中考专题：代数综合问题的解决方法

第1页共8页中考专题：代数综合问题的思考方法【问题概述】初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键．在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．【方法点拨】(1)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础；(2)认识综合题的结构是解综合题的前提；(3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键；(4)建立思维程序是解综合题的核心．*审题(读题、断句、找关键)；*先宏观(题型、知识块、方法)；后微观(具体条件，具体定理、公式)*由已知，想可知(联想知识)；由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合；*观察——挖掘题目结构特征；联想——联系相关知识网络；突破——抓往关键实现突破。(5)准确计算，严密推理是解综合题的保证．【典型例题】类型一、方程与不等式综合（方程、不等式思想解决问题）1．已知方程组2323,3421.xyaxya的解满足0,0.xy求a的取值范围．【思路点拨】本题考查了含字母系数的方程解法及利用不等式组求字母的取值范围问题．【答案与解析】解：23233421xyaxya①②①×3－②×2得：y＝13a－4①×4－②×3得：x＝18a－5由题意令x＞0，y＞0得：1850,1340.aa∴541813a.【总结升华】在解含字母系数的方程时要分清未知数和字母常数，这样才能更准确地对方程进行求解．【过关测试】线上同步辅导-不等式与不等式组-B7、B8；海淀一模22（2）、26（2）第2页共8页2．m为何值时，222(2)21xmxmm是完全平方式？【思路点拨】本题直观考查完全平方式的特征，但是因为代数式的定性衍生出方程，不定性衍生出函数，所以完全平方式形式在方程和函数中又被赋予了独有的含义．因此，本题也可以看作是间接考查了对完全平方式不同角度的理解．【答案与解析】解：解法1：待定系数法设原式＝[x-(m-2)]2＝x2-2(m-2)x+m2-4m+4所以m2+2m+l＝m2-4m+4，12m；解法2：配方法（代数式运算、因式分解）原式＝22222(2)(2)(2)21xmxmmmm．＝[x-(m-2)]2+6m-3，6m-3＝0，12m；解法3：判别式法（一元二次方程）因为是完全平方式，所以方程222(2)210xmxmm有两等根，△＝[-2(m-2)]2－4(m2+2m+1)＝0，12m；解法4：函数思想方法因为是完全平方式，所以令222(2)21yxmxmm，所以抛物线顶点在x轴上，2404acba，224(21)4(2)04mmm，630m，12m．【总结升华】对于代数式，可以考虑其为特殊值，将其看作方程，从方程的角度解决问题；也可以考虑其值不定，从函数的角度解决问题．解决问题的角度不同，但结果是相同的．类型二、方程与函数综合3．请你根据下图中图象所提供的信息，解答下面问题：(1)分别写出1l，2l中变量y随x变化而变化的情况；(2)写出一个二元一次方程组，使它满足图象中的条件．【思路点拨】本题是一次函数与二元一次方程组的综合题．本题考查了一次函数的性质，两个一次函数图象的交点与方程组的解的关系．第3页共8页【答案与解析】解：(1)1:ly的值随x的增大而增大；2:ly的值随x的增大而减小．(2)设直线1l，2l的函数表达式分别为11yaxb，22yaxb，由题意得11111abb，2222130abab．解得：1121ab，221232ab．∴直线1l，2l的函数表达式分别为21yx，1322yx．∴所求的方程组为211322yxyx．【总结升华】利用函数及图象解决方程组的解的问题，体现了数形结合的思想．【过关测试】线上中考专题-压轴题专题（03）-代数综合题（一）第一题；海淀一模25（3）举一反三：【变式】已知：如图，平行于x轴的直线y＝a(a≠0)与函数y＝x和函数xy1的图象分别交于点A和点B，又有定点P(2，0)．(1)若a＞0，且91tanPOB，求线段AB的长；(2)在过A，B两点且顶点在直线y＝x上的抛物线中，已知线段38AB，且在它的对称轴左边时，y随着x的增大而增大，求满足条件的抛物线的解析式；(3)已知经过A，B，P三点的抛物线，平移后能得到259xy的图象，求点P到直线AB的距离．【答案】解：（1）设第一象限内的点B（m,n），则1tan9nPOBm，得m=9n，又点B在函数1yx的图象上，得1nm，所以m=3（－3舍去），点B为1(3,)3，第4页共8页而AB∥x轴，所以点A11(,)33，所以18333AB．（2）由条件可知所求抛物线开口向下，设点A（a,a），B（1,aa），则183ABaa,所以03832aa，解得313aa或.当a=－3时，点A（―3，―3），B1(,3)3，因为顶点在y=x上，所以顶点为55(,)33，所以可设二次函数为255()33ykx，点A代入，解得34k,所以所求函数解析式为2355()433yx.同理，当13a时，所求函数解析式为2355()433yx；（3）设A（a,a），B（1,aa），由条件可知抛物线的对称轴为122axa.设所求二次函数解析式为：91(2)()25yxxaa.点A(a,a)代入，解得31a，1362a，所以点P到直线AB的距离为3或613[4．已知关于x的方程03)13(2xmmx.