求不定积分的几种方法

求不定积分的几种方法摘要:求不定积分的方法有很多种,针对不同类型的函数采用最适合的方法往往会起到事半功倍的效果,本文就不定积分的求解方法进行了归类，结合实例讨论了这些方法在不定积分求解中的可行性，对快速正确求解不定积分有一定意义。关键词：不定积分直接积分法分部积分法方程法Abstract:Therearemanykindsofmethodstosolvetheindefiniteintegral.Fordifferenttypesoffunctionusingthemostsuitablemethodoftencanplayamultipliereffect.Inthispaper,indefiniteintegralsolutionsaredividedintoseveraldifferenttypesandthefeasibilityofthemethodofindefiniteintegralisdiscussedbyintegratingthepracticalexamples,whichisofcertainsignificancetorapidly,correctlysolvingindefiniteintegral.Keywords:indefiniteintegral;directintegrationmethod;integrationbyparts;equationmethod不定积分是一元微积分中非常重要的内容之一，是积分学中最基本的问题之一，又是求定积分的基础，牢固掌握不定积分的理论和运算方法，不仅能使学生进一步巩固所学的导数和微分概念，而且也将为学习定积分，微分方程和多元函数的积分学以及其他课程打好基础，因此切实掌握求不定积分的方法非常重要。求不定积分的方法有很多，可用基本方法，如直接积分法求解、第一类换元积分法、第二类换元积分法、分部积分法；也可用特殊解法，如方程法、方程组法等方法求解。下面将介绍几种常见的基本方法和特殊解法。一、基本方法1直接积分法直接积分法是求不定积分的基本方法，是基本途径，也是其他积分方法的基础，这一方法是直接利用积分法则和公式得出结果，或将被积函数做恒等变形，使之符合基本法与公式，然后再利用积分法则与公式做出结果。例1求不定积分解：把该式分子相乘得到分项后得到-+dx-dx然后，利用基本公式求得结果为x-ln|x|+-2注：在分项积分后，每个不定积分的结果都含有任意常数。由于任意常数的代数和仍为任意常数，故只需在最后一个积分符号消失的同时，加上一个积分常数就可以了。例2求不定积分解：因为此不定积分的被积函数是，由于分母是而=1，所以被积函数+sec2x+csc2x从而=+=tanxcotx+c注：此类题目的解题思路：尽量使分母简单，为此分子或分母乘以某个因子，把分母化为sinkx（或coskx）的单项式，或将分母整个看成一项。一般通用方法为将“1”化为某个特定的等式。例3求不定积分,解：在分子上加上cosx，再减去cosx得到再利用上例中的解法可得=2=2ln||ln|sinx|+C②在分子上减去1，再加上1得到==+=x+arctanx+c注：此类题目的解题技巧是将被积函数加（减）项，把积分变成几个比较简单的积分进行计算。从上面的几个典型例子来看，直接积分法往往需要对被积函数进行适当的恒等变形，或化简，或拆项，使被积函数变成可积函数代数和形式，此种方法求不定积分比较常见。2第一换元积分法（凑微分法）求一个函数的不定积分是积分学的一个基本问题，解决这类问题的方法多种多样，其中有一种方法就是第一换元法，换元法是求不定积分的基本方法。第一类换元积分法主要适用于复合函数，将被积变量凑成复合函数的中间变量的形式，再利用直接积分法求出积分。第一类换元积分法:若且u=(x)有连续的导数,则有:(x)dx=第一类换元积分法的关键是：将被积表达式凑成两部分，(x)dx，从而形成一部分是u=(x)的函数,将另一部分(x)dx凑成微分du,这样就可以从积分公式中求出积分，再回代，就完成了积分。例4求不定积分解：将dx凑为dx=d(1+2x),则=（凑微分）==+C（令1+2x=u）=+C（还原u=1+2x）注：凑微分时经常对被积表达式的系数进行调整，但要注意它必须是等值变换。例5求不定积分xdx2cos解：设u=2x,du=2dx,dx=21du,则xdx2cos=21udxucos=21sinu+C=21sin2x+C例6求不定积分dxxx)ln21(1解：因为被积函数可分解为xln211和)ln21(21x所以dxxx)ln21(1dxxxln21)ln21(21cxxdxln21ln21)ln21(ln21121可见，凑微分法就是把被积式子中某一部分看成一个整体，而把被积式子凑成关于这个整体的积分公式[1]。3第二换元积分法第二类换元积分法是通过适当选择置换式,使代换后的积分易于积出，它主要用来解决几种简单的无理函数的积分问题。第二类换元积分法：设函数x=(t)单调可导，且(t)0，如果CxFdtttfdttf)]([)()]([t)()]([1其中t=)(1x是x=(t)的反函数。第二类换元积分法是恰当选取积分变量x作为新积分变量t的一个函数：x=(t)，并要(t)具有反函数。也就是使原积分变为基本积分表中已有的形式或便于求解的积分，从而求出结果。根据被积函数表达式的不同，第二类换元法又分为去根号法和倒代换法。3.1去根号法（1）简单的根式变换,可令；例如：求，可令，（2）三角代换，令xasint或xacost；；令xasect或xacsct；；令xatant或xacott（3）双曲代换xasht或xacht例如：，可设xasht；dxxax22，可设xacht比用三角代换简便（4）dxxxR)cos,(sin，一般采用万能代换，设。