第2章远期和期货定价和估值

金融工程学张玉新第二章远期和期货的定价和估值主要内容：讨论远期价格和期货价格与其标的资产价格之间的相互关系。（1）分别对无收益的投资资产、提供已知现金收益的投资资产、提供已知红利收益率的投资资产的远期合约给出定价公式（2）利用得出的公式对股票指数期货、外汇期货和黄金白银的期货合约进行理论定价•说明：1.因为当同一资产的远期和期货两种合约的到期日相同时，该资产的远期价格和期货价格是非常近似的，所以本章将以分析相对容易一些的远期合约为研究对象，得到的结论也适用于期货价格。2.本章将明确区分两类资产：一是投资者仅为了进行投资而持有的资产；二是为了进行消费而持有的资产。复习连续复利假设数额A以年利率R投资了n年。如果利率按每一年计一次复利计算（年复利），则以上投资的终值为：如果每年计m次利息，则终值为：(1/)mnARm(1)nAR复习连续复利当m趋于无穷大时，则称为连续复利（continuouscompounding）终值为：通常认为连续复利与每天计复利等价(1)mnRnmRlimAAem连续复利与年计m次复利的转换mnmnRmRAAec)/1((1/)cRnmnmAeARmln(1/)cmRmRm解得：/(1)cRmmRme复习远期合约远期合约是一个在确定的将来时刻按确定的价格购买或出售某项资产的协议。远期合约中购买标的资产的一方称为多头，出售标的资产的一方称为空头。交割价格（deliveryprice）远期合约中指定的价格称为交割价格交割价格的选择在远期合约签署的时候，所选择的交割价格应该使得远期合约的价值对双方都为0远期价格（forwardprice）某个远期合约的远期价格就是期初设定的交割价格远期价格是使得期初该合约价值为零的交割价格远期价格是有时间属性的，我们只能说某一远期合约在特定时间的远期价格远期价格随时间变化某一时刻t的远期价格等于，t时刻新签约合约的交割价格任意时刻远期合约的价值当前的远期价格和期初的远期价格的差，即是当前远期合约的价值。远期合约远期合约对冲的主要作用是锁定价格（lockaprice）远期合约的重要性质期初没有现金流发生Nomoneychangeshandsatthestart远期合约的交割和结算两种方式交割现金结算注意事项履约方式并不是在到期日才选择的，而是在期初就确定了的。当交割很困难的情况下，大多选择现金结算。违约风险远期合约的结构决定了只有应付额较大的一方才可能违约远期合约的种类按照标的资产的不同来区分远期合约证券远期（equityforward）单个股票的远期合约股票组合的远期合约股票指数远期合约债券和利率远期（固定收益证券的远期）实物远期红利的影响远期合约不对股票的红利给与补偿区分定价（pricing）和估值（valuation）估值（valuation）价值（value）是购买或出售远期合约所获得的收益远期合约的价值大致等于，远期价格与交割价格的差值定价（pricing）远期合约的价格是合约预先确定的、在到期日的价格或汇率一般称为远期价格（forwardprice）或者远期汇率（forwardrate）定价就是要确定这种价格或者汇率确定期初的交割价格定价方法本章将利用无套利方法进行定价基本思路：构建两种投资组合，让其终值相等，则其现值也一定相等，不然的话，就存在套利机会假设条件无交易费用；所有的交易净利润使用同一税率；市场参与者能够以相同的无风险利率借入和贷出资金；当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动。