高考压轴题数列50例

1/24高考压轴题瓶颈系列之——浙江卷数列【见证高考卷之特仑苏】1.【2014年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知数列na和nbNnaaanbn221.若na为等比数列，且.6,2231bba(Ⅰ)求na与nb；(Ⅱ)设Nnbacnnn11。记数列nc的前n项和为nS.（i）求nS；（ii）求正整数k，使得对任意Nn，均有nkSS．2.【2011年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列{}na的首项1aa(aR),设数列的前n项和为nS，且11a，21a，41a成等比数列（Ⅰ）求数列{}na的通项公式及nS（Ⅱ）记1231111...nnASSSS，212221111...nnBaaaa，当2n时，试比较nA与nB的大2/243.【2008年.浙江卷.理22】（本题14分）已知数列na，0na，01a，22111()nnnaaanN．nnaaaS21)1()1)(1(1)1)(1(11121211nnaaaaaaT．求证：当Nn时，（Ⅰ）1nnaa；（Ⅱ）2nSn；（Ⅲ）3nT。4.【2007年.浙江卷.理21】（本题15分）已知数列{}na中的相邻两项21,2kkaa是关于x的方程2(32)320kkxkxk的两个根，且212(1,2,3,)kkaak（Ⅰ）求1,357,,aaaa；（Ⅱ）求数列{}na的前2n项的和2nS；（Ⅲ）记1|sin|()(3)2sinnfnn，(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)ffffnnnnTaaaaaaaa求证：*15()624nTnN3/245.（2015年浙江卷第20题）2*111,()2nnnaaaanN（1）求证：112nnaa（2）设数列2{}na的前n项和为nS，证明：*11()2(2)2(1)nSnNnnn6.【2016高考浙江理数】设数列na满足112nnaa，n．（I）证明：1122nnaa，n；（II）若32nna，n，证明：2na，n．4/24【例题讲解之伊利奶粉】例1．（浙江省新高考研究联盟2017届高三下学期期初联考）已知数列na满足a1=3，2*12,nnnaaanN，设2log(1)nnba.（I）求{}na的通项公式；（II）求证：1111++++(2)231nnnb；（III）若2ncnb，求证：2≤1()nnncc3.例2．（浙江省温州中学2017届高三3月高考模拟）正项数列na满足221132nnnnaaaa，11a．（Ⅰ）求2a的值；（Ⅱ）证明：对任意的nN，12nnaa；（Ⅲ）记数列na的前n项和为nS，证明：对任意的nN，11232nnS．5/24例3．（浙江省温州市十校联合体2017届高三上学期期末）已知数列{}na满足21111,8nnaaam，(1)若数列{}na是常数列，求m的值；（2）当1m时，求证：1nnaa；（3）求最大的正数m，使得4na对一切整数n恒成立，并证明你的结论。例4．（浙江省温州市2017届高三下学期返校联考）设数列均为正项数列，其中，且满足：成等比数列，成等差数列。（Ⅰ）（1）证明数列是等差数列；（2）求通项公式，。（Ⅱ）设，数列的前项和记为，证明：。6/24例5．（浙江省台州市2017届高三上学期期末质量评估）已知数列na满足112a，212016nnnaaa，nN(1)求证1nnaa(2)求证20171a(3)若证1ka，求证整数k的最小值。例6.（浙江省杭州高级中学2017届高三2月高考模拟考试）数列na定义为10a，11aa，2112nnnaaa，nN（1）若1(0)12aaaa，求1210111222aaa的值；（2）当0a时，定义数列nb，1(12)kbak，1112nnbb，是否存在正整数,()ijij，使得211212ijbbaaa。如果存在，求出一组(,)ij，如果不存在，说明理由。7/24例7．（2017年浙江名校协作体高三下学期）函数4()415fxx，（Ⅰ）求方程()fxx的实数解；（Ⅱ）如果数列na满足11a，1()nnafa（nN），是否存在实数c，使得221nnaca对所有的nN都成立？证明你的结论．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：1214nnaaanL．例8．（2017年4月湖州、衢州、丽水三地教学质量检测）数列na满足112a，2121nnnnaaaanN（）（1）证明：nnaa1；（2）设}{na的前n项的和为nS，证明：1nS.8/24例9．（2017年4月浙江金华十校联考）数列na满足11a，11nnaannN（）(1)求证：21nnaann；(2)求证：3421112(11....23(1)）nnnaana例10.（2017年4月高二期中考试）数列na满足11a，11nnnaaanN（），其中1na前n项和为nS，其中21na前n项和为nT(1)求证：1nnaa；(2)求证：2121nnTan(3)求证：212nnSn9/24例11．（2017年4月稽阳联谊高三联考）已知数列na满足013a，1112nnaanN（），22nnnbaa，其中nb的前n项和为nS，(1)求证：11nnaa；(2)求证：1022nSnn例12．