高数一公式-自己的笔记

第一章极限连续五种基本初等函数：（缺少定义域）1．幂函数为实数）(xy2．指数函数)1,0(aaayx3．对数函数)1,0(logaaxya4．三角函数xyxyxyxyxyxycsc,sec,cot,tan,cos,sin5．反三角函数xarcyxyxyxycot,arctan,arccos,arcsin一、函数的极限：f(x)在x0处极限存在的充分必要条件是f(x)在点x0处的左极限与右极限都存在且相等，此时三者值相同。是否有极限与在x0处有无定义无关。两个重要极限公式:exexxxxxxxx)11(lim,)1(lim1sinlim100nmnmnmbabxbxbaxaxaxQxPmmmnnnxx,,0,......lim,)()(lim00110110可利用公式对于二、无穷小量：零可以作为无穷小量的唯一的数。无穷小之商不一定无穷小。无穷小量比较：设0lim,0lim00xxxx。不能在加减运算中使用除中使用！！！注意：只能在乘存在，则且时性质：当时，当。记为为等价无穷小量与时为同阶无穷小量。与时则称在若为低阶无穷小量。较时则称在若记为为高阶无穷小量较时则称在若,!''limlim''lim,'~,'~~1,2~cos1,~)1ln(,~tan,~sin0~,1A,,0Alim,,lim)(,,,0lim00000002000xxxxxxxxxxxxxxxxexxxxxxxxxxxxxxx三、函数连续的三要素1〉f(x)在x0处有定义；2〉0xx时f(x)有极限；3〉极限值等于该点的函数值。)()(lim00xfxfxx如果三要素之一不满足即为函数的间断点。。则有存在的连续函数，为为复合函数性质：如果)()](lim[)]([lim)(lim)(,)]([)(000AfxgfxgfAxguufyxgfufyxxxxxx介值定理：设f(x)在[a,b]上连续，f(a)≠f(b),则对于任意介于f(a)与f(b)之间的值c，必定存在一点&使得f(&)=c。零点定理：设f(x)在[a,b]上连续，f(a)·f(b)0,则必定存在一点&使f(&)=0。常用来判定方程f(x)=0根的存在与根的范围。第二章一元函数微分学一、导数概念：00)(')()(lim)()(limlim)('0000000xxxxxxxfxxxfxfxxfxxfxyxf性质：函数y=f(x)在点x0处可导的充分必要条件是该点处的左右导数都存在且相等。函数可导性与连续性的关系：可导必定连续，连续不一定可导。导数定义计算方法：xyxyxfxxfyxxfyx000lim3;2);()()(1求量改变量之比求出函数改变量与自变的改变量相应于自变量改变量求出基本初等函数的导数公式：2222221x11-(arccotx)'11(arctanx)'11(arccosx)'x-11(arcsinx)'sin1(cotx)'cos1(tanx)'-sinx(cosx)'xcos(sinx)'1)'(lnln1)'(log)'(ln)'(()')(0'xxxxxxaxxeeaaaaaxxccaxxxxaa为实数）（为常数导数的四则运算法则：)0(''vu'')'('')'()(')'(2'vvuvvuuvvuuvvuvuccucu为常数反函数求导法则：)('1)(',)(,)(yxfxfyyx且也可导则反函数在某个区间可导函数参数方程求导：)(')(')()(,)()()(ttdtdytttytxxfy可导，则、且确定是由设对数求导法：)](ln)(ln)(ln)([ln1ln),,,()()()()(lnln21212121xglxgxfkxfnylknxgxgxfxfyuvyuynlkv可两端取对数为整数再两端求导。可两端取对数，二、微分微分的充分必要条件：可导。即可导必可微。dxydy'微分中值定理：1〉罗尔中值定理：0)('),()()(3),(2],[1)(fbabfafbabaxfy使得内存在一点则在开区间〉内可导；〉在开区间上连续；在闭区间满足：函数罗尔中值定理几何意义：连续曲线除端点外的切线平行于X轴。2〉拉格朗日中值定理：))((')()(),(),(2],[1)(abfafbfbababaxfy，使得内至少存在一点则在开期间内可导；〉在开区间上连续；〉在闭区间满足以下条件：函数拉格朗日中值定理几何意义：连续曲线除端点外有切线平行于AB弦。洛必达法则：对于未定型极限适用,00）（或为则：）（或为〉；且在该领域内存在〉；且可除外）有去定义某一领域内（点〉在满足：函数)(')('lim)()(lim)(')('lim30)(',)('),('20)(lim,0)(lim,1)(),(0000000xFxfxFxfxFxfxFxFxfxFxfxxxFxfxxxxxxxxxx三、导数的应用1．求切线方程：))((')(000xxxfxfy求法线方程：)()('1)(000xxxfxfy2．函数的增减性判断：调减少函数。单调增加函数；反之单时)(0)('xfxf3．函数的极值：（函数导数不存在的点也可能是函数的极值点：如y=IxI在x=0时。）1〉极值的必要条件：的驻点。为时称当则的极值点为且点可导在)(0)('0)(',)(,)(0000xfxxfxfxfxxxfy2〉极值的第一充分条件：的极值点。