高一数学集合典型例题、经典例题

1《集合》常考题型题型一、集合元素的意义+互异性例1.1.设集合｛0｝例1.2.已知A＝{2，4，a3－2a2－a＋7}，B＝{1，a＋3，a2－2a＋2，a3＋a2＋3a＋7}，且A∩B＝{2，5}，则A∪B=____________________________解：∵A∩B＝{2，5}，∴5∈A.∴a3－2a2－a＋7＝5解得a＝±1或a＝2.①若a＝－1，则B＝{1，2，5，4}，则A∩B＝{2，4，5}，与已知矛盾，舍去．②若a＝1，则B＝{1，4，1，12}不成立，舍去．③若a＝2，则B＝{1，5，2，25}符合题意．则A∪B＝{1，2，4，5，25}．题型二、空集的特殊性例2.1.已知集合25,121AxxBxmxm，且BA，则实数m的取值范围为_____________例2.2.已知集合RxxaxxA，012，0xxB，且BA，求实数a的取值范围。解：①当0a时，{|10,}{1}AxxxR，此时{|0}Axx；②当0a时，{|0}Axx，A或关于x的方程210axx的根均为负数.（1）当A时，关于x的方程210axx无实数根，140a，所以14a.（2）当关于x的方程210axx的根均为负数时，12121401010axxaxxa140aa104a.综上所述，实数a的取值范围为{0}aa.2|22,|,12,AxxByyxxAB则2题型三、集和的运算例3.1.设集合S＝{x|x5或x－1}，T＝{x|axa＋8}，S∪T＝R，则a的取值范围是________________－3a－1例3.2.集合M={x|x=𝑘2+13，k∈Z}，N={x|x=k+13，k∈Z}，则（C）A.M=NB.M⊆NC.N⊆MD.M∩N=∅解：∵M中：x=𝑘2+13={𝑛+13，𝑘=2𝑛，𝑛∈𝑍𝑛+56，𝑘=2𝑛+1，𝑛∈𝑍；N中：x=k+13=n+13，k=n∈Z，∴N⊆M．故选：C．例3.3.全集RyxyxU,|,，集合122|,xyyxM，4|,xyyxN，则NCMCUU等于__)22(，______________题型四、创新题例4.1.定义集合A与B的运算A*B={x|x∈A或x∈B，且x∉A∩B}，则(A*B)*A等于（D）A.A∩BB.A∪BC.AD.B解：如图，A*B表示的是阴影部分，设A*B=C，根据A*B的定义可知：C*A=B，所以(A*B)*A=B，故答案为D例4.2.定义一个集合的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为，用表示有限集的元素个数，给出下列命题：①对于任意集合，都有APA；②存在集合A，使得3APn；③用表示空集，若，则BPAP；④若BA，则BPAP；⑤若，则.其中正确的命题为_①④⑤_________（填序号）AAPAnAABA1BnAnBPAPn23对于命题①，，因此，命题①正确；对于命题②，若集合的元素个数为m，则集合的子集共m2个，若，则，解得Nm3log2，命题②错误；对于命题③，若BA，由于A，B，因此，BP，所以，则，命题③错误；对于命题④，若，对集合的任意子集AE，即对任意APE，则BE，则BPE，因此，命题④正确；对于命题⑤，设nBn，则1nAn，则集合的子集个数为，即，集合的子集个数为，即nBPn2，因此，命题⑤正确，故正确的命题为①④⑤_变式训练：1.已知集合，集合，若，则实数12.设集合M＝{x|x＜3}，N＝{x|x＞－2}，Q＝{x|x－a≥0}，令P＝M∩N，若P∪Q＝Q，则实数a的取值范围为__________________解：P＝M∩N＝{x|－2＜x＜3}，Q＝{x|x≥a}，∵P∪Q＝Q，∴P⊆Q.∴a≤－2，即实数a的取值范围是{a|a≤－2}3.若集合{2，3}M{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，则集合M共有__________个。126解：27-2=126；4.定义集合P={x|x=3k+1，x∈Z}，Q={x|x=3k-1，x∈Z}，M={x|x=3k，x∈Z}.若a∈P，b∈Q，c∈M，则a2+b-c∈（b）A.PB.MC.QD.P∪Q5.已知全集U=N，{2,AxxnnN}，{4,BxxnnN}，则（C）Ａ.U=ABＢ.U=（UCA）BＣ.U=()UACBＤ.U=()()UUCACBAAAPAAA3APn32mAPBPAPBPAPBAABPAPA12nnnAPn2221Bn2BPAPn246.已知集合𝑀={𝑥|𝑥=𝑚+16，𝑚∈𝑍}，𝑁={𝑥|𝑥=𝑛2−13，𝑛∈𝑍}，𝑃={𝑥|𝑥=𝑝2+16，𝑝∈𝑍}，则𝑀，𝑁，𝑃的关系(B)A.M=N⊊PB.M⊊N=PC.M⊊N⊊PD.N⊊P⊊M解：𝑁={𝑥|𝑥=𝑛2−13，𝑛∈𝑍}，𝑥=𝑛2−13=3𝑛−26，𝑛∈𝑍．𝑃={𝑥|𝑥=𝑝2+16，𝑝∈𝑍}，𝑥=𝑝2+16=3𝑝+16，𝑝∈𝑍𝑁=3𝑛−26=3𝑝+16=𝑃，𝑀={𝑥|𝑥=𝑚+16，𝑚∈𝑍}𝑥=𝑚+16=6𝑚+16，M，N，P三者分母相同，所以只需要比较他们的分子．M：6的倍数+1，N=P：3的倍数+1，所以M⊊N=P.7.已知集合0132|2xxxA，012|22xmxmxB，若ABA，则实数m的取值范围为_____________0232/mmmm或或8.已知集合|2Axxa，|23,ByyxxA，2|,CzzxxA，且CB，求实数a的取值范围。]3,21[2,）（9.已知集合A={x|x2-4ax+2a+6=0，x∈R}，集合B={x|x＜0}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为____________________________解：因为A∩B≠∅，所以方程x2-4ax+2a+6=0有负根；…(1分)设方程的根为x1，x2(1)恰有一个负根：或解得：或，即a≤-3(2)恰有2个负根解得：，即-3＜a≤-1，所以a的取值范围是{a|a≤-1}510.设集合M={1，2，3，4，5，6}，S1、S2、…、Sk都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的Si={ai，bi}，Sj={aj，bj}(i≠j，i、j∈{1，2，3，…，k})，都有miniiiiabba,≠minjjjabba,j(min{x，y}表示两个数x、y中的较小者)．则k的最大值是_______________11解：根据题意，对于M，含2个元素的子集有15个，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个；{1，3}、{2，6}只能取一个；{2，3}、{4，6}只能取一个.故满足条件的两个元素的集合有11个；