高考重难点专题突破——不等式

1高考重难点专题突破之——不等式一、综述（内容、地位、作用）：在苏教版高中数学教科书必修系列中，直接涉及“不等式”内容的部分为必修5第三章《不等式》。另外，在实际教学过程中，在学到必修5《不等式》之前的某些章节（如集合、函数的值域等），无论文理科班，基于教学内容的关联性和完整性，老师们基本上都要对选修4-5中的部分基础性内容进行选讲。所以“不等式”的内容主要来自必修5第三章《不等式》以及选修系列4-5《不等式选讲》。综合来看，不等式的内容主要可分为不等式的求解、证明和应用三部分，它们又分别以一元二次不等式的求解、均值不等式相关的证明、不等式在应用题以及线性规划中的应用为主。不等式是中学数学的主干内容之一，它不仅是中学数学的基础知识，而且在中学数学中起着广泛的工具性作用，对学生们步入大学之后的数学学习也具有基础性的铺垫作用。在历年的高考中，不等式虽很少单独命题（理科附加卷除外），但无论从它所涉及到的知识点或是题量来看，有关不等式的试题分布范围极广（甚至有些题目很难界定其中对不等式的考查所占到的比重，所以我们也很难准确给出高考中不等式所占分值），试题不仅考查了不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法，还考查了运算能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的应用能力等数学素养。在高考命题趋势上，不等式的考查极其突出工具性，淡化独立性、突出解，是不等式命题的总体取向。高考中不等式试题的落脚点主要有：一，不等式的性质，常与指数函数、对数函数、三角函数等结合起来，考查不等式的性质、函数的单调性、最值等；二，不等式的证明，多以函数、数列、解析几何等知识为背景，在知识网络的交汇处命题，综合性强，能力要求高；三，解不等式，往往与公式、根式和参数的讨论联系在一起，考查学生的等价转化能力和分类讨论能力；四，不等式的应用，以当前经济、社会生产、生活为背景与不等式综合的应用题是高考的热点，主要考查学生阅读理解能力以及分析问题、解决问题的能力。二、考试要求与教学建议：（一）必修5部分新课标在对“必修5”《不等式》一章的说明中指出：“不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容……掌握求解一元二次不等式的基2本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。”由此，我们大致可以看出教材对于本部分的基本要求以及高考的考查要点。本部分的课标建议课时为大约16课时。相应的说明与建议主要有：1、一元二次不等式教学中，应注重使学生了解一元二次不等式的实际背景。求解一元二次不等式，首先可求出相应方程的根，然后根据相应函数的图象求出不等式的解；也可以运用代数的方法求解。鼓励学生设计求解一元二次不等式的程序框图。2、不等式有丰富的实际背景，是刻画区域的重要工具。刻画区域是解决线性规划问题的一个基本步骤，教学中可以从实际背景引入二元一次不等式组。3、线性规划是优化的具体模型之一。在本模块的教学中，教师应引导学生体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题，不必引入很多名词。（二）不等式选讲部分此部分文理科考生的对待方式见的异同我们已在“综述”部分有所讲解，次不赘述。本专题主要介绍几个数学中重要的不等式以及数学归纳法。本专题特别强调不等式及其证明的几何意义与背景，以加深学生对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力。从文理科学习之间的异同的角度，我们可以将本专题内容分为两部分：前半部分，文理科同等要求，且均在必修过程中已基本讲解到位；后半部分，只对理科生做简单要求，即高考时所考题目难度不大，基本上可直接套用公式，或只需经简单并行即可套用公式，同时，也不是必做题。下面，我们把新课标中的内容与要求重点性的摘录于此，以供诸位师生探讨，同时也作为本部分内容的一个基本总结，后文将不再详细展开。1、理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明三角不等式等。2、认识柯西不等式的几种不同形式。3、了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题。4、会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。35、通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。三、考点归纳与题型讲解之“不等式的求解”（一）、不等式的性质1、不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。2、两个实数的大小：baba0；baba0；baba03、不等式的基本性质：(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式．不等号的方向不变．如果ab，那么cbca.(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果,0abc，那么bcac（或cbca）.（3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果ba,0c,那么bcac（或cbca）由上面三条可以衍生出如下的性质：（1）abba（对称性）（2）cacbba,（传递性）（3）cbcaba（加法单调性）（4）dbcadcba,（同向不等式相加）（5）dbcadcba,（异向不等式相减）（6）bcaccba0,（7）bcaccba0,（乘法单调性）（8）bdacdcba0,0（同向不等式相乘）4(9)0,0ababcdcd（异向不等式相除）11(10),0ababab（倒数关系）（11）)1,(0nZnbabann且（平方法则）（12）)1,(0nZnbabann且（开方法则）4．