专题04新定义概念问题攻破15个特色专题之备战2018中考数学高端精品解析

专题04新定义概念问题【考点综述评价】所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，其特点是源于初中数学内容，但又是学生没有遇到的新信息，它可以是新的概念、新的运算、新的符号、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序、新的情境等等．要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．“新定义”型问题成为近年来中考数学试题的新亮点.解题关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．【考点分类总结】考点1：定义新数【典型例题】（2017枣庄）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=pq．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=34．（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）15，26，37，48，59；（3）34．【分析】（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；学，科、网（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，由“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．【方法归纳】对新数的解析蕴含在对数量关系的描述中，充分理解，结合相应知识，才能顺利解答．【变式训练】（2017重庆）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算：F（243），F（617）；（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=()()FsFt，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．【答案】（1）F（243）=9，F（617）=14；（2）54．【分析】（1）根据F（n）的定义式，分别将n=243和n=617代入F（n）中，即可求出结论；（2）由s=100x+32、t=150+y结合F（s）+F（t）=18，即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根据“相异数”的定义结合F（n）的定义式，即可求出F（s）、F（t）的值，将其代入k=()()FsFt中，找出最大值即可．【解答】（1）F（243）=（423+342+234）÷111=9；F（617）=（167+716+671）÷111=14．（2）∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F考点2：定义新运算【典型例题】（2017山东省日照市）阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：0022AxByCdAB．例如：求点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，∴点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为224030343d=35．根据以上材料，解决下列问题：问题1：点P1（3，4）到直线3544yx的距离为；问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线34yxb相切，求实数b的值；问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S△ABP的最大值和最小值．【答案】（1）4；（2）b=54或154；（3）S△ABP的最大值=4，S△ABP的最小值=2．【分析】（1）根据点到直线的距离公式就是即可；（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．（3）求出圆心C到直线3x+4y+5=0的距离，求出⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．【方法归纳】理解新运算法则是解题的关键．【变式训练】（2017四川省乐山市）对于函数mnxxy，我们定义11mnmxnxy（nm、为常数）．例如24xxy，则xxy243．x.k-w已知：xmxmxy223131．（1）若方程0y有两个相等实数根，则m的值为；（2）若方程41my有两个正数根，则m的取值范围为．【答案】（1）12；（2）m≤34且m≠12．【分析】根据新定义得到y′=222(1)xmxm．（1）由判别式等于0，解方程即可；（2）根据根与系数的关系列不等式组即可得到结论．考点3：定义新概念【典型例题】（2017内蒙古通辽市）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下的一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，如图1，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD为1阶准菱形．（1）猜想与计算：邻边长分别为3和5的平行四边形是阶准菱形；已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=8b+r，b=5r，请写出▱ABCD是阶准菱形．（2）操作与推理：小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把▱ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F处，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是菱形．【答案】（1）3，12；（2）证明见解析．【分析】（1）利用平行四边形准菱形的意义即可得出结论；（2）先判断出∠AEB=∠ABE，进而判断出AE=BF，即可得出结论．（2）由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BF，∴∠AEB=∠FBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，∴AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴四边形ABFE是菱形．【方法归纳】解题关键是理解新定义，再结合已学知识解答．【变式训练】（2017北京市）在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．（1）当⊙O的半径为2时，①在点P1（12，0），P2（12，32），P3（52，0）中，⊙O的关联点是．②点P在直线y=﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．【答案】（1）①P2，P3；②﹣322≤x≤﹣22或22≤x≤322；（2）﹣2≤xC≤12或2≤xC≤22．【分析】（1）①根据点P1（12，0），P2（12，32），P3（52，0），求得OP1=12，OP2=1，OP3=52，于是得到结论；学-科=网②根据定义分析，可得当最小y=﹣x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，设P（x，﹣x），根据两点间的距离公式即可得到结论；（2根据已知条件得到A（1，0），B（0，1），如图1，当圆过点A时，得到C（﹣2，0），如图2，当直线AB与小圆相切时，切点为D，得到C（12，0），于是得到结论；如图3，当圆过点A，则AC=1，得到C（2，0），如图4，当圆过点B，连接BC，根据勾股定理得到C（22，0），于是得到结论．【解答】（1）①∵点P1（12，0），P2（12，32），P3（52，0），∴OP1=12，OP2=1，OP3=52，∴P1与⊙O的最小距离为32，P2与⊙O的最小距离为1，OP3与⊙O的最小距离为12，∴⊙O，⊙O的关联点是P2，P3；（2）∵直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B，∴A（1，0），B（0，1），如图1，当圆过点A时，此时，CA=3，∴C（﹣2，0）；如图2，当直线AB与小圆相切时，切点为D，∴CD=1，∵直线AB的解析式为y=﹣x+1，∴直线AB与x轴的夹角=45°，∴AC=2，∴C（12，0），∴圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤xC≤12；综上所述：圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤xC≤12或2≤xC≤22．考点4：定义新法则【典型例题】（2017上海市）我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6=．【答案】32．【分析】如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．易知BE是正六边形最长的对角线，EC是正六边形的最短的对角线，只要证明△BEC是直角三角形即可解决问题．【解答】如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．【方法归纳】正确理解新定义的图形，寻找形与数的对应关系.【变式训练】（2017吉林省长春市）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它的相关函数为1010xxyxx．（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；（2）已知二次函数2142yxx．x..k+-w①当点B（m，32）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；②当﹣3≤x≤3时，求函数2142yxx的相关函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（﹣12，1），（92，1}），连结MN．直接写出线段MN与二次函数24yxxn的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．【答案】（1）1；（2）①m=2﹣5或m=2+2或m=2﹣2；②最大值为432，最小值为﹣12；（3）﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤54．【分析】（1）函数y=ax﹣3的相关函数为3(0)3(0)axxyaxx，将然后将点A（﹣5，8）代入y=﹣ax+3求解即可；（2）二次函数2142yxx的相关函数为2214(0)214(0)2xxxyxxx，①分为m＜0和m≥0两种情况将点B的坐标代入对应的关系式求解即可；②当﹣3≤x＜0时，2142yxx，然后可此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数2142yxx，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当﹣3≤x≤3时的最大值和最小值；（3）首先确定出二次函数24yxxn的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围．【解答】（1）函数y=ax﹣3的相关函数为3(0)3(0)axxyaxx，将点A（﹣5，8）代入y=﹣ax+3得：5a+3=8，当m≥0时，将B（m，32）代入2142yxx得：213422mm，解得：m=2+2或m=2﹣2．综上所述：m=2﹣5或m=2+2或m=2﹣2．②当﹣