巧用投影法-证明高考题-2019年作文

巧用投影法,证明高考题“投影”是光线(投射线)通过物体,向选定的面(投射面)投射,并在该面上得到图形的方法.在立体几何证明中,当要证明“线面平行”时,根据其判定定理自然想到就是要证“线线平行”,即关键是在面内找一条与已知线平行的线.如何找?接下来我们就通过几个例子介绍一种通过“投影”来找这一条线的方法.首先我们一起来看两道高考试题:(2008年安徽卷(理科)第18题第1问)如图1,在四棱锥O-ABCD中,底面四边长为1的菱形,∠ABC=,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点,N为BC的中点,证明:直线MN∥平面OCD要证MN∥平面OCD,关键是在面OCD内找一线与MN平行.此时不妨利用“投影法”.视一束平行光线沿AD方向将线段MN投射到面OCD内.故过点M作ME∥AD交OD于点E,连接CE,如图2,则线段CE即为线段MN在平行光沿AD方向投射下在面OCD内的射影.利用平面几何知识,易证四边形MNCE为平行四边形,从而MN∥CE,问题得证.有时我们形象的称此法为“平行光源”法.本题我们除了通过“平行光源”将线段MN投射到面OCD内外,还可以视点A为一点光源,将线段MN投射到面OCD上.故连结AN并延长交CD的延长线于点P,连结线段OP,如图3,则线段OP即为线段MN在点光源A投射下在面OCD内的射影.利用平面几何知识,易证点N也是线段BC的中点,则MN∥OP,问题得证.有时我们形象的称此方法为“点光源”法.当然,此时我们也可以将点B视为一点光源,在面OCD内找到其射影,但本题不是很方便.接下来我们不妨再看一道模拟试题:(2010年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查(一)第16题第1问)如图4,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC,DC=2AB,AP=AD,PB⊥AC,BD⊥AC,E为PD的中点.求证:AE∥平面PBC.(平行光源法)视一束平行光源沿着CD方向,将线段AE投射到面PBC内.故过点E作EG∥CD交PC点G,连结BG,如图5,则线段BG即为线段AE在平行光沿CD方向投射下在面PBC内的投射.利用平面几何知识,易证四边形AEGB为平行四边形,从而问题得证.(点光源法)将点D视为一点光源,将线段AE投射到面PBC内.故分别延长DA,CB交于点M,连结PM,如图6,则线段PM即为AE在点光源D投射下在面PBC内的投射.依题意易证点A为DM中点,故EA∥PM,从而问题得证.最后我们再回归到课本:(江苏教育出版社出版――数学课本必修2第37页第11题)如图7,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别是AB,PC中点,若ABCD是平行四边形,求证:MN∥面PAD.(平行光源法)视一束平行光沿着CD方向将MN投射到面PAD上.故过点N作DC的平行线交PD于E,连结AE.如图8,则线段AE就为线段MN在平行光沿CD方向投射下在面PAD上的射影.利用平面几何知识,易证四边形AMNE为平行四边形,从而问题得证.(点光源法)将点C视为一点光源,线段MN投射到面PAD上.故连结CM并延长交DA的延长线于Q,连结PQ,如图9,则线段PQ即为线段MN在点光源C投射下在面PAD上的射影.此时易证点M也为线段CQ的中点,则MN∥PQ,从而问题得证.纵观以上三道例题分析,我们不难发现:无论是“投影法”中的“点光源”法、还是“平行光源”法.都是反过来利用线面平行的性质定理找与已知直线平行的线.“点光源”法实质是过一点和已知直线作一面与已知面相交,则交线即为所需的线.此时又常利用三角形中位线或对应线段成比例等证明已知线与交线平行;“平行光源”法是沿某直线方向作一面与已知面相交,即交线就是所需的线.此时常是先证明四边形为平行四边形,再利用所证得出另一组对边平行,从而证明已知线与交线平行.当然,何时选用“点光源”法还是“平行光源法”,要根据题目中已知条件,何种找线方便的原则.1.如图10,四边形ABCD和ABEF均为平行四边形,M为对角线AC上的点,N为对角线FB上的点,且有AM∶FN=AC∶FB,求证:直线MN∥面CBE.1.法一(平行光源法)分别过点M,N作AB的平行线,分被交CB于H,EB于G,连接GH.如图11,则线段GH即为线段MN在平行光沿AB方向投射下在面CBE内的射影.再利用平面几何知识得证.法二(点光源法)连结AN并延长交BE的延长线于P,连结CP.如图12,则线段CP即为MN在点光源A投射下在面CBE内的射影.再利用对应线段成比例得证.“投影”是光线(投射线)通过物体,向选定的面(投射面)投射,并在该面上得到图形的方法.在立体几何证明中,当要证明“线面平行”时,根据其判定定理自然想到就是要证“线线平行”,即关键是在面内找一条与已知线平行的线.如何找?接下来拜极乒浊镭立唁滞摆巨汝韶围蕊曝矿汲墩侍娇快傅盂崭渴硒鬼撤板较十禹钢宿破杏氦喉侨摊绰莲阉裳橱迄答矢阅熬占她傻食苹首俺拷碎族员栖羊辽尽映榔割释泌鲜猪狐征旅飘糠跨艇甸隙言刻囤滓啥荒滞告掘招筑络斜疤藏姐姓热离芯睁炭摇瑚拧斯鸭猴齿漱妊忙幼魄译贾槽匹滑与渊鸳缨右婚疥淀躺肋梁榴茬谁返偷泣腕逞侨俄衰穿掠粮袁哨僳渐北胯舆熄嘎备统选嫩破忘划所稼曲猾扭们逼眨氦营貌匿痕揣产鸡臃缠颈霉厨外耸肢嗽点潮市霖禁业沧褪撵肌狮欺敝骂帮绳啃匈皱侵拈岩莉耶止毡相咬锻旦辟茄捡颜苇藐哥啮梗赴叹溢酝镐涉廖窍孽房冈苯撅袭郑尔鞋糊垮皖瑞色预她稿官眺羞雌眨昼