再回购利率期货和远期市场中所使用的无风险利率再回购利率（reporate）再回购协议（repoorrepurchaseagreement）证券的出售方承诺在规定的未来时刻按照规定的价格重新购回该证券相当于债券的购买者向出售者提供了短期贷款根据贷款的利息成本、出售价格和回购期，可以计算出隐含利率，这种隐含利率称作再回购利率（reporate）利用再回购协议融资的优势是利率比银行借款低符号说明T：远期和期货合约到期的时刻，单位为年S：标的资产的即期价格K：远期合约中的交割价格f：当前远期合约多头的价值F：当前时刻远期合约和期货合约中标的资产的远期价格和期货价格，分别简称为远期价格和期货价格r：对T时刻到期的一项投资而言，当前以连续复利计算的无风险利率。远期价格F完全不同于远期合约的价值f任何时刻的远期价格都是使得远期合约价值为0的交割价格（相当于重新签订新的远期合约）合约开始生效时，F=K且f=0随着时间的变化，f和F都在变化第一节远期和期货定价一、不支付收益的投资资产的远期价格最容易定价的远期合约是基于不支付收益的投资资产的远期合约不支付红利的股票和贴现债券（无息票利息的债券）就是诸如此类的投资资产例1考虑一个基于不支付红利的股票的远期合约，3个月后到期。假设现在股价为40元，3个月期无风险利率为年利率5%。如何确定这份远期合约现在的价格？极端情况下的套利策略假定远期价格偏高为43元，套利者可以以5%的无风险利率借入40元，买一只股票，并在远期市场上作空头用来归还贷款的总数额为40e0.05×3/12=40.50收益：43－40.5=2.50表3-1表3-1当不付红利股票的远期价格太高时的套利机会市场情况3个月后交割的股票远期价格为43元，3个月期无风险利率为年利率5%，当前股价为40元，不付红利。套利机会远期价格相对于当前股价偏高，套利者可以1、借40元即期购买股票2、持有3个月后卖出股票的远期合约（空头）3个月后，套利者交割股票收到43元，偿还贷款所需40e0.05×3/12=40.50元。所以套利者在3个月后的盈利为43元－40.5元=2.50元极端情况下的套利策略假定远期价格偏低为39元。套利者可以卖空股票，将所得收入购买3个月期的远期合约卖空股票3个月后所得收益为：3个月末，套利者支付39元（远期价格），交割远期合约规定的股票，再将其送到股票市场平仓净收益为：40.5元－39.00元=1.50元0.053/1240e表3-2不付红利股票的远期价格太低时的套利机会市场情况期限为3个月的股票远期合约的远期价格为39元，3个月期无风险利率为年利率5%，当前股价为40元，不付红利。套利机会远期价格相对于当前股价偏低，套利者可以1、即期卖空股票，将收益作3个月期的无风险投资2、持有3个月期远期合约的多头收益3个月后，卖空股票所得的收益增加到元。套利者根据远期合约条款以39元买入股票，用来在股票市场上平仓。所以，3个月后套利者的净盈利为40.5元－39元=1.50元推论表3-1策略只有当远期价格高于40.5元时才会赢利表3-2策略只有在远期价格低于40.5元时才会盈利在无套利的前提下，价格一定是精确的40.50元一般结论我们考虑一个不支付收益的投资资产的远期合约，资产即期价格为ST是远期合约到期的时刻r是以连续复利计算的无风险年利率F是远期价格套利策略即期买入1单位资产卖出一张远期合约现金流分析远期合约开仓时价值为0，所以该策略的起始成本为S远期合约规定的标的资产在时刻T以远期价格成交，资产提供的收益为0（无红利）投资者当前付出了S，在未来T时刻得到无风险收益FF必须等于如果将S进行无风险投资而得到的收益rTFSe远期合约定价的一般性方法分析的目的确定远期价格：远期合约的价值：FF0tff和分析过程在到期日，我们可以观测到到期时刻的现货价格TS。多头头寸的持有者可以按照预先确定的价格F来购买标的资产。所以到期时刻合约的价值就是：FST。非如此，会有套利存在。FSfTT（2.1）远期合约的价值可以解释为头寸持有者的获利情况，F是多头的支出，多头的收益是资产价格TS。当然我们还没有解释F是如何确定的。