第三章三角恒等变换导学案

高中数学必修4第二章平面向量学案班级_______________姓名___________________13．1.1两角和与差的余弦学习目标会用向量的数量积推导两角差的余弦公式，并体会向量与三角函数之间的关系；会用余弦的差角公式余弦的和角公式，理解化归思想；能用和差角的余弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值、证明。重点难点余弦差角公式的推导及运用复习回顾问题探究1．两角差的余弦公式：Cα－β：cos(α－β)＝______________________.2．两角和的余弦公式：在两角差的余弦公式中，以－β替代β就得到两角和的余弦公式．即：cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝______________________＝______________.典型例题知识点一给角求值例1求sin195°＋cos105°的值．回顾归纳在利用两角和与差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知的特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题．然后利用公式化简求值．变式训练1求下列三角函数式的值．(1)sinπ12；(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°；(3)cos(α－45°)cos(15°＋α)＋sin(α－45°)sin(15°＋α)．知识点二给值求值例2已知锐角α，β，且cosα＝45，cos(α＋β)＝－1665，求cosβ的值．回顾归纳三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最基本的变换．常见的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等．变式训练2设cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，其中α∈π2，π，β∈0，π2，求cosα＋β2.知识点三给值求角例3已知cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α、β∈0，π2，求β的值．回顾归纳(1)本题属“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．(2)确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．如本题求β的余弦值比求β的正弦值要好．一般地，若x∈(0，π)，则选用y＝cosx．若x∈(－π2，π2)，则选用y＝sinx.变式训练3已知A、B均为钝角且sinA＝55，sinB＝1010，求A＋B.课堂小结1．公式Cα－β与Cα＋β都是三角恒等式，既可正用，也可逆用．要注意公式的结构特征．如：cosαcosβ±sinαsinβ＝．2．要注意充分利用已知角与未知角之间的联系，通过恰当的角的变换，创造出应用公式的条件进行求解．3．注意角的拆分技巧的积累，如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β＝α＋β2＋α－β2等.作业布置P135练习A2题，练习B1,3题.自主作业:同步练习题单.高中数学必修4第二章平面向量学案班级_______________姓名___________________23.1.2两角和与差的正弦学习目标能由余弦和差角公式推导出正弦和差角公式，并体会化归思想的作用；能用正弦和差角公式进行简单的三角函数式的化简，求值。重点难点正弦和差角公式的推导及其应用问题探究1．两角和与差的余弦公式Cα－β：cos(α－β)＝_______________________________________Cα＋β：cos(α＋β)＝_______________________________________2．两角和与差的正弦公式Sα＋β：sin(α＋β)＝_______________________________________Sα－β：sin(α－β)＝_______________________________________3．两角互余或互补(1)若α＋β＝________，其α、β为任意角，我们就称α、β互余．例如：π4－α与__________互余，π6＋α与__________互余．(2)若α＋β＝______，其α，β为任意角，我们就称α、β互补．例如：π4＋α与__________互补，________与23π－α互补．4．asinx＋bcosx＝_______________________________________，其中cosθ＝____________，sinθ＝____________.例如：sinx±cosx＝______________；sinx±3cosx＝____________；3sinx±cosx＝____________.典型例题知识点一化简求值例1(1)sin70°sin65°－sin20°sin25°；(2)sinπ12－3cosπ12.回顾归纳解答此类题一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式．变式训练1化简求值：(1)sin14°cos16°＋sin76°cos74°；(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)；(3)(tan10°－3)·cos10°sin50°.知识点二证明三角恒等式例2已知sin(2α＋β)＝3sinβ，求证：tan(α＋β)＝2tanα.回顾归纳证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、“往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、结构形式的差异．变式训练2证明：sin2α＋βsinα－2cos(α＋β)＝sinβsinα.知识点三辅助角公式的应用例3化简下列各式：(1)315sinx＋35cosx；(2)24sin()π4－x＋64cos()π4－x.回顾归纳辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)可以把含sinx、cosx的一次式化为Asin(ωx＋φ)的形式，其中φ所在象限由点(a，b)决定，大小由tanφ＝ba确定．