泛函分析在信号处理中的应用

现代数学论文I题目泛函分析在信号处理中的应用现代数学论文II摘要人们将用于描述和记录消息的任何物理状态随时间变化的过程叫做信号。泛函理论是本世纪发展起来的独立数学分支。使用泛函理论作为分析信号的工具能够使信号的表示更加抽象与概括，并使连续与离散、时域与频域、分析与综合达到统一，从而在信号与系统学科中得到了日益广泛的应用。本文讲述了几个基本的泛函理论以及该理论在信号处理中的应用。关键词:度量空间；线性算子；泛函现代数学论文III目录摘要...........................................................................................................…………I第1章绪论....................................................................................................................11.1引言....................................................................................................................11.2本文主要内容及论文结构................................................................................1第2章度量空间及其在信号处理中的应用................................................................22.1度量的基本理论................................................................................................22.1.1集合........................................................................................................22.1.2度量空间................................................................................................22.2度量空间在信号处理中的应用........................................................................32.2.1度量空间与纠错码................................................................................3第3章泛函及其在信号处理中的应用........................................................................43.1泛函理论............................................................................................................43.1.1线性空间.................................................................................................43.1.2线性空间的维数....................................................................................43.1.3赋范线性空间.........................................................................................43.1.4线性算子................................................................................................43.3交叉理论............................................................................................................53.3.1信号在有限维空间内的数值表示.........................................................53.3.2信号处理的极值问题.............................................................................53.3.3不动点....................................................................................................53.4泛函在信号处理中的应用—设计耗能最小的充电电源................................5结论..............................................................................................................................8参考文献..........................................................................................................................8现代数学论文1第1章绪论1.1引言我所学的专业是电子信息科学，在学习的过程中总需要对捕获的信号进行相关处理，而在之前的学习中一般使用普通函数来对信号进行处理，使用微分方程、积分变换和线性代数来描述信号的特征和系统响应，虽然使用普通数学的方法物理概念清晰但是却有着概念较为狭窄、方法不够概括、各种变换不能统一、综合问题比较困难等的局限性。泛函分析是现在数学的重要分支之一，它起源于经典数学和物理学中的一些变分问题，是分析数学的高度发展。其内容主要涉及无穷维空间及其上定义的算子和泛函的基本理论，并且综合地运用了代数、几何与分析等经典学科的观点和方法。信号处理的广泛性与泛函理论的抽象性相结合，形成了更加严密而概括的分析方法。这种方法将信号抽象为无穷维空间中的一个点，而将信号所处在的系统抽象为算子，使信号与系统的表述更加概括与简便，从而得到广泛的应用。1.2本文主要内容及论文结构本文主要讲述了两个方面的泛函的基本理论，同时在此理论的基础上引出了此理论在信号处理中的简单应用。本论文结构如下：第一章，为绪论和论文结构。第二章，介绍了泛函分析中关于度量空间的基础理论以及其在信号处理中的应用。第三章，介绍了泛函分析中关于泛函的基础理论以及其在信号处理中的应用。论文的最后是本文的结论。现代数学论文2第2章度量空间及其在信号处理中的应用2.1度量的基本理论2.1.1集合集合是泛函理论的基础，所以首先介绍集合。集合：具有共同特征的元素汇到一起构成了集合。那么任意一类信号就可形成信号集。例如周期余弦表示成的周期余弦信号集为：连续时间信号可构成连续时间空间，记作C[T]空间，能量有限信号则可形成可积空间，记作2LT，等等。2.1.2度量空间设X是非空集合:0,XXR是二元函数，如果1(,)0xy(,)0xyxy2(,)(,),,xyyxxy3,,,(,)(,)(,)xyzXxzxyyz则称是X上的一个度量，称（X，）为一个度量空间。例如在nR空间可定义如下度量：11(,)niiixyxy12221(,)niiixyxy1(,)max,1,2,,iiinxyxyin()m{;();,,}jwtSxxtAeAwR现代数学论文32.2度量空间在信号处理中的应用2.2.1度量空间与纠错码由n个二进制码元可组成2n个码组。码组集合表示为;1,2,,2nniAwi，那么我们可以将nA看做度量空间。采用海明定义码间度量为：1(,)mod2njkiiiwwab式中，1212,,,,,,,inknwaaawbbb。这样，我们容易知道相同码组的度量为零，不同码组的度量至少为1。在信息的传输过程中为了提高传输的可靠性，可增加检验码，即加大码间度量，形成校验码。我们取n=3为例，那么码组集合中有8个元素，它的信息码和校验码如表：信息码校验码1a2a3a4a5a0w000001w001112w010103w011014w100105w101016w110007w11111在表中令4123mod2aaaa，5124mod2aaaa。于是得到45,aa两列。由图易知，仅增加4a后，从1w到6w每个码组都有两个1和两个0，且有1234mod20aaaa。其中任意两个正常码组间的最小度量为2。如果，任意码组中发生一位错误码，其与相邻组的度量缩小为1，从而得到检验，故此得校验码。当增加5a后，任意两个正常码组见的最小度量为3.若有一组发生错误码，则其与原正确码间的度量为1，而与相邻码组间的度量为2，这样不仅得到了检验，而且便于纠正，故此为纠错码。现代数学论文4第3章泛函及其在信号处理中的应用3.1泛函理论3.1.1线性空间对加减运算封闭的空间是线性空间。3.1.2线性空间的维数如果X空间中有n个向量无关且任何n+1个向量都相关，那么我们称X是n维的。3.1.3赋范线性空间假设X是线性空间，设：X0,是一个映射，若满足：1,0xXx0xx2,,xXFxx3,,xyXxyxy则称为X上的一个范数，称,X为赋范线性空间。并称(,),,xyxyxyX为由范数导出的度量。3.1.4线性算子设X、Y是线性空间，T：XY是映射，若,,,xyXF都有1()TxyTxTy2()TxTx则称T为从X到Y的一个线性算子。若Y=R或C，则称T是线性泛函。那么在信号处理中我们可以将线性系统可看作线性算子，冲激信号的取样特性可现代数学论文5看作在2LT空间中的线性泛函。3.2交叉理论3.2.1信号在有限维空间内的数值表示任意信号可看作某个有限维空间内的一个点，由有限个数值表示，以便于分析处理。如果信号x处于2LT空间中的某个n维子空间nA内，且nA由已知的基集i生成，其中i为时间函数，则信号x可表示为：1();,niinixtxAtT式中，系数i可以由内积公式求得1,,njiijix若基集i为某个完备的归一化正交函数集，则有足够大的n即可无限逼近信号。例如，若选取;0,1,,jnwtien，那么会得到x的Fourier级数展开式。3.2.2信号处理的极值问题信号的极值问题就是优化某种信号波形，以使信号的某个泛函达到极值。而系统的极值问题就是优化系统算子，以使输出信号的某个泛函达到极值。3.2.3不动点设X是度量空间，T：XX是映射，*xX，如果**Txx，则称*x为一个不动点。那么我们求得某个泛函导数的不动点也就求出了输出信