不是则的两侧同号在〉若的极小值点为则时当时〉若的极大值点为则时当时〉若则：且的某领域内可导在点设)(,)('3;)(,0)(';0)('2;)(,0)(';0)('1,0)(',)(0000000000xfxxxfxfxxfxxxfxxxfxxfxxxfxxxfxxfy3〉极值的第二充分条件：，此方法不能判断。〉若极小值点；为，那么〉若的极大值点；为，那么〉若则：且处二阶可导在点设0)(''3)(0)(''2)(0)(''1,0)(',)(0000000xfxfxxfxfxxfxfxxfy4．函数的最大、最小值：极大(小)值是某点领域内局部性质，最大(小)值是函数在[a,b]上整体性质。最大小值求法：1〉求出f(x)所有(可能的极值点)驻点,导数不存在的点x1,x2….xk。2〉求出上述各点及x=a,x=b时的函数值,进行比较其中最大的为函数[a,b]上最大值,最小为最小值。5.曲线的凹凸性在区间(a,b)内曲线上点的切线位于曲线弧的下方,则称曲线(a,b)内为上凹(或凹弧),切线位于上方,则称为下凹的(或称凸弧).内为下凹的。在，则曲线弧内有若在〉内为上凹的。在，则曲线弧内有若在〉内二阶可导，在性质：如函数),()(0)(''),(2),()(0)(''),(1),()(baxfyxfbabaxfyxfbabaxfy连续曲线上凹与下凹的分界点称为曲线弧的拐点.求拐点的方法:求出二阶导数等于零的点与不存在的点,判断该点两侧的二阶导数是否异号,如异号则该点为曲线弧的拐点,如同号则不是拐点.6.曲线的渐进线若点M沿曲线y=f(x)无限远离原点时,与某条直线L之间的距离无限接近于零,则称L为曲线的渐进线。若直线L与X轴平行,则称L为曲线的水平渐近线;与X轴垂直,则称L为曲线的铅直渐近线。渐进性的求法:的铅直渐近线。为曲线则的水平渐近线为曲线则)(,)(lim;)(,)(lim00xfyxxxfxfyCyCxfxxx第四章一元函数积分学一、不定积分原函数：的原函数。为则称)()(F),()('xfxxfxF不定积分：的一个原函数。为的不定积分，记为：称为的原函数的全体)()(,)()()(,)(xfxFCxFdxxfxfxf几何意义：平行于切线的一族积分曲线。原函数存在原理：f(x)在某区间上连续，则函数f(x)在该区间上的原函数一定存在。性质：，作用抵消）简述在为先积分后求导()()')((xfdxxf分，相差一个常数）（简述为：先求导后积)()('Cxfdxxf不定积分基本公式：CxdxxCxdxxCxdxxCxdxxCxxdxCxxdxCedxeCaadxaCxdxxnCxndxxCdxxxxxnnarctan11arcsin11cotsin1tancos1sincoscossinln1ln1)1(11022221二、求积分的方法1．积分第一换元法CxFCuFduufdxxxfxuuufxu))(()()()(')]([)(),(F)()(有换元公式存在在连续导函数，则具有原函数设2．积分第二换元法：解决如：nnntxxtdxxxftatataxdxxaf即令等；或令,,),(sec,cos,sin,)(22的反函数。是其中)()(,)]([)()(')]([)(11txxCxCtdtttfdxxf3．分部积分公式vdxuuvdxuv''三、定积分baniiinniiiiinxfdxxfbaxfxxxfxxnbbxxxabaxf10110ii1-i10)(lim)(],[)(},,...,max{)(lim,i]x,[x],[a...,],[)(定积分为：在区间则记作合式上任取一点个小区间长度，在表示第，个小区间分成将区间用分点上有定义在区间设函数几何意义：面积值。但有正负，大于0为面积，小于0为面积的负值。定积分估值定理：如果f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值分别为M和m，则baabMdxxfabm)()()(定积分中值定理：如果f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点使上的平均值。在区间为常称],[)()(1,))(()(baxfdxxfababfdxxfbaba牛顿=莱布尼茨公式：babaaFbFxFdxxf)()()()(定积分的对称性：aaaxfdxxfxfdxxf0)(,)(2)(,0)(为偶函数为奇函数无穷区间上的广义积分：aababbabdxxfdxxfdxxfdxxf收敛，否则发散。，广义积分存在，定义如果)()(lim)()(lim说明：设a0,当p1时，广义积分dxxap1收敛，当10p时，广义积分dxxap1发散。四、定积分的应用1．求平面图形的面积badxxfS)(2．求旋转体体积badxxfV)(2第四章空间解析几何一、平面方程1．平面的点法式方程：过点M（x0,y0,z0）,以n={A,B,C}为法向量的平面方程为A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=02．平面的一般式方程：Ax+By+Cz+D=0两个平面间的关系：设有平面л1：A1x+B1y+C1z+D1=0;л2：A2x+B2y+C2z+D2=0平面л1、л2相互垂直的充分必要条件是：A1A2+B1B2+C1C2=0平行的充分必要条件是：212121CCBBAA重合的充分必要条件是：21212121DDCCBBAA二、直线方程1．直线的标准式方程：过点M0(x0,y0,z0)且平行于向量s={m,n,p}的直线方程pzznyymxx0002．直线的一般式方程：A1x+B1y+C1z+D1=0A