初中数学几个常用模型

初中数学几个数学模型模型１、l:r=3600:n0①圆锥母线长5cm，底面半径长3cm，那么它的侧面展开图的圆心角是216。②劳技课上，王芳制作了一个圆锥形纸帽，其尺寸如图．则将这个纸帽展开成扇形时的圆心角等于（C）A．45°Ｂ．60°C．90°Ｄ．120°③要制作一个圆锥形的模型，要求底面半径为２cm，母线长为４cm，在一个边长为8cm的正方形纸板上，能否裁剪制作一个这种模型（侧面和底面要完整，不能拼凑）（C）（Ａ）一个也不能做（Ｂ）能做一个（Ｃ）可做二个（Ｄ）可做二个以上4、（2004河北T7）在正方形铁皮上剪下个圆形和扇形,使之恰好围成如图所示的圆锥模型.设圆的半径为r,扇形的半径为R,则圆半径与扇形半径之间的关系是（D）A、2r=RB、Rr49C、Rr3D、Rr4模型2、角平分线+平行=等腰三角形如图，ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，当∠A的位置及大小变化时，线段EF和BE+CF的大小关系（B）.（A）EFBE+CF（B）EF=BE+CF（C）EFBE+CF（D）不能确定模型3、一副三角板①在△ABC中，a=1,b=3,∠A=300，则∠B=___60___度。②两个全等的含300,600角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．（等腰直角三角形）③（2006邵阳T8.）将一副三角板按图（一）叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于（1：3）④（2005年浙江绍兴T18．）（以下两小题选做一题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分为3分。若两小题都做，以第（1）小题计分）选做第________小题，答案为________（1）将一副三角板如图叠放，则左右阴影部分面积1S:2S之比等于________（2）将一副三角板如图放置，则上下两块三角板面积1A:2A之比等于________⑤（2006年武汉市T24．10分）已知：将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图①摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点。将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H。（1）当α＝30°时(如图②)，求证：AG=DH；（2）当α＝60°时(如图③)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；（3）当0°＜α＜90°时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图④说明理由。⑥一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含300的直角三角形组成,利用这副三角板构成一个含有150角的方法较多,请你画出其中两种不同构成的示意图,并在图上标出必要的标注,不写作法.⑦将一副三角尺如图摆放一起,连接AD,则∠ADB的余切值为.⑧如图，ABC中，90ACB，30B，1AC，过点C作ABCD1于1D，AGDHMEFCBN第24题图图③EFMNDABGH图④C45°60°AEDBCFAGDHMEFCB(N)第24题图图①图②过1D作BCDD21于2D，过2D作ABDD32于3D，这样继续作下去，……，线段1nnDD能等于（n为正整数）(A)n23(B)123n(C)n23(D)123n⑨已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：（1）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动,两直角边分别与边OA，OB交于点C，D..①在图甲中，证明：PC=PD；②在图乙中，点G是CD与OP的交点，且PG=23PD，求△POD与△PDG的面积之比.（2）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，E，使以P，D，E为顶点的三角形与△OCD相似，在图丙中作出图形，试求OP的长.⑩如图，客轮沿折线A－B－C从A出发经B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮。两船同时起航，并同时到达折线A－B－C的某点E处，已知AB＝BC＝200海里，∠ABC＝90°，客轮速度是货轮速度的2倍。（1）选择：两船相遇之处E点（）。A、在线段AB上B、在线段BC上C、可以在线段AB上，也可以在线段BC上（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里?（结果保留根号）。DCBA⒒将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，ABOM图丙ABCOPMD图乙图甲DMPOCBA（第⑧题图）CACB1D2D4D6D5D3D直角的另一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。设A、P两点间的距离为x，（1）当点Q在CD上时，线段PQ、PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察到的结论。（2）当点Q在CD上时，求四边形PBCQ的面积y与x的函数解析式，并求出X的取值范围；（3）当点P在线段AC上滑动时，三角形PCQ是否能为等腰三角形？