函数对称性与周期性关系

2017年高考复习·数学@神马修罗ZJY1函数对称性与周期性关系【知识梳理】一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、周期性：对于函数)(xfy，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有)()(xfTxf都成立，那么就把函数)(xfy叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。2、对称性定义（略），请用图形来理解。3、对称性：我们知道：偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(xfxf奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(xfxf上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：（1）函数)(xfy关于ax对称)()(xafxaf)()(xafxaf也可以写成)2()(xafxf或)2()(xafxf简证：设点),(11yx在)(xfy上，通过)2()(xafxf可知，)2()(111xafxfy，即点)(),2(11xfyyxa也在上，而点),(11yx与点),2(11yxa关于x=a对称。得证。若写成：)()(xbfxaf，函数)(xfy关于直线22)()(baxbxax对称（2）函数)(xfy关于点),(ba对称bxafxaf2)()(bxfxaf2)()2(上述关系也可以写成或bxfxaf2)()2(简证：设点),(11yx在)(xfy上，即)(11xfy，通过bxfxaf2)()2(可知，bxfxaf2)()2(11，所以1112)(2)2(ybxfbxaf，所以点)2,2(11ybxa也在)(xfy上，而点)2,2(11ybxa与),(11yx关于),(ba对称。得证。若写成：cxbfxaf)()(，函数)(xfy关于点)2,2(cba对称（3）函数)(xfy关于点by对称:假设函数关于by对称，即关于任一个x值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于by对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于by对称，比如圆04),(22yxyxc它会关于y=0对称。4、周期性：（1）函数)(xfy满足如下关系系，则Txf2)(的周期为2017年高考复习·数学@神马修罗ZJY2A、)()(xfTxfB、)(1)()(1)(xfTxfxfTxf或C、)(1)(1)2(xfxfTxf或)(1)(1)2(xfxfTxf（等式右边加负号亦成立）D、其他情形（2）函数)(xfy满足)()(xafxaf且)()(xbfxbf，则可推出)](2[)]2([)]2([)2()(abxfbxabfbxabfxafxf即可以得到)(xfy的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”（3）如果奇函数满足)()(xfTxf则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为kTTx22)(zk，根据)2()(Txfxf可以找出其对称中心为)0(kT，)(zk（以上0T）。如果偶函数满足)()(xfTxf则亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心为)0,22(kTT)(zk，根据)2()(Txfxf可以推出对称轴为kTTx2)(zk（以上0T）（4）如果奇函数满足（），则函数是以4T为周期的周期性函数。如果偶函数满足（），则函数是以2T为周期的周期性函数。二、两个函数的图象对称性1、与关于X轴对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)()(xgxf，即它们关于0y对称。2、与关于Y轴对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)()(xgxf，即它们关于0x对称。3、与关于直线对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)2()(xagxf，即它们关于ax对称。4、)(xfy与)(2xfay关于直线ay对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足axgxf2)()(，即它们关于ay对称。5、)2(2)(xafbyxfy与关于点(a,b)对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足bxagxf2)2()(，即它们关于点(a,b)对称。6、)(xafy与)(bxy关于直线2bax对称。)(xfy)()(xTfxTf0T)(xfy)(xfy)()(xTfxTf0T)(xfy)(xfy)(xfy)(xfy)(xfy)(xfy)2(xafyax2017年高考复习·数学@神马修罗ZJY3【典型例题】1.定义在R上的函数，若总有成立，则函数的图象是关于直线成轴对称图形。反之，若函数的图象关于直线成轴对称图形，则必有推论，对于定义在R上的函数，若有，则图象关于直线成轴对称图形，反之亦真。证明：若对，总有，设点，在的图象上，点关于的对称点，由，则点在函数的图象上，由的任意性知的图象关于直线对称，反之证明略。推论，由显然[例1]已知，满足且，当时，比较与的大小。解：由知关于对称，故，又由知，则在递减，在上递增。当时，∴即当时，∴，即2017年高考复习·数学@神马修罗ZJY4[例2]函数的图象关于直线对称，且时，则当时，的解析式为。解：依条件，设，则，故[例3]若的图象关于直线对称，则。A.B.C.D.解：由得即2017年高考复习·数学@神马修罗ZJY5∴[例4]设对任意，满足且方程恰有6个不同的实根，则此六个实根之和为。A.18B.12C.9D.0解：依条件知图象关于直线对称，方程六个根必分布在对称轴两侧，且两两对应以（3，0）点为对称中心，故，所以，选A。[例5]设满足（1），（2）当时，是增函数，定义域，则下列不等式成立的是（）A.B.C.2017年高考复习·数学@神马修罗ZJY6D.解：由条件知图象关于直线成轴对称，又及时递增∴，故选C2.对称性与周期性的关系（1）若函数在R上的图象关于两条直线与对称，则为R上的周期函数。（2）若函数在R上的图象关于直线与点对称，则为R上的周期函数。证：（1）因图象关于及对称，则，，故得证（2）由图象关于对称，有①又由图象关于点对称，有，∴，，即以代有②2017年高考复习·数学@神马修罗ZJY7由①和②③以代有又由③式得证特别地，图象关于直线对称的偶函数必是周期函数推论，定义在R上的函数满足（1）当为偶函数时，是以为一个周期的周期函数。（2）当为奇函数时，是以为一个周期的周期函数。证：（1）（2）[例1]已知定义在实数集R上的函数满足：（1）；（2）；（3）当时，，求时，的解析式。解：由（1）（2）知，对任则，，2017年高考复习·数学@神马修罗ZJY8[例2]已知定义在实数集R上的函数满足：（1）；（2）；（3）当时解析式，求上的解析式。解：设当时，，则当时，，则又为偶函数，知从而另法：当时，，当时，，[例3]函数定义在R上，且对一切满足，，设，问方程在区间中至少有几个实根。解：依条件为函数的周期，，均为的根，因此在区间上至少有二个根∵2017年高考复习·数学@神马修罗ZJY9由周期性可知也为的根所以方程在区间中至少有[例4]若偶函数，满足（1）图象关于直线对称，（2）在区间上是减函数，求证以为最小正周期。证：依条件知为函数的周期，假设函数还存在比更小的周期2，且令，则（1）若，则与在上是减函数矛盾（2）若，即时，与在上是减函数矛盾，所以是的最小正周期。[例5]已知是定义在实数集R上的偶函数，是R上的奇函数，又知（1）（是常数）；（2）试求的值。分析：条件（2）即，即关于点对称又由是偶函数，故是以为周期的周期函数解：由条件（2）知，令，则2017年高考复习·数学@神马修罗ZJY10，故，即为以4为周期的周期函数，又由，所以