史上最全直线与直线方程题型归纳

-1-11xxkyy——bkxy121121xxxxyyyy————2121yyxx，1byax直线与直线方程一、知识梳理1.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.倾斜角的取值范围是0°≤＜180°.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示.倾斜角是90°的直线没有斜率.2.斜率公式：经过两点),(),,(222111yxPyxP的直线的斜率公式：)(211212xxxxyyk3.直线方程的五种形式直线形式直线方程局限性选择条件点斜式不能表示与x轴垂直的直线①已知斜率②已知一点斜截式不能表示与x轴垂直的直线①已知斜率②已知在y轴上的截距两点式不能表示与x轴、y轴垂直的直线①已知两个定点②已知两个截距截距式（ba、分别为直线在x轴和y轴上的截距）不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线已知两个截距（截距可以为负）一般式0CByAx0不全为、BA表示所有的直线求直线方程的结果均可化为一般式方程7．斜率存在时两直线的平行：21//ll1k=2k且21bb.8．斜率存在时两直线的垂直：21ll121kk．9．特殊情况下的两直线平行与垂直:当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．-2-二、典例精析题型一：倾斜角与斜率【例1】下列说法正确的个数是（）①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②倾斜角为030的直线有且仅有一条；③若直线的斜率为tan，则倾斜角为；④如果两直线平行，则它们的斜率相等A.0个B.1个C.2个D.3个【练习】如果0AC且0BC，那么直线0CByAx不通过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【例2】如图，直线l经过二、三、四象限，l的倾斜角为α，斜率为k，则()A．ksinα0B．kcosα0C．ksinα≤0D．kcosα≤0【练习】图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()．A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2【例3】经过点2,1P作直线l，若直线l与连接10—，A，1,4B的线段总有公共点，求直线l的倾斜角与斜率k的取值范围。【练习】已知两点4,3-A，2,3B，过点1-2，P的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围。【例4】若直线l的方程为2tanxy，则（）A.一定是直线l的倾斜角B.一定不是直线l的倾斜角C.—π一定是直线l的倾斜角D.不一定是直线l的倾斜角【练习】设直线0cbyax的倾斜角为，且0cossin，则ba、满足（）A.1baB.1ba—C.0baD.0ba—-3-题型二：斜率的应用【例5】若点4,0,0,2,2CaBA，共线则a的值为_________________.【练习】若三点bCaBA,0,0,2,2，0ab共线，则ba11的值为_____________.【例6】已知实数yx、满足82yx，当32x时，求xy的最大值为_______，最小值为_________________【练习】1、若45ln,23ln,12lncba，则（）A.cbaB.abcC.bacD.cab2、求函数1212xxy—的值域.题型三：两直线位置关系的判断已知，两直线21,ll斜率存在且分别为21,kk，若两直线平行或重合则有21__________kk，若两直线垂直则有21__________kk.【例7】已知直线1l的倾斜角为60，直线2l经过点3,1，A，322—，—B，判断直线1l与2l的位置关系.【练习】1、已知点3,2P，5,4Q,aA，—1，2,2aB当a为何值时，直线PQ与直线AB相互垂直？2、已知直线1m经过点3,23—，，aBaA，直线2m经过点5,6,3NaM，，若21mm，求a的值.-4-【例8】在平面直角坐标系中，对Ra，直线012:012:21—和—yaxlayxl（）.A互相平行.B互相垂直.C关于原点对称.D关于直线xy—对称【练习】直线07425084123——与—yaxayaxa垂直，求a的值.题型四：求直线方程（一）点斜式【例9】根据条件写出下列直线的方程：（1）经过点A(1,2),斜率为2；（2）经过点B（—1,4），倾斜角为135；（3）经过点C（4,2），倾斜角为90；（4）经过点D（—3，—2），且与x轴平行.已知直线过一点，可设点斜式【练习】已知ABC中，0,26,241—，，—，CBA，BCAD于D,求AD的直线方程.（二）斜截式【例10】根据条件写出下列直线的方程：（1）斜率为2，在y轴上的截距是5；（2）倾斜角为150，在y轴的截距为—2；（3）倾斜角为45，在y轴上的截距为0.已知斜率时，可设斜截式：【练习】求斜率为43，且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线l的方程.-5-（三）截距式【例12】根据条件写出下列直线的方程：（1)在x轴上的截距为—3，在y轴上的截距为2；（2)在x轴上的截距为1，在y轴上的截距为—4；与截距相关的问题，可设截距式【练习】直线l过点3,4P，且在轴轴、yx上的截距之比为1:2，求直线l的方程.（四）两点式【例11】求经过下列两点的直线方程：（1)A(2,5),B(4,3)(2)A(2,5),B(4,5)(3)A(2,5),B(2,7)适时应用“两点确定一条直线”【练习】过点1,0M作直线l，使他被两条已知直线04:103:21yxlyxl和—所截得的线段AB被点M平分.求直线l的方程.【例12】1、已知点A（3,3）和直线l：2543—xy.求：（1）经过点A且与直线l平行的直线方程；（2）经过点A且与直线l垂直的直线方程.2、已知三角形三个顶点的坐标分别为A（—1,0），B（2,0），C（2,3），试求AB边上的高的直线方程.(思考：如果求AB边上的中线、角平分线呢？）【例13】已知直线l的斜率为2，且l和两坐标轴围成面积为4的三角形，则直线l的方程为-6-________________．【练习】已知，直线l经过点（—5，—4），且与两坐标轴所围成的三角形面积为5，则直线l的方程为________________【例14】直线l不经过第三象限，其斜率为k，在y轴上的截距为b（0b），则（）A.00bk且B.00bk且C.00bk且D.00bk且【练习】两条直线y=ax+b与y=bx+a在同一直角坐标系中的图象位置可能是（）A．B．C．D．三、课后练习一选择题：1、若直线l：y=kx-3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（）A．[6π，3π)B．(6π，2π)C．(3π，2π)D．[6π，2π]2、已知直线l1：（k-3）x+（5-k）y+1=0与l2：2（k-3）x-2y+3=0垂直，则K的值是（）A．1或3B．1或5C．1或4D．1或23、直线y=3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为（）A．3131xy—B．131xy—C．33—xyD．13xy二填空题：1、在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是_________________（写出所有正确命题的编号）．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线．2、若点21—，P在直线l上的射影为1,1—Q，则直线l的方程为__________________.3、在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)=x2的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________________.三解答题：1、设直线1l：11xky，2l：12—xky，其中实数21,kk满足0221kk，证明1l与2l相交.2、已知直线方程为bkxy，当13,8,4,3—时—yx，求此直线的方程.-7-3、当20a时，直线1l：422:422222ayaxlayax与——和两坐标轴围成一个四边形，问a取何值时，这个四边形的面积最小?并求出最小面积.