高中数学智库讲义(选修之参数方程)

1选做题之——参数方程一、考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数方程或极坐标方程求两条曲线的交点.二、基础知识参数方程:为参数其中，)()(gyfx1.直线的参数方程(1)标准式过点Po(x0,y0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是atyyatxxsincos00(t为参数，α为直线倾斜角)①注意与圆的参数方程区别。(2)一般式过定点P0(x0,y0)斜率k=tanα=ab的直线的参数方程是btyyatxx00(t为参数)②在一般式②中，参数t不具备标准式中t的几何意义，若a2+b2=1,②即为标准式，此时，｜t｜表示直线上动点P到定点P0的距离；若a2+b2≠1，则动点P到定点P0的距离是22ba｜t｜.直线参数方程的应用:若P1、P2是l上的两点，它们所对应的参数分别为t1,t2，则(1)P1、P2两点的坐标分别是(x0+t1cosα,y0+t1sinα)(x0+t2cosα,y0+t2sinα)；(2)｜P1P2｜=｜t1-t2｜;(3)线段P1P2的中点P所对应的参数为t，则：t=221tt中点P到定点P0的距离｜PP0｜=｜t｜=｜221tt｜(4)若P0为线段P1P2的中点，则：t1+t2=0.22.圆锥曲线的参数方程(1)圆圆心在(a,b)，半径为r的圆的参数方程是sincosrbyrax(是参数)是动半径所在的直线与x轴正向的夹角，∈［0,2π］(2)椭圆椭圆12222byax(a＞b＞0)的参数方程是sincosbyax(为参数)椭圆12222bxay(a＞b＞0)的参数方程是sincosaybx(为参数)(3)抛物线pxy22的参数方程是：ptyptx222（t为参数，表示抛物线上除顶点外的任一点与原点连线斜率的倒数）抛物线pyx22的参数方程是：222ptyptx（t为参数，表示抛物线上除顶点外的任一点与原点连线斜率）3.极坐标极坐标系在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.点的极坐标设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox到OM的角度，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标.(见图)极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式3注意：一定要明确哪个是参数。直角坐标系和极坐标系都有参数方程。直角坐标系方程0),(yxf极坐标方程0),(f掌握几个转化：直角坐标系方程极坐标系方程（点坐标的转化、方程等式的转化）tansincos222xyyxyx常用转化方法：两边同乘只要到了一种坐标系方程，另外一种坐标系方程就可通过转换关系转过去。参数方程直角坐标系方程（直线、圆、椭圆、抛物线）参数方程极坐标方程（直线、圆、椭圆、抛物线）【总体思路】此类问题的解答，一般而言是：若能直接用参数形式处理就用参数形式处理，不然就转化到直角坐标系中，然后再利用解析几何的处理手法一一求解，最后还要看问题所要的是什么，如果是要求参数方程，那么就转成参数方程，转成参数方程的时候要注意参数是哪个。如果需要是极坐标系方程，就转化为之，若没有特殊要求，直角坐标系方程即可。【真题讲解】（2010课标23）（1）求交点坐标。从参数方程形式判断：是圆。是直线，21CC求交点，势必要联立方程，所以不能直接利用参数方程，所以就要转化到直角坐标系中进行解算。首先把两曲线的参数方程转化为直角系方程，然后联立求解即可。（2）所求是点P关于直线倾斜角参数的参数方程，所以要利用直线的参数方程形式，我们知道直线上的点由参数t确定，所以首先要求出A点对应的t，然后根据点P与点A坐标2倍的关系直接写出P点轨迹参数方程。（2010辽宁23）（1）点M的极坐标),(，是OM长度=3（已知），是MOx大小，等于3，所以M（3,3，）。（2）直线参数方程中需要定位一个定点),(00yxP，然后结合倾斜角或斜率的分子分母即可写出参数方程。直线AM过定点A（0,1），斜率AMAMxxyyk，M在直角坐标系中的坐标为（233213，），代入得：6-31-60-63AMAMxxyyk，所以直线参数方程为4tytx3)6(1t为参数(2010福建)（1）呵呵，多好做啊，对于极坐标方程sin52，两边同乘得：yyx5222，化解即可；（2）直线确定、圆确定，交点坐标还不好算？算出交点坐标后再用点点距离公式算之即可。（2011课标23）（1）由题目条件mpmpyyxxMOPO222，推出的是坐标关系，所以可以直接利用参数方程：设轨迹点),(yxP，则sin44cos4yx，曲线2C方程求出。（2）射线3与距离。、交点和BACC21因为都是圆，所以可以利用圆的几何关系（直径直角三角形）分别求出直角边，相减即可。（2011辽宁23）（1）C1是圆，C2是椭圆。然后求出椭圆半长短轴即可，用题中两个特殊状态下的关系求；应该考虑到圆包络椭圆和椭圆包络圆两种可能，然后代入题中数字计算之即可。（2）按题意画出图形，按照参数形式，可以把图形的四个顶点直角坐标算出，然后算面积就简单了。（2012课标卷23）（1）A点直角坐标最好求，利用极坐标与直角坐标的转化关系即可：yxsincos然后，再由B、C、D分别与A点的相对关系，得出其极坐标表达：B（23,2）,每个顶点逆时针旋转2，表现在极坐标表达中就是，极径不变，极角递增2，然后再利用极直关系算之即可。（2）本题涉及到了距离范围问题，一般而言是直接利用参数表达形式，转化为三角函数值域问题解决。如本题：把所求形式用P点参数表达与正方形四个顶点的已知坐标用距离公式算之：=222sin2032sin36cos16，又因为1sin02，代入即可。（2012辽宁23）（1）送分大礼包；（2）找到直线过的定点，然后算出倾斜角，最后代入直线参数方程标准式即可。（2012江苏）首先把点P定位到直角坐标系中P（1,1），接下来解算直线与极轴的交点，有两个思路方向：①化为直角坐标系方程解算；②直接在极坐标方程中解算。第一思路方向略，第二思路方向：.直线与极轴的交点不就是极角0的时候么，代入极坐标方程后得：直线与极轴交点极坐标就是（1,0）同时直角坐标也是（1,0），画在坐标系中后立马得知圆的直角坐标系方程为：1)1(22yx，题目要求极坐标方程，则需要把yx,替换到,形式，即利用转换关系：sincosyx代入即可得出：cos25（2012福建）（1）先把M、N的直角坐标解算出来：)332,0(),0,2(NM，通过在极-直叠合坐标系中观察也许更形象直观，当然也可以按部就班转换。然后M、N中点就不在话下，OP方程更是手到擒来。（2）直线与圆的位置关系，呵呵，打到手背上了。因为题目是判定直线与圆的位置关系，属于几何位置关系，因此完全可以转换到直角坐标系下进行判断。圆心知道（-2，3），直线l方程可求，然后圆心到直线的距离与半径比较。