2011年高考新课标卷文科数学试题(解析版)

第1页—共12页2011年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷)文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其他题为必考题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{0,1,2,3,4}M，{1,3,5}N，PMN，则P的子集共有A．2个B．4个C．6个D．8个【答案】B【解析】PMN={1,3}，故P的子集有224个．2．复数5i12iA．2iB．12iC．2iD．12i【答案】C【解析】5i5i(12i)2i12i(12i)(12i)．3．下列函数中，既是偶函数又在(0,)单调递增的函数是A．3yxB．||1yxC．21yxD．||2xy【答案】B【解析】3yx为奇函数，21yx在(0,)上为减函数，||2xy在(0,)上为减函数，故选B．4．椭圆221168xy的离心率为A．13B．12C．33D．22【答案】D第2页—共12页【解析】由221168xy可知216a，28b，∴2228cab，∴22212cea，∴22e．5．执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是A．120B．720C．1440D．5040【答案】B【解析】由程序框图可得，输出的123456720p，选B6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A．13B．12C．23D．34【答案】A【解析】记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此31()93PA．7．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线2yx上，则cos2=A．45B．35C．35D．45【答案】B第3页—共12页【解析】由题知tan2，222222cossin1tan3cos2cossin1tan5，选B．8．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为俯视图正视图DCBA【答案】D【解析】通过正视图及俯视图可看出该几何体为半个圆锥和一个三棱锥组合在一起，故侧视图为D．9．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于,AB两点，||AB=12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为_____．A．18B．24C．36D．48【答案】C【解析】设抛物线方程为22ypx，则焦点坐标为(,0)2p，将2px代入22ypx可得22yp，||AB=12，即2p=12，∴p=6．点P在准线上，到AB的距离为p=6，所以ABP面积为1612362．10．在下列区间中，函数()43xfxex的零点所在的区间为_____．A．1(,0)4B．1(0,)4C．11(,)42D．13(,)24【答案】C【解析】因为114411()432044fee，112211()431022fee，所以()43xfxex的零点所在的区间为11(,)42．第4页—共12页11．设函数()sin(2)cos(2)44fxxx，则A．()yfx在(0,)2单调递增，其图象关于直线4x对称B．()yfx在(0,)2单调递增，其图象关于直线2x对称C．()yfx在(0,)2单调递减，其图象关于直线4x对称D．()yfx在(0,)2单调递减，其图象关于直线2x对称【答案】D【解析】因为()sin(2)cos(2)44fxxx=2sin(2)2x=2cos2x，所以2cos2yx，在(0,)2单调递减，对称轴为2xk，即2kx(kZ)．12．已知函数()yfx的周期为2，当[1,1]x时2()fxx，那么函数()yfx的图象与函数|lg|yx的图象的交点共有_____．A．10个B．9个C．8个D．1个【答案】A【解析】画出两个函数图象可看出交点有10个．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量ab与向量kab垂直，则k=．【答案】1【解析】∵ab与kab垂直，∴(ab)·(kab)=0，第5页—共12页化简得(1)(1)0kab，根据a、b向量不共线，且均为单位向量得10ab，得10k，即1k．14．若变量x，y满足约束条件32969xyxy，则2zxy的最小值是_________．【答案】－6【解析】画出区域图知，当直线2zxy过239xyxy的交点(4，-5)时，min6z．15．ABC中，120,7,5BACAB，则ABC的面积为_________．【答案】1534【解析】根据sinsinABACCB得5353sinsin7214ABCBAC，25311cos1()1414C，所以sinsin[()]sincossincosABCBCCB3111533321421414．因此ABCS=1133153sin7522144ABACA．16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________．【答案】13【解析】设球心为1O，半径为1r，圆锥底面圆圆心为2O，半径为2r，第6页—共12页则有22123416rr，即2132rr，所以22112122rOOrr，设两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高分别为1h、2h，则1111211232rrhrhr．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知等比数列{}na中，113a，公比13q．(Ⅰ)nS为{}na的前n项和，证明：12nnaS；(Ⅱ)设31323logloglognnbaaa，求数列{}nb的通项公式．【解析】（Ⅰ）因为.31)31(311nnna,2311311)311(31nnnS所以,21nnaS（Ⅱ）nnaaab32313logloglog)21(n2)1(nn所以}{nb的通项公式为.2)1(nnbn18．（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，60DAB，2ABAD，PD底面ABCD．第7页—共12页(Ⅰ)证明：PABD；(Ⅱ)若1PDAD，求棱锥DPBC的高．【解析】（Ⅰ）因为60,2DABABAD，由余弦定理得3BDAD从而222BDADAB，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD.故PABD（Ⅱ）如图，作DEPB，垂足为E．已知PD底面ABCD，则PDBC．由（Ⅰ）知BDAD，又BC//AD，所以BCBD．故BC平面PBD，BCDE．则DE平面PBC．由题设知，PD=1，则BD=3，PB=2，根据BE·PB=PD·BD，得DE=23，即棱锥D—PBC的高为.2319．（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到时下面试验结果：A配方的频数分布表第8页—共12页指标值分组[90，94)[94，98)[98，102)[102，106)[106，110]频数82042228B配方的频数分布表指标值分组[90，94)[94，98)[98，102)[102，106)[106，110]频数412423210(Ⅰ)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；(Ⅱ)已知用B配方生产的一种产品利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为2,942,941024,102tytt，估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．【解析】(Ⅰ)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为2280.3100，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为32100.42100，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42．(Ⅱ)由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值94t≥，由试验结果知，质量指标值94t≥的频率为0．96．所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0．96．用B配方生产的产品平均一件的利润为1[4(2)542424]2.68100(元)．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线261yxx与坐标轴的交点都在圆C上．(Ⅰ)求圆C的方程；(Ⅱ)若圆C与直线0xya交于,AB两点，且OAOB，求a的值．【解析】（Ⅰ）曲线162xxy与y轴的交点为(0，1)，与x轴的交点为（).0,223(),0,223故可设C的圆心为（3，t），则有,)22()1(32222tt解得t=1.第9页—共12页则圆C的半径为.3)1(322t所以圆C的方程为.9)1()3(22yx（Ⅱ）设A(11,yx)，B(22,yx)，其坐标满足方程组：.9)1()3(,022yxayx消去y，得到方程.012)82(222aaxax由已知可得，判别式.0416562aa因此，,441656)28(22,1aaax从而2120,422121aaxxaxx①由于OAOB，可得,02121yyxx又,,2211axyaxy所以.0)(222121axxaxx②由①，②得1a，满足,0故.1a21．（本小题满分12分）已知函数ln()1axbfxxx，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为230xy．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)证明：当0x，且1x时，ln()1xfxx．【解析】（Ⅰ）221(ln)'()(1)xxbxfxxx第10页—共12页由于直线230xy的斜率为12，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2ff即1,1,22bab解得1a，1b．（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln1f()1xxxx，所以)1ln2(111ln)(22xxxxxxxf考虑函数()2lnhxxxx12(0)x，则22222)1()1(22)(xxxxxxxh所以当1x时，,0)1(,0)(hxh而故当)1,0(x时，;0)(11,0)(2xhxxh可得当),1(x时，;0)(11,0)(2xhxxh可得从而当.1ln)(,01ln)(,1,0xxxfxxxfxx即且请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满