一线三等角教案

整体把握课程几何组的研究北京市大兴区第一中学2012-10-171相似三角形的判定---“一线三等角”指导思想与理论依据根据《义务教育数学课程标准》对核心概念的解读：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。把让学生掌握一些重要的图形作为教学任务，贯穿在义务教育阶段数学教学、学习的始终。在教学中要有意识地强化对基本图形的运用，不断地运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记忆结果，这应该成为教学中关注的目标。教材分析及学习者分析1．相似形在教材中的地位作用相似形的知识有很重要的实用价值，它与人类的生产和生活有着广泛的联系，如测量、绘图、电影、照相等都涉及相似形的知识。从研究图形的全等发展到研究图形的相似，用几何变换的观点来看，就是从研究图形的保距变换发展到研究图形的保角变换，从研究线段的相等发展到研究线段的比，这是认识上的一次深化。学生在学习了三角形和四边形之后，进一步学习相似形的知识，是对于直线形研究的继续。相似形与前面学习的全等形之间既有密切的联系，又有明显的区别。全等形是相似形的特殊情况，相似形比全等形更具有一般性。所以，这一章所研究的知识实际上是前面学习的全等形问题的发展和拓广。相似形与后续的“解直角三角形”和“圆”的内容有着密切的联系，在研究三角函数的定义、与圆有关的比例线段时都要依赖相似形的知识。同时，有了全等形和相似形的知识，又可大大充实和丰富圆的研究内容。所以，相似形在学习平面几何中起着承上启下的作用。2．学生的认识发展分析我校是一所市级示范学校，学生学习数学热情较高，乐观向上；乐于参与，教学基本信息课题相似三角形的判定----“一线三等角”教材书名：北京市义务教育课程改革实验教材出版社：北京出版社出版日期：2006年5月整体把握课程几何组的研究北京市大兴区第一中学2012-10-172有较好的合作精神。学生在学习本节课之前已经学习了四边形、三角形、相似三角形一些基础知识，对于相似三角形的判定有了一些了解和认识。尽管如此，对于相似三角形和其他知识之间的联系方面还有待提高。特别是相似三角形在其它背景中的应用还不熟练。在课堂中，要充分调动学生的积极性，为学生营造一个良好的学习氛围，积极引导学生自主学习、探究发现、合作交流。学生虽然对相似形和四边形、三角形等知识有一定的感性认识，但是更多的是在特定的范围内研究的，对于相似形的工具性作用，学生还不能合理运用。特别是相似三角形和其他知识的紧密结合，对我校学生来讲还是有一定难度的。因此在教学中，我采取从特殊到一般，再由一般到特殊的方式。从学生已有认知入手，通过提出关键性问题，师生交流讨论、质疑，释疑等活动，逐步使学生思维走向深刻，帮助学生感悟“一线三等角”在相似三角形判定中重要作用，引导学生逐步感悟整体把握几何主线的价值与意义。整体把握课程几何主线几何教学有三种不同形式的语言，即图形语言、文字语言和符号语言。图形语言形象、直观，能帮助学生更好地认识问题和理解问题。图形在几何教学中有着不可忽视的作用。几何问题的解决在很大程度上依赖于几何图形。准确的图形可以开拓一个人的解题思路，为解决问题的思考过程提供很大的帮助。还可以帮助学生更好地理解图形的基本性质、位置关系，建立几何直观。在相似三角形的判定中，两组对应角分别相等，则两个三角形相似这种判定方法应用特别多。而“一线三等角”这种特殊图形中，正是因为存在有两组对应角分别相等才会一定出现一对相似三角形。在不同背景中，特别是“一线三直角”这种情况在矩形、直角梯形、以及平面直角坐标系中的应用都比较广泛。所以把握住基本图形对于学生在复杂的图形中迅速准确的解决问题起到了关键的作用。整体把握课程几何组的研究北京市大兴区第一中学2012-10-173ABCED一、教学目标1.学生会运用两组对应角分别相等的两个三角形为相似三角形的判定方法证明两个三角形相似。2.学生经历观察、比较、归纳的学习过程，归纳出“一线三等角”图形的基本特征，并且能够在不同的背景中认识和把握基本图形。3.学生在学习过程中感受几何直观图形对几何学习的重要性。二、教学重点、难点1、重点：运用判定方法解决“一线三等角”的相关计算与证明2、难点：在不同背景中识别基本图形三、教学方法：教师主导与学生合作探究相结合。