(xf)