当然，对具体的问题也要采用灵活的方法处理。例7求不定积分dxxx231解：分析：因被积函数分母中含有根式，常用第二类换元积分法，但因分子上含有变量x，因此也可用第一类换元积分法解法1应用第一类换元积分法22222222231)1(21)1(11211)1(211xxdxdxxxxdxdxxxcxxxdxxdx22221222121)2(31)1()1(21)1()1(21解法2第二类换元积分法令12,1,1,122tdtdxtxtxtxdttdttdtttttdxxx1212111)1(21123ctt2131cxx221)2(31解法3用三角代换令tdtdxtx2sec,tandxxx231)(sec)1(secsectansecsectan2323tdttdtttdtttcttsecsec313cxx221)2(31解法4用根式代换令1,1,1,12222ttdtdxtxtxtxdxxx231cttdtttdttttt3222231)1(11)1(cxx221)2(31解法5用双曲代换令chtdtdxshtx,dxxx231cchttchdttshchtdtchttsh33331ctchcht)3(312cxx221)2(31注：在使用换元积分法时，必须将结果中的新变量t换回原来的变量x，尤其在使用三角代换时，可利用直角三角形三边的关系换回原来的变量。3.2倒代换法对于某些被积函数，若分母中含有nx因子时，可作倒代法，即令：tx1，从而可积出积分。例8求不定积分dxxxa422（0x）解：因为被积函数中分母含有4x，可设tx1，则dttdx21，从而dxxxa422=dtttadtttta21222422)1()1(11，由于0x，故dxxxa422dttta2122)1()1()1(212221222tadtaacxaxa2332223)(注：第二换元积分法的换元表达式中，新变量t处于自变量的地位，而在第一换元积分法的换元表达式中，新变量则处于因变量的地位[2]。此外，在使用第二换元积分法时，为保证)(tx的反函数确实存在及原来的积分有意义，通常要求)(tx是单调函数、有连续导数且0)(t。4分部积分法分部积分法是乘积的微分公式的逆运算，其运算公式是这个公式说明，积分不易求，而积分较容易求出时，可考虑此公式，使用分部积分时，必须把被积表达式化为u与dv的乘积，u与dv的选择显然没有一般的准则可以遵循，但是在某些情况下，也可归纳出一些规律来，一般被积函数是两种类型函数乘积的积分时可考虑分部积分法。下面将适用于分部积分法的积分进行一些归类：（1）取u=，dv=（2）取u=，dv=（3）取u=，dv=（4）取u=，dv=dx（5）取u=arcsin(ax+b)，dv=dx（6）取u=arcos(ax+b)，dv=dx（7）取u=arctan(ax+b)，dv=dx（8），u，v可任取；，u，v可任取；上式中为n多项式。k，a，b均为常数另外，如果被积函数中只有一个因子（例如lnx，arcsinx，arccos等），而又不能用别的方法求出积分时，不放用分部积分法，此时可设被积函数为u,dv=dx例9求不定积分;②解：设u=lnx，dv=dx，有dv=dx，v=xdx=xlnx+C②设u=lnx，dv=，有du=dx，v=-=-+=-+C=-注：计算熟练以后，就可以省略“设”的步骤，把所设的式子当作一个整体，在心里面想着它是一个变数，就可以使书写简化。例10求不定积分分析：可以用两种方法凑微分，但用哪一种行得通？要试试看。解；==2虽然还不能得到结果，但次数降低了，越变越简单。再进行一次分部积分得到：=2+=2+C例11求不定积分①；②解：①=-=-+==-ln()+C②因为=-+C所以=--]arctanxarctanxarctanxxC注：有些积分，用一次分部积分不行的话，可进行两次、三次或更多次的分部积分。直到能用基本公式求出或是能转化成所求式子即可[3]。不过，在进行这种涉及繁复的代数计算时，一定要注意掌握一个原则，就是动手之前仔细观察，根据经验判断是否存在更为简单的方法，只有在确实找不到简单方法之后，再开始根据这种确定的计算程式来进行计算。从以上解法可以看出求解积分时，不论采用什么思路、选用什么积分方法，最终还是归结应用基本积分公式求出结果。因此在学习积分内容时，首先要熟悉基本积分公式和常见的积分法，更为重要的是要根据已给积分的被积函数形式，善于应用相关变形方法转化为基本积分公式类型处理。所以我们在今后的学习中，要灵活运用上述方法。二、特殊解法不定积分的基本计算方法有直接积分发、换元积分法、分布积分法、部分积分法，只要能够准确合理的运用以上方法，总可计算不定积分。但对部分不定积分的计算，使用基本方法计算量很大或很难计算出结果。如果利用方程或方程组，会使不定积分的计算简洁清晰。下面分别介绍这两种方法1、方程法在不定积分计算中，会遇到部分积分很难直接计算出结果，或者利用分部积分后还原为被积分项。如果得到系数不是1的所求积分项，这时将等式看作关于所求积分的方程，通过解此方程可间接得到其结果，这种方法称为方程法。下面举例说明这种方法的作用[4]。例12求不定积分dxxxI122解法1：利用换元积分法，设txtan，则tdtttdttI3532secsecsectan因为tdttdtttttdtdt35335sec3sec3tansec)(tansecsec则有tdttttdt335sec43tansec41sec故tdtttI33sec41tansec41又因tdttdttttt