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初三(下)相似三角形第1页共6页九年级下数学相似三角形经典习题例1从下面这些三角形中,选出相似的三角形.例2已知:如图,ABCD中,2:1:EBAE,求AEF与CDF的周长的比,如果2cm6AEFS,求CDFS.例3如图,已知ABD∽ACE,求证:ABC∽ADE.例4下列命题中哪些是正确的,哪些是错误的?(1)所有的直角三角形都相似.(2)所有的等腰三角形都相似.(3)所有的等腰直角三角形都相似.(4)所有的等边三角形都相似.例5如图,D点是ABC的边AC上的一点,过D点画线段DE,使点E在ABC的边上,并且点D、点E和ABC的一个顶点组成的小三角形与ABC相似.尽可能多地画出满足条件的图形,并说明线段DE的画法.例6如图,一人拿着一支刻有厘米分画的小尺,站在距电线杆约30米的地方,把手臂向前伸直,小尺竖直,看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆,已知手臂长约60厘米,求电线杆的高.初三(下)相似三角形第2页共6页例7如图,小明为了测量一高楼MN的高,在离N点20m的A处放了一个平面镜,小明沿NA后退到C点,正好从镜中看到楼顶M点,若5.1ACm,小明的眼睛离地面的高度为1.6m,请你帮助小明计算一下楼房的高度(精确到0.1m).例8格点图中的两个三角形是否是相似三角形,说明理由.例9根据下列各组条件,判定ABC和CBA是否相似,并说明理由:(1),cm4,cm5.2,cm5.3CABCABcm28,cm5.17,cm5.24ACCBBA.(2)35,44,104,35ACBA.(3)48,3.1,5.1,48,6.2,3BCBBABBCAB.例10如图,下列每个图形中,存不存在相似的三角形,如果存在,把它们用字母表示出来,并简要说明识别的根据.例11已知:如图,在ABC中,BDAACAB,36,是角平分线,试利用三角形相似的关系说明ACDCAD2.初三(下)相似三角形第3页共6页例12已知ABC的三边长分别为5、12、13,与其相似的CBA的最大边长为26,求CBA的面积S.例13在一次数学活动课上,老师让同学们到操场上测量旗杆的高度,然后回来交流各自的测量方法.小芳的测量方法是:拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处(如图),然后沿BC方向走到D处,这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上,又测得C、D两点的距离为3米,小芳的目高为1.5米,这样便可知道旗杆的高.你认为这种测量方法是否可行?请说明理由.例14.如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选点B和C,使BCAB,然后再选点E,使BCEC,确定BC与AE的交点为D,测得120BD米,60DC米,50EC米,你能求出两岸之间AB的大致距离吗?例15.如图,为了求出海岛上的山峰AB的高度,在D和F处树立标杆DC和FE,标杆的高都是3丈,相隔1000步(1步等于5尺),并且AB、CD和EF在同一平面内,从标杆DC退后123步的G处,可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上,从标杆FE退后127步的H处,可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上.求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少?(古代问题)例16如图,已知△ABC的边AB=32,AC=2,BC边上的高AD=3.(1)求BC的长;(2)如果有一个正方形的边在AB上,另外两个顶点分别在AC,BC上,求这个正方形的面积.初三(下)相似三角形第4页共6页相似三角形经典习题答案例1.解①、⑤、⑥相似,②、⑦相似,③、④、⑧相似例2.解ABCD是平行四边形,∴CDABCDAB,//,∴AEF∽CDF,又2:1:EBAE,∴3:1:CDAE,∴AEF与CDF的周长的比是1:3.又)cm(6,)31(22AEFCDFAEFSSS,∴)cm(542CDFS.例3分析由于ABD∽ACE,则CAEBAD,因此DAEBAC,如果再进一步证明AECAADBA,则问题得证.证明∵ABD∽ACE,∴CAEBAD.又DACBADBAC,∴CAEDACDAE,∴DAEBAC.∵ABD∽ACE,∴AEACADAB.在ABC和ADE中,∵AEACADABADEBAC,,∴ABC∽ADE例4.分析(1)不正确,因为在直角三角形中,两个锐角的大小不确定,因此直角三角形的形状不同.(2)也不正确,等腰三角形的顶角大小不确定,因此等腰三角形的形状也不同.(3)正确.设有等腰直角三角形ABC和CBA,其中90CC,则45,45BBAA,设ABC的三边为a、b、c,CBA的边为cba、、,则acbaacba2,,2,,∴aaccbbaa,,∴ABC∽CBA.(4)也正确,如ABC与CBA都是等边三角形,对应角相等,对应边都成比例,因此ABC∽CBA.答:(1)、(2)不正确.(3)、(4)正确.例5.解:画法略.例6.分析本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形,即60DF厘米6.0米,12GF厘米12.0米,30CE米,求BC.