概率论与数理统计ppt课件

概率论与数理统计概率论与数理统计第一章：随机事件及其概率概率论与数理统计是数学的一个重经分支，它是研究随机现象统计规律的一门学科，广泛应用于科学研究、工程技术、经济及管理等各个领域。本章通过随机试验介绍概率论中随机事件的关系及其运算、概率的性质及其计算方法。31.确定性（或必然）现象和随机（或不确定性、偶然）现象.2.随机现象:在一定条件下可能发生也可能不发生，在个别观察中其结果呈现出不确定性（或称为偶然性或随机性）,在大量重复观察中其结果又具有统计规律性.§1随机事件及其计算3.对某种现象或对某个事物的某个特征的观察（测）以及各种各样的科学实验统称为实验。随机现象的基本特征是，在一定条件下单次实验的可能结果不止一个，每次实验只能出现其中之一，但预先无法预知，但大量多次重复实验，出现各种结果的比例数又具体统计规律性。一、随机现象与随机实验4E1:抛一枚硬币，观察正(H)反(T)面的情况.E2:将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.E3:将一枚硬币抛三次，观察出现正面的情况.举例:我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验称为试验。E4:电话交换台一分钟内接到的呼唤次数.E5:在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命.E6:在一批产品中任意抽取若干件，以检验产品的合格率.5基本特征(1)可在相同的条件下重复试验;(2)每次试验的可能结果不止一个,且能事先明确所有可能的结果;(3)每次实验只能出现可能结果中的一个，但一次试验前不能预先确定到底会出现哪个结果.在相同条件下，大量重复进行的这类试验，称为随机实验：6二、样本空间:定义随机试验E的所有可能的结果组成的集合称为E的样本空间,记为S.样本空间的元素，也就是最简单的每一个直接结果称为样本点，用表示.样本空间的分类:1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个.例E1,E2等.2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值.例灯泡的寿命{t|t≥0}.基本事件7三、随机事件定义样本空间S的子集称为随机事件,简称事件.在一次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.它是满足某些条件的样本点的集合。基本事件:复合事件:必然事件:不可能事件：由一个样本点组成的单点集.如:{H},{T}.由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件为复合事件.如:E3中{出现正面次数为奇数}.样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是发生的，称为必然事件。空集φ不包含任何样本点,它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。8例1.试确定试验E2中样本空间,样本点的个数,并给出如下事件的元素:事件A1=“第一次出现正面”、事件A2=“恰好出现一次正面”、事件A3=“至少出现一次正面”.,,,,,,,SHTTHHTHTHHHHTTTHTHTTHTHH1{,,,}AHTTHTHHHTHHH2{,,}AHTTTHTTTH3{,,,,,,}AHTTHHTHTHHHHTHTTHHTTH9四、事件间的关系与运算1.包含关系和相等关系:BA)1(ABS若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记作AB.若AB且AB,即A=B,则称A与B相等.10.,A,AB.A,BA,BA,.}|{121kkABABxAxxBA的和事件记为可列个事件记的和与称为中至少有一个发生即的和事件与称为或BASBA(2)2.和事件:3.积事件：事件AB={x|xA且xB}称A与B的积，即事件A与B同时发生.AB可简记为AB.类似地,事件为可列个事件A1,A2,...的积事件.1kKABASBA)3(114.差事件:事件A-B={x|xA且xB}称为A与B的差.当且仅当A发生但B不发生时事件A-B发生.即:ABAB-A显然:A-A=,A-=A,A-S=ABBA)4(s12.,,,不能同时发生与即或互斥的是互不相容的与则称若BABABABAAB5.事件的互不相容(互斥):13.,,:.且仅有一个发生个发生中必然有一与事件在一次实验中即为对立事件互为逆事件，也称与，则称且若BABABASBA.,.ABBABAAA或互为对立事件，则记为与若的对立事件记为6.对立事件(逆事件)：SABAB14.ABBAABBA；7.事件的运算律:).CA()BA()CB(A);CA()BA()CB(A.BABA;BABA交换律:结合律:对偶律:C.B)A(C)(BA;CB)A(C)(BA分配律:证明对偶律.15则有两两互不相容，、、事件例.CBA不成立反之ABC例.甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：.,,,,,3132213212121322AAAAAAAAAAAAAAAA2,A乙没有射中；23AA乙丙至少一人射中；12AA甲乙没有都射中12AA甲乙都没有射中312AAA甲乙都射中但丙没射中121323AAAAAA至少有两人都射中16§2.随机事件的概率一.概率统计定义:1.频率若在相同的条件下，共进行了n次试验,，事件A发生的次数nA，称为A的频数，比值nA/n称为事件A发生的频率,记为fn(A).即：频率的基本性质：（非负性）；）（10)1(Afn（规范性）;1)()2(Sfn则两两互不相容，，）若（,A,AA3k21)(21knAAAf有限可加性）).(()()(21knnnAfAfAfnAfAnN17频率的特性:波动性和稳定性.