例题：（1）已知11xy，13xy，则3xy的取值范围是______（答：137xy）；（2）已知cba，且,0cba则ac的取值范围是______（答：12,2）（二）解一元一次不等式（组）1．一元一次不等式1.1定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．注：一元一次不等式的一般形式是ax+bO或ax+bO(a≠O，a，b为已知数)．1.2解一元一次不等式的一般步骤(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)化系数为1．说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．2.一元一次不等式组2.1定义：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．说明：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多．52.2一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．2.3.不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型（设ab）不等式组图示解集xaxbbaxa（同大取大）xaxbbaxb（同小取小）xaxbbabxa（大小交叉取中间）xaxbba无解（大小分离解为空）2．4.解一元一次不等式组的步骤(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；(2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集．3．例题讲解【例1】解不等式组2(1)3253xxxx，并把它的解集在数轴上表示出来.解:解不等式①得1x，解不等式②得5x，不等式①和②的解集在数轴上表示如下：∴原不等式组的解集是51x.（三）解一元二次不等式（组）1：一元二次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。5-1012346比如：.任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：或.2：一般的一元二次不等式的解法：一元二次不等式的解集可以联系二次函数的图象，图象在轴上方部分对应的横坐标值的集合为不等式的解集，图象在轴下方部分对应的横坐标值的集合为不等式的解集.设一元二次方程的两根为且，，则相应的不等式的解集的各种情况如下表：(a0)的图象有两相异实根有两相等实根无实根}|{21xxxxx或注：表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，可先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；3：规律方法指导3.1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；3.2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3.3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应7分类讨论；3.4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；3.5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数（四）．解分式不等式1.形如f(x)/g(x)0或f(x)/g(x)0（其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为０）的不等式称为分式不等式。通俗的说就是分母中含未知数的不等式称之为分式不等式。2.归纳分式不等式的解法：（不知道分母正负的时候）化分式不等式为标准型：方法：移项，通分，右边化为0，左边化为)()(xgxf的形式将分式不等式进行形如以下四类的等价变形：（1）()0()fxgx0)()(xgxf（2）()0()fxgx0)()(xgxf（3）()0()fxgx0)(0)()(xgxgxf（4）()0()fxgx0)(0)()(xgxgxf3.例题讲解：解不等式：073xx.解法1：化为两个不等式组来解：∵073xx07030703xxxx或x∈φ或37x37x，∴原不等式的解集是37|xx.8解法2：化为二次不等式来解：∵073xx0)7)(3(xx37x，∴原不等式的解集是37|xx点评：提倡用解法2，避免分类讨论，提高解题速率。变式1：解不等式073xx解：073xx70)7)(3(xxx且37x原不等式的解集是{x|-7x3}变式3：解不等式173xx解：}7{707100173173xxxxxxxx原不等式的解集是注：如果知道分母的正负，则可以去分母，化分式不等式为整式不等式。（五）．解高次不等式（可分解的）1.解高次不等式的步骤：（1）因式分解（2）未知数系数化正（3）穿根（从右上角开始，奇穿偶回）2.穿根法使用步骤：①将不等式化为)0(0)())()((321nxxxxxxxx形式，并将各因式x的系数化“+”；②求方程0)())()((321nxxxxxxxx各根，并在数轴上表示出来（从小根到大根按从左至右方向表示）。③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点④若不等式（x的系数化“+”后）是“0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“0”,则找“线”在x轴下方的区间.9说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；3.例题讲解：例1.解不等式：0322322xxxx.解：∵0322322xxxx0320)32)(23(222xxxxxx0)1)(3(0)1)(3)(2)(1(xxxxxx，用穿根法（零点分段法）画图如下：∴原不等式的解集为{x|-1x1或2x3}.例2解不等式：0)1()3()2(3