由于ADF∽ACAFECDFAEC,,又ACF∽ABC,∴BCGFECDF,从而可以求出BC的长.解ECDFECAE//,,∴EACDAFAECADF,,∴ADF∽AEC.∴ACAFECDF.又ECBCECGF,,∴ABCAGFACBAFGBCGF,,//,∴AGF∽ABC,∴BCGFACAF,∴BCGFECDF.初三(下)相似三角形第5页共6页又60DF厘米6.0米,12GF厘米12.0米,30EC米,∴6BC米.即电线杆的高为6米.例7.分析根据物理学定律:光线的入射角等于反射角,这样,BCA与MNA的相似关系就明确了.解因为MANBACANMNCABC,,,所以BCA∽MNA.所以ACANBCMN::,即5.1:206.1:MN.所以3.215.1206.1MN(m).说明这是一个实际应用问题,方法看似简单,其实很巧妙,省却了使用仪器测量的麻烦.例8.分析这两个图如果不是画在格点中,那是无法判断的.实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度.解在格点中BCABEFDE,,所以90BE,又4,2,2,1ABBCDEEF.所以21BCEFABDE.所以DEF∽ABC.说明遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件,勿使遗漏.例9.解(1)因为7128cm4cm,7117.5cm2.5cm,7124.5cm3.5cmACCACBBCBAAB,所以ABC∽CBA;(2)因为41180BAC,两个三角形中只有AA,另外两个角都不相等,所以ABC与CBA不相似;(3)因为12,CBBCBAABBB,所以ABC相似于CBA.例10.解(1)ADE∽ABC两角相等;(2)ADE∽ACB两角相等;(3)CDE∽CAB两角相等;(4)EAB∽ECD两边成比例夹角相等;(5)ABD∽ACB两边成比例夹角相等;(6)ABD∽ACB两边成比例夹角相等.例11.分析有一个角是65°的等腰三角形,它的底角是72°,而BD是底角的平分线,∴36CBD,则可推出ABC∽BCD,进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系.证明ACABA,36,∴72CABC.又BD平分ABC,∴36CBDABD.∴BCBDAD,且ABC∽BCD,∴BCCDABBC::,∴CDABBC2,∴CDACAD2.说明(1)有两个角对应相等,那么这两个三角形相似,这是判断两个三角形相似最常用的方法,并且根据相等的角的位置,可以确定哪些边是对应边.(2)要说明线段的乘积式cdab,或平方式bca2,一般都是证明比例式,bdca,或caab,再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式.例12分析由ABC的三边长可以判断出ABC为直角三角形,又因为ABC∽CBA,所以CBA也是直角三角形,那么由CBA的最大边长为26,可以求出相似比,从而求出CBA的两条直角边长,再求得CBA的面积.解设ABC的三边依次为,13,12,5ABACBC,则222ACBCAB,∴90C.又∵ABC∽CBA,∴90CC.212613BAABCAACCBBC,又12,5ACBC,∴24,10CACB.∴12010242121CBCAS.例13.分析判断方法是否可行,应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高.按这种测量方法,过F作ABFG于G,交CE于H,可知AGF∽EHF,且GF、HF、EH可求,这样可求得AG,故旗杆AB可求.解这种测量方法可行.理由如下:设旗杆高xAB.过F作ABFG于G,交CE于H(如图).所以AGF∽EHF.因为3,30327,5.1HFGFFD,所以5.1,25.15.3xAGEH.初三(下)相似三角形第6页共6页由AGF∽EHF,得HFGFEHAG,即33025.1x,所以205.1x,解得5.21x(米)所以旗杆的高为21.5米.说明在具体测量时,方法要现实、切实可行.例14.解:90,ECDABCEDCADB,∴ABD∽ECD,1006050120,CDECBDABCDBDECAB(米),答:两岸间AB大致相距100米.例15.答案:1506AB米,30750BD步,(注意:AKFEFHKEAKCDDGKC,.)例16.分析:要求BC的长,需画图来解,因AB、AC都大于高AD,那么有两种情况存在,即点D在BC上或点D在BC的延长线上,所以求BC的长时要分两种情况讨论.求正方形的面积,关键是求正方形的边长.解:(1)如上图,由AD⊥BC,由勾股定理得BD=3,DC=1,所以BC=BD+DC=3+1=4.如下图,同理可求BD=3,DC=1,所以BC=BD-CD=3-1=2.(2)如下图,由题目中的图知BC=4,且162)32(2222ACAB,162BC,∴222BCACAB.所以△ABC是直角三角形.由AEGF是正方形,设GF=x,则FC=2-x,∵GF∥AB,∴ACFCABGF,即2232xx.∴33x,∴3612)33(2AEGFS正方形.如下图,当BC=2,AC=2,△ABC是等腰三角形,作CP⊥AB于P,∴AP=321AB,在Rt△APC中,由勾股定理得CP=1,∵GH∥AB,∴△CGH∽△CBA,∵xxx132,32132x∴121348156)32132(2GFEHS正方形因此,正方形的面积为3612或121348156.
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