研究形如f(x)＝asinx＋bcosx的性质都要用到该公式．变式训练3已知函数f(x)＝3cos2x－sin2x，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期与值域；(2)求f(x)的单调递增区间．课堂小结1．理顺公式间的逻辑关系Cα＋β――→以－β代βCα－β――→诱导公式Sα＋β――→以－β代βSα－β2．注意公式的结构特征和符号规律对于公式Cα－β，Cα＋β可记为“同名相乘，符号反”；对于公式Sα－β，Sα＋β可记为“异名相乘，符号同”．3．要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式，注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．4．运用辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)时不必死记结论，重在理解运用两角和与差正、余弦公式进行转化化归的思想.作业布置P138练习A2题.练习B1、3题自主作业:同步练习题单.高中数学必修4第二章平面向量学案班级_______________姓名___________________33.1.3两角和与差的正切学习目标理解两角和(差)的正切公式的推导过程；利用两角和(差)的正切公式进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式的证明；注意两角和(差)的正切公式正、余弦公式的联系。重点难点正切公式的推导及运用公式进行简单的三角函数式的化简，求值和恒等式的证明；公式的推导及简单应用。问题探究1．两角和与差的正切公式(1)Tα＋β：tan(α＋β)＝____________.(2)Tα－β：tan(α－β)＝____________.2．两角和与差的正切公式的变形(1)Tα＋β的变形：tanα＋tanβ＝________________.tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝__________.tanα·tanβ＝________________.(2)Tα－β的变形：tanα－tanβ＝________________.tanα－tanβ－tanαtanβtan(α－β)＝__________.tanαtanβ＝________________.典型例题知识点一化简求值例1求下列各式的值．(1)1－tan15°1＋tan15°；(2)tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°.回顾归纳公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示或求出第三个．变式训练1求下列各式的值．(1)3＋tan15°1－3tan15°；(2)tan36°＋tan84°－3tan36°tan84°.知识点二给值求角例2若α，β均为钝角，且(1－tanα)(1－tanβ)＝2，求α＋β.回顾归纳此类题是给值求角题，解题步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值，②确定所求角的范围．此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解．变式训练2已知tanα，tanβ是方程x2＋33x＋4＝0的两根，且－π2απ2，－π2βπ2，求角α＋β.知识点三三角形中的问题例3已知△ABC中，tanB＋tanC＋3tanBtanC＝3，且3tanA＋3tanB＝tanAtanB－1，试判断△ABC的形状．回顾归纳三角形中的问题，A＋B＋C＝π肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角．变式训练3已知A、B、C为锐角三角形ABC的内角．求证：tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.课堂小结1．公式Tα±β的适用范围由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋π2(k∈Z)．2．公式Tα±β的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tanπ4＝1，tanπ6＝33，tanπ3＝3等．要特别注意tan()π4＋α＝1＋tanα1－tanα，tan()π4－α＝1－tanα1＋tanα.3．公式Tα±β的变形应用只要见到tanα±tanβ，tanαtanβ时，有灵活应用公式Tα±β的意识，就不难想到解题思路.作业布置P140练习A1题.练习B2题自主作业:同步练习题单.高中数学必修4第二章平面向量学案班级_______________姓名___________________43．2.1倍角公式学习目标能记住二倍角公式，会运用二倍角公式进行求值、化简和证明，同时懂得这一公式在运用当中所起到的用途。培养观察分析问题的能力，寻找数学规律的能力，同时注意渗透由一般到特殊的化归的数学思想及问题转化的数学思想。重点难点记住二倍角公式，运用二倍角公式进行求值、化简和证明；在运用当中如何正确恰当运用二倍角公式问题探究1．倍角公式(1)S2α：sin2α＝_____________，(2)C2α：cos2α＝_____________＝_____________＝_____________；(3)T2α：tan2α＝_____________.2．倍角公式常用变形(1)sin2α2sinα＝________，sin2α2cosα＝________；(2)(sinα±cosα)2＝__________；(3)sin2α＝____________，cos2α＝____________.(4)1－cosα＝____________，1＋cosα＝__________.典型例题知识点一化简求值例1求下列各式的值．(1)cosπ12cos512π；(2)13－23cos215°.回顾归纳解答此类题目一方面要注意角的倍数关系；另一方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数关系及诱导公式是常用方法．变式训练1求值：(1)cos20°·cos40°·cos80°；(2)tan70°·cos1