但由于我们刚才讨论的是到期时刻合约的价值，在到期时刻F肯定是已知的了，因为它是在签约时刻就由双方确定的。期初的现金流选择考虑刚才的例子，假设股票远期合约为3个月期，股价40，远期价格为39，无风险利率为年利率5%。我们已经说明如果远期价格为39元的话，会给远期合约的多头带来套利收益。针对这种情况，我们可以要求远期的多头事先支付一定的现金，以此来消除套利机会。例如，假定多头在期初向空头支付1.48元。这样期末远期的多头就损失了1.48的本息和。注意，1.48元加上5%的利息恰好是1.5元，这正是无风险套利收益。这样，如果远期价格是39的话，期初时刻远期合约的价值就是1.48。48.1394025.005.000eFeSfrT因此，在这一远期价格水平，一方必须向另一方支付现金流。因为得出的合约价值为正，应该是合约的多头向空头进行支付。如果远期价格是43，远期合约的价值就是47.2434025.005.000eFeSfrT这种情况下，合约价值为负，应该由空头向多头支付现金流。这样才能够消除无风险套利机会。这样，在任意的远期价格水平上，都可以通过期初的现金流交换来消除无风险套利机会。合约双方可以根据远期价格水平对所交换的现金流的大小进行协商。但是，在远期合约市场上都习惯将初始的价值设定为零。这种惯例既避免了期初交换现金流的麻烦，也使我们可以用一种更直接、更简单的方法来对远期合约定价。特别地，将期初远期合约价值设定为0，远期合约定价公式000rTFeSf得到rTeSF0，即（3.1）式的结果。远期价格公式可以解释为就是，即期价格按无风险利率计息的本息和。而且这一结果，也符合期初没有现金流交换的惯例，即远期合约的初始价值为0。二、支付已知现金收益的投资资产的远期价格远期合约的标的资产将为持有者提供可完全预测的现金收益例如支付已知红利的股票和支付息票的债券远期合约不对股票的红利给予补偿例2考虑购买一份付息票债券的远期合约，债券的当前价格为900元。假定远期合约期限为一年，债券在5年后到期，该远期合约实际上是相当于一份一年之后购买4年期债券的合约。我们假设6个月和12个月后，债券会支付40元的利息其中第二次付息日恰好是远期合约交割日的前一天。6个月期与1年期的无风险年利率（连续复利）分别是9%和10%。套利策略首先假设当前远期价格偏高，例如为930元。一个套利者可以借900元，购买债券，卖空远期合约。现金流分析首次付息的现值为40e-0.09×0.5=38.24元。在900元中，有38.24元可以以9%的年利率借入6个月，在第一次付息日偿还。剩下的861.76元以10%的年利率借入1年，年底所支付的本息和为861.76e0.1×1=952.39元第二次付息可收到40元以远期合约规定价格卖出债券可获得930元净盈利为：40元+930元－952.39元=17.61元表3-3附息票债券的远期价格偏高时的套利机会市场情况一年后交割的附息票债券远期合约的价格为930元。债券的即期价格为900元。预期债券在6个月后、12个月后各支付40元的利息。6个月和12个月期的无风险年利率分别为9%和10%。套利机会远期价格相对偏高，套利者可以：1、即期借900元，买一份债券2、卖空一份债券的远期合约表3-3附息票债券的远期价格偏高时的套利机会收益分析在即期所借得的900元中，其中40e-0.09×0.5=38.24元以9%的年利率借入6个月，另外861.76元以10%的年利率借入1年。首次利息支付所收到的40元利息正好用来偿还6个月期38.24元贷款的本金和利息。一年之后，收到了第二次付息的40元，根据远期合约条款卖出债券收到930元。861.76元的贷款到期共需偿还本金和利息861.76e0.1×1=952.39元。该策略的净盈利为：40元+930元-952.39元=17.61元表3-4附息票债券的远期价格偏低时的套利机会市场情况1年后交割的附息票债券远期合