如果可能，指出所有可能使三角形PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的X的值；如果不能说明理由（以下三个图的形状，大小相同，以供操与解题时备用）解：（1）PQ=PB证明：连接BD交AC于点O，连接PD，如图（1）四边形ABCD是正方形AC垂直平分BD，045OCDODCPB=PD，090421图(1)PQPBPQPDPQDPDQOCDPQDODCPDQPDPB0004533452232319043……………………………..4分（2）连接BD交AC于点O，作QEAC于点E（如图2）)21(121)2)(2(21)(212290,,20xxyxxQEBOPCSSSxAPOAOPQEQEPPOBQEPPOBQPEPBOPQPBPCQPBCPBCQ………………………………………………4分（3）可能当P与A重合时，Q与D重合，有PQ=QC，X=0当PC=CQ时，且Q在DC的延长线上时，（图形3），连接BD交AC于点O，连接BQ，则CQ=PC=2222)2(1,2xCQBCBQx由（1）证得，PB=PQ，AO143BCDPQOABCDPQE222)2(121)22(xBQPB由1)22()22()2(121222222xxxOPBOPB…………….3分12.如图，操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与边DC或射线DC相交于点Q。当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；②当点Q在边CD运动上时，设四边形PBCQ的面积为S时，试用含有x的代数式表示S：③当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由。①过点P作PEAB交AB于E,过点P作PFCD交BC于F-----1分PE=AE,BE=1-AE,PF=1-PE=1-AE∴BE=PF------2分090EPBFPQ090EPBEBP∴EBPFPQ------3分∴PEBPFQ------4分∴PB=PQ--------5分设PM=x,BM=1-x,QC=1-x-x=1-2x21122111(21)22PBCPCQSSSBCPMCQPFxxxx-----------8分③有可能成为等腰三角形，求出x值-------11分13．（12分）用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图13—1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图13—2），OBACDQP你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.（1）BE=CF.……2分证明：在△ABE和△ACF中，∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°，∴∠BAE=∠CAF.∵AB=AC，∠B=∠ACF=60°，∴△ABE≌△ACF（ASA）.……4分∴BE=CF.……6分（2）BE=CF仍然成立.根据三角形全等的判定公理，同样可以证明△ABE和△ACF全等，BE和CF是它们的对应边.所以BE=CF仍然成立.………………………………10分27．（8分）等腰△ABC，AB=AC=８，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．（1）如图1，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．问△BPE与△CFP是否相似；（2）操作：将三角板绕点P旋转到图2情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．①探究１：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）②探究２：连结EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．（1）如图，由题意得∠FPC+∠BPE=150,∠BEP+∠BPE=150∴∠BEP=∠FPC又∵∠B=∠C=30∴△BPE～△CFP…………………2分（2）①△BPE与△CFP还相似……………………………………3分②△BPE与△PFE相似，……………………………………4分由△BPE与△CFP相似，得FPPECPBE，又∵BP=CP∴FPPEBPBE,即FPBPPEBE，又∵∠B=∠EPF=30∴△BPE～△PFE……………6分(1)PFECBA(2)ABCEFP③如图，∵△BPE～△PFE，∴∠PEB=∠PEF作PH⊥BE于点H,PG⊥EG于点G,则PH=PG………7分在Rt△BPH中,PBHBPPHsin=32∴S=m3………………8分模型4知二求四在上图中隐含有以下重要性质：⑴两对相等的锐角；∠A=∠BCD,∠B=∠ACD⑵三对相似三角形:⊿ACD∽⊿CBD∽⊿ABC,AC2=AD·ABBC2=BD·ABCD2=BD·AD⑶边之比的推广⑷面积:AC·BC=AB·CD⑸勾股定理⑹AB是ΔABC外接圆的直径①②③④⑤∽模型5增长率①②③④⑤⑧增长率与百分数问题iii某商品降价20%后出售，一段时间后恢复原价，则应在售价的基础上提高的百分数是（）A、20%B、25%C、30%D、35%某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，则平均每次降价的百分率为（）A、8.5%B、9%C、9.5%D、10%iii模型6垂径定理①如图：一个残破的圆钢轮，为了再铸做一个同样大小的圆轮，请用圆规、直尺作出它的圆心（不用写作法，保留作图痕迹）。GHPFECBA(2)②③在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油面宽AB=8m，那么油的最大深度是______m.模型7配方法用配方法解关于x2+px+q=0时，此方程可变为（A）A．44)2(22qppxB．44)2(22pqpxC．44)2(22qppxD．44)2(22pqpx模型8三个非负量初中阶段学过三个非负量：平方数，绝对值，算术平方根。它们具有以下性质：①非负性；②n个非负量之和仍为非负量；③若n个非负量之和为0，则每个非负量必须同时为0；④当a=0时，、、都有最小值，相反都有最大值。①如图所示，化简baba2)(（）A、a2B、b2C、－b2D