1.2.1任意角的三角函数(一)

1.2.1（一）1.2.1任意角的三角函数（一）学习目标1、通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数。2、借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号。3、通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等。1.2.1（一）探究点一锐角三角函数的定义问题1Rt△ABC中，∠C＝90°，若已知a＝3，b＝4，c＝5，试求sinA，cosB，sinB，cosA，tanA，tanB的值。答sinA＝cosB＝ac＝35；sinB＝cosA＝bc＝45；tanA＝ab＝34；tanB＝ba＝43.学习过程1.2.1（一）问题2如图，锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在α终边上任取一点P(a，b)，它与原点的距离为r，作PM⊥x轴，你能根据直角三角形中三角函数的定义求出sinα，cosα，tanα吗？答sinα＝br，cosα＝ar，tanα＝ba.1.2.1（一）问题3如图所示，在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆。锐角α的终边与单位圆交于P(x，y)点，则有：sinα＝，cosα＝，tanα＝。yxyx1.2.1（一）探究点二任意角三角函数的概念关于任意角三角函数的定义，总的来说就两种：“单位圆定义法”与“终边定义法”。根据相似三角形对应边成比例，可知这两种定义方法本质上是一致的。问题1单位圆定义法：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝；叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝；yx叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝(x≠0)。yyxxyx1.2.1（一）问题2终边定义法：设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则有sinα＝___，cosα＝___，tanα＝___(x≠0)，其中r＝x2＋y20.yrxryx1.2.1（一）角α0π6π4π3π22π33π45π6π3π2sinα012223213222120－1cosα13222120－12－22－32－10tanα03313无－3－1－330无问题3利用任意角三角函数的定义推导特殊角的三角函数值。解以α＝3π2为例，其余略。设P(x，y)为α＝3π2上任一点，易知点P(x，y)在y轴负半轴上。∴x＝0，y0，r＝x2＋y2＝－y0。∴sin3π2＝yr＝－1；cos3π2＝xr＝0；tan3π2＝yx，无意义。1.2.1（一）例1、已知角α的终边上一点P(－15a,8a)(a∈R且a≠0)，求α的各三角函数值。解：∵x＝－15a，y＝8a∴r＝－15a2＋8a2＝17|a|(a≠0)(1)若a0，则r＝17a，于是sinα＝817cosα＝－1517tanα＝－815(2)若a0，则r＝－17a,于是sinα＝－817cosα＝1517tanα＝－815小结利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r。特别注意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论。1.2.1（一）随堂练习1已知角θ的终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cosθ＝1010x，求sinθ，tanθ。解∵r＝x2＋9，cosθ＝xr，∴1010x＝xx2＋9.∵x≠0，∴x＝±1.∵y＝30，∴θ是第一或第二象限角，当θ为第一象限角时，sinθ＝31010，tanθ＝3；当θ为第二象限角时，sinθ＝31010，tanθ＝－3.1.2.1（一）探究点三三角函数值在各象限的符号三角函数的定义告诉我们，三角函数在各象限内的符号，取决于x，y的符号。(1)sinα＝yr(r0)，因此sinα的符号与y的符号相同，当α的终边在第象限时，sinα0；当α的终边在第象限时，sinα0。(2)cosα＝xr(r0)，因此cosα的符号与x的符号相同，当α的终边在第象限时，cosα0；当α的终边在第象限时，cosα0。一、二三、四一、四二、三1.2.1（一）(3)tanα＝yx，因此tanα的符号由x、y确定，当α终边在第象限时，xy0，tanα0；当α终边在第象限时，xy0，tanα0.三角函数值在各象限内的符号，如图所示：三角函数值的符号在以后学习中经常用到，必须熟记，可根据定义记，也可按以下口诀记忆：一全正，二正弦，三正切，四余弦(是正的)。一、三二、四1.2.1（一）例2判断下列各式的符号：(1)sinα·cosα(其中α是第二象限角)；(2)sin285°cos(－105°)；(3)sin3·cos4·tan－23π4。解：(1)∵α是第二象限角，∴sinα0，cosα0，∴sinα·cosα0。(2)∵285°是第四象限角，∴sin285°0，∵－105°是第三象限角，∴cos(－105°)0，∴sin285°·cos(－105°)0。随堂练习2(1)若sinαcosα0，则α是第_________象限角。(2)代数式：sin2·cos3·tan4的符号是________。二或四负号1.2.1（一）探究点四诱导公式一由任意角的三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等。由此得到诱导公式一：sin(k·360°＋α)＝sinα，cos(k·360°＋α)＝cosα，tan(k·360°＋α)＝tanα，其中k∈Z，或者：sin(2kπ＋α)＝sinα，cos(2kπ＋α)＝cosα，tan(2kπ＋α)＝tanα，其中k∈Z。1.2.1（一）诱导公式一的作用是将求任意角的三角函数值转化为求0°～360°的三角函数值；也可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”；同时要熟记特殊角的三角函数值。例如：sin420°＝sin60°＝32；cos(－330°)＝＝；tan(－315°)＝＝.cos30°32tan45°11.2.1（一）例3求下列各式的值。(1)cos25π3＋tan－15π4；(2)sin(－1320°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°＋tan495°.解(1)原式＝cos8π＋π3＋tan－4π＋π4＝cosπ3＋tanπ4＝12＋1＝32。(2)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°)＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＋tan135°＝32×32＋12×12－1＝0。1.2.1（一）随堂练习3求下列各式的值。(1)cos－23π3＋tan17π4；(2)sin630°＋tan1125°＋tan765°＋cos540°。解(1)原式＝cosπ3＋－4×2π＋tanπ4＋2×2π＝cosπ3＋tanπ4＝12＋1＝32。(2)原式＝sin(360°＋270°)＋tan(3×360°＋45°)＋tan(2×360°＋45°)＋cos(360°＋180°)＝sin270°＋tan45°＋tan45°＋cos180°＝－1＋1＋1－1＝0。小结准确确定三角函数值中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键。1.2.1（一）1、任意角三角函数的定义(1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：①y叫做α的，记作，即；②x叫做α的，记作，即；③yx叫做α的，记作，即。正弦sinαsinα＝y余弦cosαcosα＝x正切tanαtanα＝yx(x≠0)复习内容1.2.1（一）2、正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号3、诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值，即：sin(α＋k·2π)＝，cos(α＋k·2π)＝，tan(α＋k·2π)＝，其中k∈Z。相等sinαcosαtanα1.2.1（一）1、sin(－1380°)的值为()A．－12B．12C．－32D．32D解析sin(－1380°)＝sin(－360°×4＋60°)＝sin60°＝32。练习2、如果角α的终边过点P(2sin30°，－2cos30°)，则cosα的值等于()A.12B．－12C．－32D．32A解析2sin30°＝1，－2cos30°＝－3，∴r＝2，∴cosα＝12.1.2.1（一）3、若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y0，cosα＝35，则tanα等于()A．－34B．34C．43D．－43解析∵cosα＝332＋y2＝35，∴32＋y2＝5，∴y2＝16，∵y0，∴y＝－4，∴tanα＝－43。D4、如果sinx＝|sinx|，那么角x的取值集合是________。答案{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}1.2.1（一）1、三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定。即三角函数值的大小只与角有关。2、要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取。3、要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值。课堂小结