2016年数学建模国赛A题一等奖论文

1系泊系统的设计摘要近海系泊系统作为气象监控、海洋探测的主要载体工具，对工程的实际应用有一定的积极作用[1]，研究系泊系统在不同环境状况下的内在关系，进而给出适应不同情况的设计方案，并编写相应的应用软件，有着不能忽视的现实意义[2]。针对问题一，在整个系泊系统处于最终平衡状态下，从系统的上部钢管开始受力分析计算，建立不同方向上力的平衡方程和以下部链结点为取距中心的力矩平衡方程，求得钢管倾斜角度以及下部单元间相互作用拉力，进而计算出钢管的相对位置改变量。继续分析下部单元的受力情况，建立相同的平衡方程组并求解，通过反复迭代计算，建立以浮标吃水深度为自变量的迭代代数模型，可求得河道底部的链环倾斜角度以及整个系泊系统的垂悬高度。进而利用粒子群算法优化上部浮标的吃水深度，并经过多次迭代优化，最终得到水深18米并且风速为12m/s和24m/s时，浮标吃水深度分别为0.7348米和0.7489米，同时算出各节钢管的倾斜角度和各单元的位置坐标（附录及支撑材料），以及浮标游动区域半径14.2005米和17.3203米。结合理想状态下的锚链悬链线方程拟合位置坐标数据得出良好的锚链形状曲线方程（式1.16-1.17），并利用CAD软件绘制了所得结果下的系泊系统3-维立体分布示意图（图10）。针对问题二，利用上述问题一所建立模型计算可知底部链环以及钢桶倾斜角度均不满足题目条件。根据重物球和浮标吃水深度对于整个系统的影响，从系泊系统悬挂的重物球质量为1200kg开始枚举，并利用适应度良好的粒子群算法计算出相应状态下的浮标吃水深度、链环和钢桶的倾斜角度，直到角度满足题目要求时，即可得到在已给风力和零件倾斜角度等约束条件下，悬挂重物球的最小质量。再继续增加重物球质量，直到吃水深度等于2𝑚时终止，得到满足所有条件下重物球的最大悬挂质量，最终得出悬挂重物球的范围为1974kg至5294kg。针对问题三，依据问题的现实情况，综合考虑钢管的体积、钢管的水动力及浮力，结合上述问题一和问题二的代数模型，以钢桶、底部链环倾斜角度及整个系统的垂悬高度三者为优化变量，在给定锚链长度后，建立不同风速、水流速度及海水深度时以粒子群算法为基础的多目标非线性规划模型。根据锚链型号从I型到V型依次计算满足规划的最优解，判断钢桶、链环的倾斜角度及浮标的吃水深度是否满足题目要求。若吃水深度达到浮标吃水上限则采用下一个型号的锚链重复上述计算直到三个目标变量全部满足题目要求。最终得到了在给定锚链长度后，不同风速、水流速及海水深度下，给出所需最轻链条型号、重物球的最小重量等信息的系泊系统设计方案“选择程序流程”（图13）和测试结果（表格4）。为了能够广泛使用并大力推广问题三所得的“选择程序流程”，通过利用MATLAB软件成功设计出基于上述程序的人性化GUI图形交互界面（图14），在不了解整个系泊系统的情况下，输入现实环境的风速、水流速及海水深度也能快速求解得到满足条件的锚链型号以及相应的重物球质量，并给出了实际情况下的系泊系统的各单元位置坐标分布图，为用户的选择带来了极大便利。最后，对模型的优化提供了若干条改进思路及每种改进思路下的具体实现方法，并对模型的优劣性给出了客观的评价及分析。关键词：系泊系统设计；代数模型；粒子群算法；多目标非线性规划；GUI设计。2一、问题重述1.1问题背景近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径和高均为2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶的总质量为100kg。在系泊系统中，锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环。