3.1.1两角差的余弦公式教案(示范课)

《3.1.1两角差的余弦公式》教案玉林高中数学科授课人：饶蔼一.教材分析本节课选自人教A版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节课“3.1.1两角差的余弦公式”。变换是数学的重要工具，而三角恒等变换处于三角函数知识与数学变换的结合点和交汇点，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力和运算能力的重要素材。两角差的余弦公式是“三角恒等变换”这一章的基础和出发点，公式的发现和证明是本节课的重点，也是难点。教材选择两角差的余弦公式作为基础，其基本出发点是使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力。教材里面没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行，从简单情况入手得出结果，有利于学生学会探究和思维的发展.由于本节课可以从不同的角度提出不同的问题，并且可以用不同的途径与方法解决问题，因此本节课为学生的思维发展提供了很好的空间和平台，教师要注意引导学生用观察、联想、对比、化归等方法分析问题，寻找解决问题的思路.二.教学目标1.知识与技能：通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”，通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础.2.过程与方法：在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题、合作交流的能力；通过两角差的余弦公式的简单运用,掌握不同方法求值.3.情感态度：通过课题背景的设计，增强学生的探究、应用意识，认识到数学来源于生活，激发学生的学习积极性.三．教学重、难点1.重点：两角差余弦公式的探究、证明过程和公式的初步应用.2.难点：探究过程的组织和适当引导.四．学情分析学生已经掌握了利用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数，也学习了同角三角函数式的变换；理解了平面向量及其运算的意义，并能用数量积表示两个向量的夹角，经历了用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，具有一定的推理能力、运算能力和解决实际问题的能力，但利用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式时，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误，教学时需要引导学生搞清楚两角差与相应向量夹角的联系与区别.五.教法、学法1.教法：问题驱动、引导发现、合作探究相结合的教学方法展开教学.2.学法：课前预习、小组探究、反思小结等.六.教学过程（一）创设情境，引入课题金城超市电梯长度约为8米，坡度（与地面夹角）约为30度，请问当我们上完电梯后，在水平方向上前进了多少米？设前进量为x米，则3430cos8x米提问：当电梯坡度为45度时，其他不变，x等于多少？答：2445cos8x米提问：当电梯坡度为15度时，此时x又等于多少？答：15cos8x米问题1：15cos等于多少？能否用特殊角三角函数值来表示？【设计意图】从学生的实际生活出发，自然地引出问题，培养学生把实际问题抽象为数学模型来解决的能力，让学生感知数学来源于生活，并应用于生活，激发学生的学习兴趣；（二）探究归纳，提出猜想问题2：对任意的,，coscos)cos(是否成立？1.思考：15能否用特殊角表示？预案1：)3045cos(15cos问：30cos45cos15cos是否成立？为什么？预案2：)4560cos(15cos问：45cos60cos15cos是否成立？为什么？【设计意图】让学生经历提出假设证明假设的过程，知道要证明一个假设不成立，只需举出反例即可，即明白特殊与一般的辩证关系。2.探究：15cos能否用特殊角三角函数来表示？如何表示？提示：构造特殊三角形或利用单位圆、向量知识预案1：构造直角三角形321BCAB26AC426263215cosACBC8mx30ABC150D130预案2：利用单位圆、向量知识得出结论：30sin45sin30cos45cos)3045cos(提出猜想：对任意的,，都有sinsincoscos)cos(.【设计意图】通过求15cos的值，让小组展示成果，不仅培养学生合作探究能力、表达能力，还培养了观察能力、归纳能力，并由此提出猜想，使学生懂得如何探究问题，从特殊情况迁移到一般情况下的讨论，为下个环节能突出重点起到铺垫作用。（三）小组合作，证明猜想问题3：以上探究15cos值时，都是用到特殊角来求值，对一般情况下的角是否成立？探究：证明对任意的,都有sinsincoscos)cos(.预案1：利用单位圆、向量知识。问题4：如何探讨,的任意性？若则而OxyOxy3045B)45sin,45(cosA)30sin,30(cosOBOA)30sin,30(cos)45sin,45(cos30sin45sin30cos45cosOBOA又cosOBOA)3045cos(cos30sin45sin30cos45cos)3045cos()sin,(cosOA)sin,(cosOB)sin,(cos)sin,(cosOBOAsinsincoscos)cos(AOBOBOAOBOA又sinsincoscos)cos(cos)2cos()cos(ksinsincoscos)cos(k2sinsincoscos预案2：利用三角函数线此时，过P点作垂线PA⊥OP1于点A，PM⊥Ox于点M.过A点作垂线AB⊥OM于点B，过P点作垂线PC⊥AB于点C.则PAC定义：,，都有sinsincoscos)cos(，称为差角余弦公式。记为：ssccC)(，特征：任意角、同名积、符号反【设计意图】本环节由小组展示探究过程，让学生根据已有的经验（探究15cos）去证明一般情况下的结论，符合学生的思维发展规律。通过各种方法的证明和教师适当的点评、指导，起到突出本节课重点的作用。在探究角的任意性过程中，也培养了学生严谨的逻辑思维能力。（四）.小试牛刀，学以致用例1：利用差角余弦公式求15cos的值？法1：30sin45sin30cos45cos)3045cos(15cos42621222322法2：45sin60sin45cos60cos)4560cos(15cos46222232221变式1：利用差角余弦公式求75cos的值？法1：45sin120sin45cos120cos)45120cos(75cos22232221426法2：)30sin(45sin)30cos(45cos)]30(45cos[75cos30sin45sin30cos45cos21222322426OxyxOPOM)cos(CPOBBMOBOMsincosAPOAsinsincoscossinsincoscos)cos(【设计意图】通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础；通过变式的应用，培养学生用多种方法解决问题的能力。（五）课堂小结，回顾反思1.这堂课你学到了什么内容？如何学习的？①学习了差角余弦公式；②假设猜想—反证否定—用向量、三角函数线探究公式—证明结论—公式应用2.学习与应用过程中，你有什么体会？①证明一个假设不成立，只需举出反例即可。②探究证明公式过程中，可以通过特殊情况去讨论证明一般情况。③公式应用中，可以有不同的解题方法。【设计意图】让学生对探究的过程与思路、方法有一个清晰的认识，进一步达到“教思维”的目的。（六）布置作业，巩固提高1.基础必做题（四选三）：课本P137习题3.1第2、3、4、5题；2.合作探究题：猜想并证明)(C和)(S；3.拓展选做题：求的值.70sin20sin10cos2