高中数学必修2-直线、平面垂直的判定及其性质

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------１教师姓名学生姓名上课时间学科数学年级高一教材版本人教版内容直线、平面垂直的判定及其性质教学重点难点重点：掌握判定直线和平面垂直的方法难点：会求直线与平面的夹角和二面角知识要点1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一直线的两平面平行．2．斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的性质如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．三类证法(1)证明线线垂直的方法①定义：两条直线所成的角为90°；②平面几何中证明线线垂直的方法；③线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；④线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------２(2)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；②判定定理1：m、n⊂α，m∩n＝Al⊥m，l⊥n⇒l⊥α；③判定定理2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；④面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.(3)证明面面垂直的方法①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；②判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.考向一直线与平面垂直的判定与性质【例1】►(2011·天津改编)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD.证明：AD⊥平面PAC.[审题视点]只需证AD⊥AC，再利用线面垂直的判定定理即可．证明∵∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1.∴∠DAC＝90°，即AD⊥AC，又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PO⊥AD，而AC∩PO＝O，∴AD⊥平面PAC.(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a∥b，a⊥α⇒b⊥α；③α∥β，a⊥α⇒a⊥β；④面面垂直的性质．(2)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．【训练1】如图，已知BD⊥平面ABC，MC=12BD，AC＝BC，N是棱AB的中点．---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------３求证：CN⊥AD.考向二平面与平面垂直的判定与性质【例2】►如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45.M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD.[审题视点]证明BD⊥平面PAD，根据已知平面PAD⊥平面ABCD，只要证明BD⊥AD即可．证明在△ABD中，由于AD＝4，BD＝8，AB＝45，所以AD2＋BD2＝AB2.故AD⊥BD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面PAD.又BD⊂平面MBD，故平面MBD⊥平面PAD.面面垂直的关键是线面垂直，线面垂直的证明方法主要有：判定定理法、平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)、面面垂直性质定理法，本题就是用的面面垂直性质定理法，这种方法是证明线面垂直、作线面角、二面角的一种核心方法．【训练2】如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.考向三平行与垂直关系的综合应用【例3】►如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证：---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------４(1)直线EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.[审题视点]第(1)问需证明EF∥AD；第(2)问需证明BD⊥平面EFC.证明(1)在△ABD中，因为E、F分别是AB、BD的中点，所以EF∥AD.又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，所以直线EF∥平面ACD.(2)在△ABD中，因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD.在△BCD中，因为CD＝CB，F为BD的中点，所以CF⊥BD.因为EF⊂平面EFC，CF⊂平面EFC，EF与CF交于点F，所以BD⊥平面EFC.又因为BD⊂平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD.解答立体几何综合题时，要学会识图、用图与作图．图在解题中起着非常重要的作用，空间平行、垂直关系的证明，都与几何体的结构特征相结合，准确识图，灵活利用几何体的结构特征找出平面图形中的线线的平行与垂直关系是证明的关键．【训练3】如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.考向四线面角---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------５【例4】►如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；(2)当PD＝2AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．[审题视点](1)转化为证明AC⊥平面PDB；(2)AE与平面PDB所成的角即为AE与它在平面PDB上的射影所成的角．(1)证明∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC.又PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PDB.又AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.(2)解设AC∩BD＝O，连接OE.由(1)知，AC⊥平面PDB于点O，∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角．∵点O、E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，且OE＝12PD.又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，∴OE⊥AO.在Rt△AOE中，OE＝12PD＝22AB＝AO，∴∠AEO＝45°.即AE与平面PDB所成的角为45°.求直线与平面所成的角，一般分为两大步：(1)找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；(2)计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．【训练4】如图，已知DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------６求二面角的主要方法：（1）定义法：①找（作）二面角的平面角；【先证】②解三角形求出角。【后算】（2）公式法：设二面角的度数为θ，则侧面三角形射影三角形SScos多用于求无棱二面角。(二)求作二面角的平面角求作二面的平面角是解决二面角问题的关键，也是难点，通过前面教学及习题涉及到的作法有下面三种：1.定义法：利用二面角的平面角定义，在二面角棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线、两射线所成角就是二面角的平面角.2.三垂线法：利用三垂线定理及逆定理通过证明线线垂直，找到二面角的平面角，关键在找面的垂线.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。3.垂面法：作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角.二.求二面角的大小的基本方法为先证后算,即先由有关立几结论找出二面角的平面角(大多数题是用三垂线法去找),然后借助于解三角形求出平面角.例题5.四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC底面BCDE，2BC，2CD，ABAC．（Ⅰ）证明：ADCE；（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45，求二面角CADE的大小的余弦值．解：（1）取BC中点F，连接DF交CE于点O，FOGACDEBCDEAB---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------７ABAC，AFBC，又面ABC面BCDE，AF面BCDE，AFCE．2tantan2CEDFDC，90OEDODE，90DOE，即CEDF，CE面ADF，CEAD．（2）在面ACD内过C点作AD的垂线，垂足为G．CGAD，CEAD，AD面CEG，EGAD，则CGE即为所求二面角的平面角．233ACCDCGAD，63DG，22303EGDEDG，6CE，则22210cos210CGGECECGECGGE，课后训练：1.平面外的一条直线与内的两条平行直线垂直，那么().A.B.C.与相交D.与的位置关系不确定2.已知直线a、b和平面，下列推论错误的是().A.B.C.D.3.若直线a⊥直线b，且a⊥平面，则有().A.B.C.D.或4.若P是平面外一点，则下列命题正确的是().A.过P只能作一条直线与平面相交B.过P可作无数条直线与平面垂直C.过P只能作一条直线与平面平行D.过P可作无数条直线与平面平行5.设是直二面角，直线，直线，且a不垂直于，b不垂直于，那么().---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------８A.a与b可能垂直，但不能平行B.a与b可能垂直，也可能平行C.a与b不可能垂直，但可能平行D.a与b不可能平行，也不能垂直6.设、为两个不同的平面，、m为两条不同的直线，且，有如下两个命题：①若，则；②若，则届那么().