函数奇偶性的定义与应用

函数的性质——奇偶性【教学目的】使学生了解奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法；【重点难点】重点：函数的奇偶性的有关概念；难点：奇偶性的应用一、函数的奇偶性1.偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．2.奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．3.判断函数奇偶性的方法：（1）图像法：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．（2）定义法：○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．4.奇偶函数的简单性质：（1）奇函数：奇函数的图象关于原点对称，其单调性在对称区间内相同，如在[a,b]上为增函数，则在[-b，-a]上也为增函数.（2）偶函数：奇函数的图象关于y轴对称，其单调性在对称区间内相反，如在[a,b]上为增函数，则在[-b，-a]上为减函数.二、函数奇偶性的应用1、利用定义判断函数奇偶性例1（1）xxxf2)(3；（2）2432)(xxxf；（3）1)(23xxxxf；（4）2)(xxf2,1x；（5）xxxf22)(；（6）2211)(xxxf；（7）2211(0)2()11(0)2xxgxxx2、利用定义求函数解析式（1）xf为R上奇函数，当0x时，xxxf1，求xf在R上解析式；（2）xf为R上偶函数，当0x时，132xxxf，求xf在R上解析式．（3）)(,xgxf都是定义在R上的函数，且xf为偶函数，xg为奇函数，且有2-xxxgxf2)(，试求)(,xgxf的解析式.3、利用奇偶性求参数取值范围（1）)(xf在(－2，2)上为减函数，且0)24()1(mfmf，求m的取值范围；（2）)(xf在]3,3[上为偶函数，且在]0,3[上是减函数0)3()12(afaf，求a的取值范围.（3）已知定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）的函数)(xf是偶函数，并且在（－∞，0）上是增函数，若0)3(f，则不等式)(xfx0的解集是.（4）已知)(xf是定义在（－3，3）上的奇函数且f(0)=0,当0x3时，)(xf的图像如图所示.那么不等式0)(xxf的解集是（）A．]1,0(]1,3(B．]1,0()0,1[C．]1,0[]1,3(D．[－1，1](5)设)(xf为定义域在R上的偶函数，且)(xf在)3(),(),2(,)0[fff则为增函数的大小顺序为（）A．)2()3()(fffB．)3()2()(fffC．)2()3()(fffD．)3()2()(fff(6)()yfx在(0,2)上是增函数,(2)yfx是偶函数,则57(1),(),()22fff的大小关系是.(7)如果奇函数)(xfy在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，那么)(xfy在区间[－7,－3]上是（）。（A）增函数且最小值为－5（B）增函数且最大值为－5（C）减函数且最小值为－5（D）减函数且最大值为－5三、奇偶性练习1.若定义在区间5,a上的函数xf为偶函数，则a的值为（）A．0B．-5C．5D．不确定2.yfxxR()()是奇函数，下列坐标表示的点一定在函数yfx()图象上（）A．(())afa，B．(())afa，C．(())afa，D．(())afa，3.如果奇函数)(xf在7,3上是增函数，且最小值是5，那么)(xf在3,7上是（）A．增函数，最小值是-5B．增函数，最大值是-5C．减函数，最小值是-5D．减函数，最大值是-54.已知函数)(1222)(Rxaaxfxx是奇函数，则a的值为（）A．1B．2C．1D．25.f(x)是定义在区间[-5，5]上的偶函数，且f(1)f(3),下列各式一定成立的是（）A.f(0)f(5)B.f(3)f(2)C.f(-1)f(3)D.f(-3)f(1)6.)(xf在),(ba和),(dc都是增函数，若),(),,(21dcxbax，且21xx则（）A．)()(21xfxfB．)()(21xfxfC．)()(21xfxfD．无法确定7.下列函数为偶函数的是（）A.xxxfB.xxxf12C.xxxf2D.2xxxf8.已知函数)0(2acbxaxxf为偶函数，那么cxbxaxxg23是（）A.奇函数B.偶函数C.即奇又偶函数D.非奇非偶函数9.如果奇函数）（xf在],[ba具有最大值）（af，那么该函数在],[ab有（）A.最大值）（a-fB.最小值）（a-fC.最大值）（b-fD.最小值）（b-f10.fx是定义在R上的偶函数,且在)0,(上是增函数,则2f与223faa,（aR）的大小关系是（）A．2f223faaB．2f223faaC．2f223faaD．与a的取值无关若函数11.若函数f(x)=ax73bx,有f(5)=3则f(－5)=；12.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如右图，则不等式0xf的解是；13.已知)(xf是定义在2,00,2上的奇函数，（12题）（13题）当0x时，)(xf的图象如右图所示，那么f(x)的值域是；14.62)23()(2kxkkxf在R上是增函数且为奇函数,K的范围为15函数)(xfy在（-1，1）上是减函数，且为奇函数，满足0)2()1(2afaaf，试a求的范围．16若函数)(xfy对任意,,Ryx恒有)()()(yfxfyxf。322xyO（1）求证：)(xfy是奇函数；（2）若,)3(mf求).12(f（3）如果0x时，0)(xf且21)1(f，试求)(xf在区间6,2上的最大值和最小值。