锚与锚链末端链接，要求链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳，钢桶的倾斜角度超过5度时，设备的工作效果较差。为了控制钢球桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链接处可悬挂重物球。系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。1.2问题提出问题1某型传输节点选用Ⅱ型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。问题2在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。问题3由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。布放点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。二、问题分析2.1问题一分析问题一作为整个问题的关键，需分析整个系泊系统在不同情况下全部变量间关系进而建立相关模型。我们从整个系统最终的稳定状态开始分析，由上而下先以上部钢管作为研究对象，利用理论力学的相关知识，建立稳定状态下的分力平衡方程和力矩平衡方程，进而解得钢管倾斜角及下段钢管的相互作用拉力。继续分析下段钢管，建立力与力矩的平衡方程，求解倾角和相互拉力，重复迭代计算可得海床底部末节锚链的倾斜角。利用上述计算得到的各单元倾斜角度，可以得出整个系统的垂悬高度，至此建立了适应本题的代数迭代模型，利用粒子群算法优化上部浮标的吃水深度，进而改变倾斜角及相互拉力，最终迭代计算到满足题目条件的吃水深度，最后计算了该吃水深下，不同海面风速时的钢桶和各节钢管3的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。2.2问题二分析问题二可以作为问题一的拓展，应用在问题一中建立的代数迭代-粒子群算法模型解得满足风力条件下的海床链环的倾斜角度大于最大倾角。由于所悬挂重物球的质量不是一个定值，故从悬挂重物球原本的重量1200kg开始增加，运用问题一的模型算法求解每增加一次时的吃水深和倾斜角，若不满足角度约束条件，则重物球质量增加1个单位，直到得到满足条件的重物球质量的下界。若继续增加重物球的质量，直至吃水深度等于2m时为止，这时的重物球质量即为满足条件时重物球质量的上界。由此，得到满足风力条件下的悬挂重物球的取值范围。2.3问题三分析问题三对模型中的变量做出了更加丰富多样化的推广。我们从现实情况出发，考虑锚链的体积讨论计算，加入流水动力以及每节锚链浮力，使模型更符合现实实际情况。在设计系泊系统时，给定锚链长度，需要考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计。根据现实环境，将三者作为模型的输入变量。同时，将钢桶、海床锚链倾斜角以及系泊系统垂悬高度作为目标变量，建立多目标非线性规划模型。在给定变量的情况下，利用粒子群算法依次计算满足题目要求的最优锚链型号及相应的最轻重物球悬挂质量，建立了系泊系统设计的锚链及重物球的“选择流程模型”。最后在已建立的模型基础上，设计出了更加便于推广和应用的“系泊系统设计方案”软件。三、模型假设1.浮标竖直漂浮在海面上不发生倾斜；2.海面上没有波浪不产生波生力；3.锚链在拉力作用下不伸长；4.锚链的体积很小可以忽略；5.重物球和锚链由铸钢材料构成；6.只有钢管、钢桶、锚链的侧面面积在水流速度法平面上产生投影；7.锚在海床上具有抓地力，不发生水平方向上的移动。