（2017年4月温州市普通高中模拟考试）已知数列na的各项都是正数，121nnnaaa，其中na的前n项和为nS，若数列na为递增数列求1a的取值范围例13：（2016浙江高考样卷20题）已知数列na满足11a，*11()21nnanNa．（Ⅰ）证明：数列12na为单调递减数列；10/24（Ⅱ）记nS为数列1nnaa的前n项和，证明：*5()3nSnN．例14：（2016杭州市第一次模拟质量检测）已知数列na满足112a，2*11()nnnaaanN．（1）证明：13nnaa；（2）证明：数列1na前n项的和为ns，那么3nS例15：（2016宁波市第一次模拟质量检测）对任意正整数n,设na是方程21xxn的正根，求证：(1)1aann(2)11111112323123aanann例16：（2016温州市第一次模拟质量检测）数列满足1102a，nnnaaa611（Ⅰ）证明：2121(N)2nnaan；na11/24（Ⅱ）若113a，求证：213214||||||(N)3nnaaaaaan．（本题与例13的题型一样）例17：（2016年金华市模拟）已知数列na的首项为11a,且141nnnaaa，*nN．（Ⅰ）求证：21212nnaa；（Ⅱ）令212nnba，12nnSbbb．求证:9171896nnS．例18：（2016名校联盟第一次模拟20）设数列{}na满足2*11,1()nnnaaaaanN.（Ⅰ）若352a，求实数a的值；（Ⅱ）若1a，求证：*3(2,)2nannnN.12/24例19.(2016嘉兴一模)数列{}na各项均为正数，112a，且对任意的*nN，有21(0)nnnaacac．（Ⅰ）求123111cccacaa的值；（Ⅱ）若12016c,是否存在*nN，使得1na，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．（本题就是例5，不过要判断出11,1nnaa的界限）例20.（2016浙江六校联考20）已知数列{}na满足：114()2nnnaaa；（Ⅰ）若34120a，求1a的值；13/24（II）若14a，记2nnba，数列{}nb的前n项和为nS，求证：83nS例21（2016丽水一模20）已知数列{}na满足：2*12()nnaanN，且11(01)aaaa．（Ⅰ）证明：1nnaa；（Ⅱ）若不等式112123123111112naaaaaaaaaa对任意*nN都成立，求实数a的取值范围．例22.（2016十二校联考20）．已知各项为正的数列{}na满足22*11112,()233nnnaaaanN．14/24（I）证明：*101()nnaanN；（II）求证：*129()4naaannN.例23.（2016宁波十校20）设各项均为正数的数列的前项和满足.（Ⅰ）若，求数列的通项公式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设，数列的前项和为,求证：.例24.(2016桐乡一模20)设函数2(),fxaxbxabR、．若231()62xfxx15/24对任意的xR恒成立．数列{}na满足*111,()()3nnaafanN.（Ⅰ）确定()fx的解析式；（Ⅱ）证明：1132na；（Ⅲ）设nS为数列{}na的前n项和，求证：14213nnSn.例25.（2016大联考20）.已知数列满足，其中常数.(1)若，求的取值范围；(2)若，求证：对任意，都有；(3)若，设数列的前项和为.求证：.例26.（2016宁波二模）已知数列中，，.16/24（Ⅰ）若t=0,求数列的通项公式。（Ⅱ）若t=1，求证：。例27.（嘉兴二模20）．已知数列2(,)nnPxx与(,0)nnAa满足1nnxx，11nnnnPPAP，且11nnnnPPAP，其中*1,1nNx．（Ⅰ）求1nx与nx的关系式；（Ⅱ）求证：222222314nnxxxn.17/24例28.（2016温州二模20）设正项数列{}na满足：11a，且对任意的,,nmNnm，均有2222nmnmaanm成立.（1）求23,aa的值，并求{}na的通项公式；（2）（ⅰ）比较2121nnaa与22na的大小；（ⅱ）证明：2421321()1nnnaaaaaan.例29（2016五校联考二20）已知正项数列满足：，其中为数列的前项的和。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求证：。18/24例30.（2016诸暨质检20）已知数列的各项都大于1，且（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求证：【课后习之三鹿奶粉】例1．设数列na满足2*11nnnaaanN，nS为na的前n项和.证明：对任意*nN，（Ⅰ）当101a≤≤时，01na≤≤；（Ⅱ）当11a时，1111nnaaa；（Ⅲ）当112a时，2nnnSn.例2．已知数列na满足2111()2nnnaaabanN且(1),1b求证:211nnaa(2),2b数列na211的前nSn项和为，求证:1321nnS19/24例3．已知各项均为正数的数列na，11a，前n项和为nS，且122nnnSaa.(1)求证：4212nnnaaS(2)求证：212121nnnSSSSS例4．设)(,,)(,2211xfxBxfxA是函数xxxf1log21)(2的图象上的任意两点.（1）当121xx时，求)()(21xfxf的值；（2）设