四、教学过程教学设计教师活动学生活动设计过程意图一知识引入：问题1：已知:△ABC是等边三角形，D,E分别是AC,BC上的点，且∠AED=60°判断△ABE与△ECD是否相似？通过实际问题引发学生思考。在证明三角形相似的过程中，一能复习相似三角形的判定方法，二则引出本节课所讲的内容：“一线三等角”。提出问题：请同学们考虑△ABE与△ECD是否相似？激发学生的思考，学生可以结合图形判断，并结合图形说明理由。整体把握课程几何组的研究北京市大兴区第一中学2012-10-174CABEDCABEDABCDE问题2：当△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°D,E分别是AC,BC上的点，且∠AED=45°,判断△ABE与△ECD是否相似？并说明理由图形的变化让学生考虑在运动变化中结论是否会发生改变？以便在运动变化中突出图形所体现的特殊特征。从而进一步归纳出两个图形具有的共同点。思考：当图形的条件改变后结论是否会成立？学生观察图形，思考问题。口述理由。问题3：当△ABC是等腰三角形，AB=AC,D,E分别是AC,BC上的点,且∠AED=∠B.求证：△ABE∽△ECD图形的变化体现了由特殊到一般的认识过程。图形变化后，结论是否会发生改变？并将结论证明出来。教师引导学生将一线三等角的图形特征梳理出来。学生思考结论是否会发生改变？二基本图形的变式在学生熟悉“一线三等角”的基本模式的前提下，将“一线三等角”基本图形由一般再转为特殊，将“一线三等角”变为“一线三直角”。为基本图形的根植和生成提供了条件。教师演示图形的变化，让学生体会到一线三等角图形的变化特点。学生自主完成这道题。整体把握课程几何组的研究北京市大兴区第一中学2012-10-175QNMPDCBA三知识应用：例1：在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q．BP=x，CQ=y，那么y与x之间的函数图象大致是在不同背景中学生体会一线三直角基本图形的作用。通过“一线三直角”中的直角找到这个基本图形的生长点。引导学生观察图形找出本节课中的基本图形。学生找出基本图形中的基本量的关系。例2.在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=6，∠ABC=60°，点E,F分别在线段AD,DC上（点E与点A,D不重合），且∠BEF=120°，设AE=x,DF=y.（1）求y与x的函数关系式；（2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？CDABEF一线三等角与梯形知识的结合。引导学生思考如何确定y与x的关系，有没有基本图形的模型。例2，学生到黑板上完成，其他同学自主完成，教师巡视例3如图，正方形ABCD的边长为10，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则DE的长为．在正方形中体会“一线三等角”的重要性教师引导学生观察有没有基本图形？如何构造基本图形。学生思考问题，可以在和同学交流的基础上完成。整体把握课程几何组的研究北京市大兴区第一中学2012-10-176四知识巩固：1已知，如图，在矩形ABCE中，D为EC上一点，沿线段AD翻折，使得点E落在BC上，若BC=12,BE∶EC=2∶1.求AB的长ABCDE借助此题，让学生感到在矩形中因为矩形四个角为直角的特点，容易和“一线三直角”基本图形建立联系。本题融入了轴对称的变换，让题目更鲜活教师引导学生观察图形，找基本图形。师生共同完成2.在平面直角坐标系中，A(0,1),B（2,0），AC⊥AB,AC=3.求点C的坐标。BAC在坐标系中感受基本图形的作用。引导学生分析如果要求出点c的坐标应求那条线段的长？鼓励学生添加辅助线，构造基本图形。学生到黑板上完成。五课堂小结：知识：（1）判断相似三角形的方法（2）“一线三等角”的基本特征（3）“一线三等角”在不同背景中的应用思想方法：转化思想。通过小结让学生可以梳理一下本节课所学知识。学生及时的小结为下一阶段的学习打下基础。教师提问、补充。学生回答。