（1）求证:不论m为任何实数,此方程总有实数根；（2）若抛物线2313ymxmx与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式；（3）若点P),(11yx与Q),(21ynx在（2）中抛物线上(点P、Q不重合),且y1=y2,求代数式81651242121nnnxx的值.【思路点拨】（1）分别讨论当m=0和m≠0的两种情况，分别对一元一次方程和一元二次方程的根进行判断；（2）令y=0，则mx2+（3m+1）x+3=0，求出两根，再根据抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，求出m的值；（3）点P（x1，y1）与Q（x1+n，y2）在抛物线上，求出y1和y2，y1和y2相等，求出n（2x1+n+4）=0，然后整体代入求出代数式的值．【答案与解析】解：（1）当m=0时，原方程化为x+3=0，此时方程有实数根x=-3．当m≠0时，原方程为一元二次方程．∵△=（3m+1）2-12m=9m2-6m+1=（3m-1）2≥0．第5页共8页∴此时方程有两个实数根．综上，不论m为任何实数时，方程mx2+（3m+1）x+3=0总有实数根．（2）∵令y=0，则mx2+（3m+1）x+3=0．解得x1=-3，x2=1m．∵抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，∴m=1．∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3．（3）∵点P（x1，y1）与Q（x1+n，y2）在抛物线上，∴y1=x12+4x1+3，y2=(x1+n)2+4(x1+n)+3．∵y1=y2，∴x12+4x1+3=(x1+n)2+4(x1+n)+3．可得2x1n+n2+4n=0．即n（2x1+n+4）=0．∵点P，Q不重合，∴n≠0．∴2x1=-n-4．∴421x+12x1n+5n2+16n+8=(2x1)2+2x1•6n+5n2+16n+8=（n+4）2+6n（-n-4）+5n2+16n+8=24．【总结升华】本题主要考查二次函数的综合题的知识，解答本题的关键熟练掌握方程与函数之间的联系，此题难度不大，第三问需要整体代入．举一反三：【变式】已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若x1、x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝22，求m的值和此时方程的两根．【答案】解：（1）证明：由关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0得△=（m+3）2－4（m+1）=（m+1）2+4，∵无论m取何值，（m+1）2＋4恒大于0，∴原方程总有两个不相等的实数根.（2）∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=－（m+3），x1•x2=m+1.∵|x1－x2|＝22，∴（x1－x2）2=8，即（x1＋x2）2－4x1x2=8.∴[－（m+3）]2－4（m+1）=8，即m2＋2m－3=0.第6页共8页解得：m1=－3，m2=1.当m=－3时，原方程化为：x2－2=0，解得：x1=2，x2=－2.当m=1时，原方程化为：x2＋4x＋2=0，解得：x1=－2+2，x2=－2－2.类型三、以代数为主的综合题5．如图所示，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1，0)，直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为(3，4)，B点在y轴上．(1)求m的值及这个二次函数的解析式；(2)P为线段AB上的一个动点(点P与A，B不重合)，过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】本题是一道函数综合题，考查二次函数、一次函数解析式的求法，函数关系式的建立．【答案与解析】解：(1)∵点A(3，4)在直线y＝x+m上，∴4＝3+m．∴m＝1．设所求二次函数的关系式为2(1)yax．∵点A(3，4)在二次函数2(1)yax的图象上，∴4＝a(3-1)2．∴a＝1．∴所求二次函数的关系式为2(1)yx．即221yxx．(2)设P，E两点的纵坐标分别为py和Ey．∴||()PEPEPEhyyyy＝(x+1)－(x2－2x+1)＝－x2+3x．即23(03)hxxx．(3)存在．要使四边形DCEP是平行四边形，必有PE＝DC．∵点D在直线y＝x+1上，∴点D的坐标为(1，2)，∴232xx．即2320xx．第7页共8页解之，得12x，21x(2x不合题意，舍去)．∴当P点的坐标为(2，3)时，四边形DCEP是平行四边形．【总结升华】若两点在平行于x轴或平行于y轴的直线上，则这两点间的距离可用它们的横坐标或纵坐标的差的绝对值来表示．（海淀一模26（2）（3））举一反三：【变式】如图，已知二次函数24yaxxc的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．【答案】解：（1）根据题意，得.0405,)1(4)1(022caca解得.5,1ca∴二次函数的表达式为542xxy．（2）令y=0，得二次函数542xxy的图象与x轴的另一个交点坐标C（5,0）.由于P是对称轴2x上一点，连结AB，由于2622OBOAAB，要使△ABP的周长最小，只要PBPA最小.由于点A与点C关于对称轴2x对称，连结BC交对称轴于点P，则PBPA=BP+PC=BC，根据两点之间，线段最短，可得PBPA的最小值为BC.因而BC与对称轴2x的交点P就是所求的点.设直线BC的解析式为bkxy，根据题