试验序号n=50n=500nAfn(A)nAfn(A)1220.442510.5022250.502490.4983210.422560.5124240.482530.5065180.362510.502试验者nnAfn(A)蒲丰404020480.5056费勒1000049790.4979皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005182.概率的统计定义设有随机实验E，若试验重复次数n充分大时，事件A发生的频率fn(A)总是在区间[0，1]上的一个确定的常数p附近微波摆动，并逐渐稳定于p，则称常数p为事件发生的概率，记作P(A)，即：P(A)=数p.概率的性质：101,PA性质非负性；2=1P性质，规范性；3==ABPABPAPB性质若，则。113nniiiinPAPA性质的推广：若个事件两两互不相容，则19二.概率的古典定义：古典概型的两个特点:例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.等可能概型的两种类型：古典概型（样本空间有有限集）和几何概型（样本空间为无限集）(1)样本空间中的元素只有有限个，即12,,,n有限性；(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同，即121===.nPPPn等可能性20概率的古典定义:对于古典概型,样本空间S＝{1,2,…,n},设事件A包含S的m个样本点，则事件A的概率定义为()AmPASn中的基本事件数中的基本事件总数概率的性质：101,PA性质非负性；2=1PS性质，规范性；3==ABPABPAPB性质若，则。113nniiiinPAPA性质的推广：若个事件两两互不相容，则21古典概型概率的计算步骤:(1)选取适当的样本空间S,使它满足有限等可能的要求,且把事件A表示成S的某个子集.(2)计算样本点总数n及事件A包含的样本点数k.(3)用下列公式计算:)(nkSAAP中的基本事件总数中的基本事件数22例1.袋中装有4只白球和2只红球.从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种式:(a)放回抽样;(b)不放回抽样.求:(1)两球颜色相同的概率;(2)两球中至少有一只白球的概率.解：（a)放回抽样⑴1122533339⑵22211283333339（b）不放回抽样112373535152322141435353515⑴⑵111413515118133923例2.设一袋中有编号为1,2,…,9的球共9只,现从中任取3只,试求:(1)取到1号球的概率,（事件A）(2)最小号码为5的概率.（事件B）解：⑴18187119989873⑵54359874224例3.某接待站在某一周曾接待过12次来访,且都是在周二和周四来访.问是否可以推断接待时间是有规定的?实际推断原理:“小概率事件在一次试验中实际上是不可能发生的”.注如果没有规定，则该事件发生的概率只有：12520.77721610525古典概率计算中用到的主要排列组合公式⑴不重复的排列公式：从n个元素中取m个元素按照一定的顺序排列成一列!,!mnnAmnnm⑵可重复排列公式：从n个不同元素中有放回地抽取m个元素按照一定的顺序排成一列，其排列数为mn⑶组合公式：从n个不同元素中取出m个元素，不计顺序组成一组，其组合数为1,0,!,!!!mnmnmnCmnAnmnmmnm26⑷加法原理：如果完成一项工作有m种不同方法，其中任何一种方法都可以一次完成这项工作，假设第I种方法有ni（i=1,2,3,…,m）个方案，则完成该项工作的全部方案有种。12mnnn⑸乘法原理：如果完成一项工作需先后m个步骤，其中第i个步骤有ni（i=1,2,3,…,m）个方案，则完成该项工作的全部方案共有种。12mnnn例：设袋中有外形相同的10个有色球，其中6个白球和4个红球。现从袋中任意取（或随机地取）3个，试求：⑴取出的3个球都是红色球的概率；⑵取出的3个球恰好有一个是白球的概率。27解：设想把10个球进行编号，把它们理解为10个不同的球，那么从中任意取3个球，共有种不同的取法，每种取法都对应一个的样本点，所以该试验样本空间的样本总数为310C310nC⑴设A=｛取出的3个球都是红色球｝，则事件A包含了个样本点，因此：36mC3631016CmPAnC⑵设B=｛取出3个球中恰好有一个白球｝，而事件B的发生方法应该是：从4个白球中任取一个，有种取法；再从6个红球中任意取2个，有种取法，红球白球谁先取得与结果无妨。因此。事件B的发生共有种方式。因此14C26C1246mCC124631012CCmPBnC28抽样问题：所谓抽样，是指从待查的整批产品中抽出部分产品。抽出的这部分称为样本或子样，样本中的每件产品称为样品，样本中所包含的样品件数称为样本容量，而待查整批次产品叫做总体或母体。随机抽样是指总体中每件产品，都等可能地被抽作样本中的样品。例：设一批产品共计100件，其中有3件次品，其余均为正品，按下列两种方法随机抽取2件产品：⑴有放回抽样，即第一次任取一件产品，测试后放回原来的产品中，第二次再从中任意抽取一件产品；⑵无放回抽样：即第一次任取一件产品，测试后不再放回原来的产品中，第二次再从第一次测试后其余的产品中任意抽取一件。试求上述两种情况下的，分别求取出的2件产品中恰好有一件产品的概率。29先分析事件A=｛取出的2件产品中恰好有一件次品｝包含的样本点数.事件A的发生有两种方式：先取得一件次品后取得一件正品或先取得一件正品后取得一件次品。因此所包含的样本点数为：1111397973mCCCC⑴放回抽样：每次抽取样品都是从100件产品中任意抽取，都有100种取法，因此样本空间的样本点数为n=1002.故111139797320.582100CCCCmPAS⑵无放回抽样：第一次是从100件产品中任意抽取一件，第二次是从剩余的99件产品中任意抽取一件，因此样本空间的样本点数为：n=100×99=，故2100A111139797321000.588CCCCmPAnA30无放回抽样问题，可以看作是