四种命题与充要条件

第1页共11页常用逻辑用语与充要条件【高考考情解读】1.本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查.2.试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基础知识和基本技能，题目难度中等偏下．1．命题的定义用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)原命题为“若p则q”，则它的逆命题为若q则p；否命题为若┐p则┐q；逆否命题为若┐q则┐p.(2)原命题与它的逆否命题等价；逆命题与它的否命题等价．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理，即，可以转化为判断它的逆否命题的真假．命题真假判断的方法：(1)对于一些简单命题，若判断其为真命题需推理证明．若判断其为假命题只需举出一个反例．(2)对于复合命题的真假判断应利用真值表．(3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，判断其逆否命题的真假．3．充分条件与必要条件的定义(1)若p⇒q且qp，则p是q的充分非必要条件．(2)若q⇒p且pq，则p是q的必要非充分条件．(3)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件．(4)若pq且qp，则p是q的非充分非必要条件．设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有第2页共11页(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件；(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A⃘B，且B⃘A，则p是q的既不充分也不必要条件．2．充分、必要条件的判定方法(1)定义法，直接判断若p则q、若q则p的真假．(2)传递法．(3)集合法：若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则①若A⊆B，则p是q的充分条件；②若B⊆A，则p是q的必要条件；③若A＝B，则p是q的充要条件．(4)等价命题法：利用A⇒B与┐B⇒┐A，B⇒A与┐A⇒┐B，A⇔B与┐B⇔┐A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法，利用原命题和逆否命题是等价的这个结论，有时可以准确快捷地得出结果，是反证法的理论基础．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词．(2)简单复合命题的真值表：pq┐p┐qp或qp且q┐(p或q)┐(p且q)┐p或┐q┐p且┐q真真假假真真假假假假真假假真真假假真真假假真真假真假假真真假假假真真假假真真真真2.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题．4．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．第3页共11页(2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.注：1．逻辑联结词“或”的含义逻辑联结词中的“或”的含义，与并集概念中的“或”的含义相同．如“x∈A或x∈B”，是指：x∈A且x∉B；x∉A且x∈B；x∈A且x∈B三种情况．再如“p真或q真”是指：p真且q假；p假且q真；p真且q真三种情况．2．命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．3．含一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．1．(2013·皖南八校)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析依题意得原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．选B.2．(2012·湖北)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数答案B解析这是一个特称命题，特称命题的否定不仅仅要否定结论而且要将相应的存在量词“存在一个”改为全称量词“任意一个”，故选B。2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c23B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c23C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3答案A解析从“否命题”的形式入手，但要注意“否命题”与“命题的否定”的区别．命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以A正确．第4页共11页【山东省临沂市某重点中学2014届高三9月月考】命题“若函数()log(0,1)afxxaa在其定义域内是减函数，则log20a.”的逆否命题是（）A．若log20a，则函数()log(0,1)afxxaa在其定义域内不是减函数B．若log20a，则函数()log(0,1)afxxaa在其定义域内不是减函数C．若log20a，则函数()log(0,1)afxxaa在其定义域内是减函数D．若log20a，则函数()log(0,1)afxxaa在其定义域内是减函数命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数答案C解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.5．与命题“若a∈M，则b∉M”等价的命题是()A．若a∉M，则b∉MB．若b∉M，则a∈MC．若a∉M，则b∈MD．若b∈M，则a∉M解析：因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可．故选D.答案：D4．下列命题中为真命题的是()A．命题“若xy，则x|y|”的逆命题B．命题“若x1，则x21”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x20，则x1”的逆否命题答案A第5页共11页解析对于A，其逆命题：若x|y|，则xy，是真命题，这是因为x|y|＝yy≥0－yy0，必有xy；对于B，否命题：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝251；对于C，其否命题：若x≠1，则x2＋x－2≠0，因为x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以是假命题；对于D，若x20，则x0或x0，不一定有x1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A.2．已知命题p：∃n∈N,2n＞1000，则┐p为()．A．∀n∈N,2n≤1000B．∀n∈N,2n＞1000C．∃n∈N,2n≤1000D．∃n∈N,2n＜1000解析特称命题的否定是全称命题．即p：∃x∈M，p(x)，则┐p：∀x∈M，┐p(x)．故选A.答案A4．(2012·湖北改编)命题“存在x0∈∁RQ，x30∈Q”的否定是()A．存在x0D∈/∁RQ，x30∈QB．存在x0∈∁RQ，x30D∈/QC．任意xD∈/∁RQ，x3∈QD．任意x∈∁RQ，x3D∈/Q答案D解析“存在”的否定是“任意”，x3∈Q的否定是x3D∈/Q.命题“存在x0∈∁RQ，x30∈Q”的否定是“任意x∈∁RQ，x3D∈/Q”，故应选D.1．(2011·安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定．．是()A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数答案D解析由于全称命题的否定是特称命题，本题“所有能被2整除的整数都是偶数”是全称命题，其否定为特称命题“存在一个能被2整除的整数不是偶数”．2．(2012·辽宁改编)已知命题p：对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))·(x2－x1)≥0，则┐p是()A．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)0D．对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)0答案C解析┐p：存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)0.2．(2012·安徽)命题“存在实数x，使x1”的否定．．是()A．对任意实数x，都有x1B．不存在实数x，使x≤1第6页共11页C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1答案C解析利用特称命题的否定是全称命题求解．“存在实数x，使x1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C.11．给出以下三个命题：①若ab≤0，则a≤0或b≤0；②在△ABC中，若sinA＝sinB，则A＝B；③在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是()A．①B．②C．③D．②③答案(1)A(2)B解析(1)不等式2x2＋x－10的解集为xx12或x－1，故由x12⇒2x2＋x－10，但2x2＋x－10D⇒/x12，故选A.(2)在△ABC中，由正弦定理得sinA＝sinB⇔a＝b⇔A＝B.故选B.6．下列结论：①若命题p：存在x∈R，tanx＝1；命题q：对任意x∈R，x2－x＋10.则命题“p且┐q”是假命题；②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是ab＝－3；③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．答案①③解析①中命题p为真命题，命题q为真命题，所以p且┐q为假命题，故①正确；②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；③正确．所以正确结论的序号为①③.5．下列命题中正确命题的序号是________．①若ac2bc2，则ab；②若sinα＝sinβ，则α＝β；③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；④若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．答案①③④解析对于①，ac2bc2，c20，∴ab正确；对于②，sin30°＝sin150°D⇒/30°＝150°，所以②错误；对于③，l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，即－2a＝－4a⇒a＝0且A1C2≠A2C1，所以③对；对于④显第7页共11页然对．6．已知p(x)：x2＋2x－m0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．答案[3,8)解析因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m0，解得m8.故实数m的取值范围是3≤m8.以下命题是真命题的序号是________．(1)“若f(x)是奇函数，则f(－x)也是奇函数”的逆命题；(2)“若x，y是偶数，则x＋y也是偶数”的否命题；(3)“正三角形的三个内角均为60°”的否命题；(4)“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的逆否命题；【解析】对于(4)，只需证明原命题为真，∵a＋b＋c＝3，∴(a＋b＋c)2＝9.∴a2＋b2＋c