四、符号说明𝐺𝑖表示浮标到钢桶第𝑖个零件的重力𝐺𝑖′表示钢桶到锚间第𝑖个锚链的重力𝐵𝑖表示浮标到钢桶第𝑖个零件的浮力𝐵𝑖′表示钢桶到锚间第𝑖个锚链的浮力𝜃𝑖表示浮标到钢桶第𝑖个零件与轴正向的夹角4𝜃𝑖′表示钢桶到锚间第𝑖个锚链与轴正向的夹角𝑇𝑥𝑖表示钢管到钢桶间第𝑖个零件对它上端第𝑖−1个零件在𝑥轴负向的拉力𝑇𝑦𝑖表示钢管到钢桶间第𝑖个零件对它上端第𝑖−1个零件在𝑦轴负向的拉力𝑇𝑥𝑖∗表示钢管到钢桶间第𝑖−1个零件对它下端第𝑖个零件在𝑥轴正向的拉力𝑇𝑦𝑖∗表示钢管到钢桶间第𝑖−1个零件对它下端第𝑖个零件在𝑦轴正向的拉力𝑇𝑥𝑖′表示钢桶到锚间第𝑖个锚链对它上端第𝑖−1个零件在𝑥轴负向的拉力𝑇𝑦𝑖′表示钢桶到锚间第𝑖个锚链对它上端第𝑖−1个零件在𝑦轴负向的拉力𝑇𝑥𝑖′′表示钢管到钢桶间第𝑖−1个零件对它下端第𝑖个锚链在𝑥轴正向的拉力𝑇𝑦𝑖′′表示钢管到钢桶间第𝑖−1个零件对它下端第𝑖个锚链在𝑦轴正向的拉力五、模型的建立与求解5.1问题一模型的建立与求解基于整个系统处于平衡状态来进行分析，首先将系泊系统的每一个零件都个体化，分析它们各自的受力情况，再依照系统零件之间的相互作用的关系，由浮标到锚体，连锁性、整体性的解决问题。5.1.1问题一模型建立图一是整个传输节点示意图，是具有典型的单点系泊系统特性的海洋单点浮标系统。我们将它分为四部分，在整个系统处于平衡状态下，首先采用集中质量法统一考虑单一零件的重力与浮力；其次，为便于后期理论分析和粒子群算法的编写，将零部件衔接处复杂的相互作用通过与水平方向和垂直方向的夹角，一致转化为相应方向上的力；最后，以每一个零件衔接点为取距中心，在详细受力分析的基础上建立力矩平衡方程，由此，采用迭代方法，计算出每一个零件包括钢管、钢桶和锚链所处的位置坐标以及与水平面的夹角。以下，就系泊系统中各部件的钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域分别进行模型建立与求解。5图1整个传输节点示意图1、浮标受力分析根据浮标所处的外部环境分析它的受力情况。首先，已知浮标自身重力大小为𝐺0，用𝑣和ℎ（ℎ≤2𝑚）分别表示浮标所处的海面风速以及浮标的吃水深度。浮标受力分析过程如图2，定义𝑦轴负方向为浮标重力方向，同时不失一般性，假设风向与𝑥轴正向相吻合，所受风力值为𝑇𝑥0=0.625×𝑆𝑣2，此时，浮标所受浮力恰好沿𝑦轴的正方向，并且可以计算出浮力大小𝐵0=𝜌水𝑔𝑉0=𝜌水𝑔∫𝐴0(ℎ)𝑑ℎ，其中𝐴0=𝜋𝑑24⁄是浮标底面积。因此可得如下等式；{𝐺0=𝑚0𝑔𝑇𝑥0=0.625×𝑆𝑣2𝐵0=𝜌水𝑔𝑉0=𝜌水𝑔∫𝐴0(ℎ)𝑑ℎ𝐴0=𝜋𝑑24（式1.1）同样如图二所示，钢管一链接浮标底部中心，并且给予浮标沿钢管自身方向的拉力，该力可作为𝑥轴负方向大小为𝑇𝑥1的力，和𝑦轴负方向大小为𝑇𝑦1的力合成作用力。图2浮标的受力分析图通过以上分析，根据受力平衡可知：𝐵0𝐹风=𝑇𝑥0𝐺0𝜃1𝑇𝑥1𝑇𝑦1𝑥y6{𝑇𝑦1+𝐺0=𝐵0𝑇𝑥1=𝑇𝑥0(式1.2)因此，联立式1.1和式1.2即可计算出𝑇𝑥1和𝑇𝑦1的确切数值。2、钢管间受力分析由于钢管的刚性和它们之间的链接方式，针对某钢管𝑖（1≤𝑖≤4）而言，除了受到重力和浮力之外，还受到了分别来自上接钢管和下接钢管对它的拉力。假设钢管𝑖的重力和浮力大小分别为𝐺𝑖和𝐵𝑖。（1）我们从钢管1开始，逐一分析每根钢管的受力情况。当𝑖=1时，由于钢管1受到了来自浮标给它的拉力，如图3，可将该力分解为沿𝑥轴正向大小为𝑇𝑥1∗的力，与沿𝑦轴正向大小为𝑇𝑦1∗的力。同时钢管1还受到了钢管2对它的拉力，而该力同样可分解为具有𝑥轴负方向和𝑦轴负方向的力，大小分别为𝑇𝑥2和𝑇𝑦2。图3钢管1的受力分析图显然，根据相互作用力的性质，可知：𝑇𝑥1=𝑇𝑥1∗，𝑇𝑦1=𝑇𝑦1∗（式1.3）因为钢管1同样处于静止状态，根据受力平衡可知：{𝑇𝑦2+𝐺1=𝑇𝑦1+𝐵1𝑇