离散数学(第二版)最全课后习题答案详解

习题一1.下列句子中,哪些是命题？在是命题的句子中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（1）中国有四大发明.答：此命题是简单命题，其真值为1.（2）5是无理数.答：此命题是简单命题，其真值为1.（3）3是素数或4是素数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为1.（4）2x+35答：不是命题.（5）你去图书馆吗？答：不是命题.（6）2与3是偶数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（7）刘红与魏新是同学.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.（8）这朵玫瑰花多美丽呀！答：不是命题.（9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命题.（10）圆的面积等于半径的平方乘以π.答：此命题是简单命题，其真值为1.（11）只有6是偶数，3才能是2的倍数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（13）2008年元旦下大雪.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:（1）p：中国有四大发明.（2）p:是无理数.（7）p:刘红与魏新是同学.（10）p:圆的面积等于半径的平方乘以π.（13）p:2008年元旦下大雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.（1）5是有理数.答：否定式：5是无理数.p：5是有理数.q：5是无理数.其否定式q的真值为1.（2）25不是无理数.答：否定式：25是有理数.p：25不是无理数.q：25是有理数.其否定式q的真值为1.（3）2.5是自然数.答：否定式：2.5不是自然数.p：2.5是自然数.q：2.5不是自然数.其否定式q的真值为1.（4）ln1是整数.答：否定式：ln1不是整数.p：ln1是整数.q：ln1不是整数.其否定式q的真值为1.4.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2与5都是素数答：p：2是素数，q：5是素数，符号化为pq∧，其真值为1.（2）不但π是无理数，而且自然对数的底e也是无理数.答：p：π是无理数，q：自然对数的底e是无理数，符号化为pq∧，其真值为1.（3）虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数.答：p：2是最小的素数，q：2是最小的自然数，符号化为pq∧¬，其真值为1.（4）3是偶素数.答：p：3是素数，q：3是偶数，符号化为pq∧，其真值为0.（5）4既不是素数，也不是偶数.答：p：4是素数，q：4是偶数，符号化为¬∧¬pq，其真值为0.5.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2或3是偶数.（2）2或4是偶数.（3）3或5是偶数.（4）3不是偶数或4不是偶数.（5）3不是素数或4不是偶数.答:p：2是偶数，q：3是偶数，r:3是素数，s:4是偶数,t:5是偶数(1)符号化:pq∨，其真值为1.(2)符号化：pr∨，其真值为1.(3)符号化：rt∨，其真值为0.(4)符号化：¬∨¬qs，其真值为1.(5)符号化：¬∨¬rs，其真值为0.6.将下列命题符号化.（1）小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨.答：p：小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨，符号化为:pq∨.（2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课.答：p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语，符号化为:(¬∧∨∧¬pq)(pq).7.设p：王冬生于1971年，q：王冬生于1972年，说明命题“王冬生于1971年或1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表：pq0000011110111101根据真值表,可以判断出,只有当p与q同时为真时两种符号化的表示才会有不同的真值,但结合命题可以发现,p与q不可能同时为真,故上述命题有两种符号化方式.8.将下列命题符号化,并指出真值.（1）只要；（2）如果；（3）只有；（4）除非；（5）除非；（6）.答:设p:.符号化真值（1）1（2）1（3）0（4）0（5）0,则:;设q:,则:仅当,否则,才有,才有,则,就有（6）19.设p：俄罗斯位于南半球,q：亚洲人口最多,将下面命题用自然语言表述,并指出其真值：（1）；（2）；；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.答:根据题意,p为假命题,q为真命题.自然语言真值（1）只要俄罗斯位于南半球,亚洲人口就最多1（2）只要亚洲人口最多,俄罗斯就位于南半球0（3）只要俄罗斯不位于南半球,亚洲人口就最多1（4）只要俄罗斯位于南半球，亚洲人口就不是最多1（5）只要亚洲人口不是最多，俄罗斯就位于南半球1（6）只要俄罗斯不位于南半球，亚洲人口就不是最多0（7）只要亚洲人口不是最多，俄罗斯就不位于南半球110．设p：9是3的倍数,q：英国与土耳其相邻,将下面命题用自然语言表述,并指出真值：（1）；（2）；（3）；（4）.答:根据题意,p为真命题,q为假命题.自然语言真值（1）9是3的倍数当且仅当英语与土耳其相邻0（2）9是3的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻1（3）9不是3的倍数当且仅当英语与土耳其相邻1（4）9不是3的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻011．将下列命题符号化,并给出各命题的真值：（1）若2+2=4,则地球是静止不动的；（2）若2+2=4,则地球是运动不止的；（3）若地球上没有树木,则人类不能生存；（4）若地球上没有水,则是无理数.答:命题1命题2符号化真值（1）p:2+2=4q:地球是静止不动的0（2）p:2+2=4q:地球是静止不动的1（3）p:地球上有树木q:人类能生存1（4）p:地球上有树木q:人类能生存112.将下列命题符号化,并给出各命题的真值：（1）2+2=4当且仅当3+3=6；（2）2+2=4的充要条件是3+36；（3）2+24与3+3=6互为充要条件；（4）若2+24,则3+36,反之亦然.答:设p:2+2=4,q:3+3=6.符号化真值(1)1(2)0(3)0(4)113.将下列命题符号化,并讨论各命题的真值：（1）若今天是星期一,则明天是星期二；（2）只有今天是星期一,明天才是星期二；（3）今天是星期一当且仅当明天是星期二；（4）若今天是星期一,则明天是星期三.答:设p:今天是星期一,q:明天是星期二,r:明天是星期三.符号化真值讨论(1)不会出现前句为真,后句为假的情况(2)不会出现前句为真,后句为假的情况(3)必然为1(4)若p为真,则真值为0;若p为假,则真值为114.将下列命题符号化：（1）刘晓月跑得快,跳得高；（2）老王是山东人或者河北人；（3）因为天气冷,所以我穿了羽绒服；（4）王欢与李乐组成一个小组；（5）李欣与李末是兄弟；（6）王强与刘威都学过法语；（7）他一面吃饭,一面听音乐；（8）如果天下大雨,他就乘班车上班；（9）只有天下大雨,他才乘班车上班；（10）除非天下大雨,否则他不乘班车上班；（11）下雪路滑,他迟到了；（12）2与4都是素数,这是不对的；（13）“2或4是素数,这是不对的”是不对的.答:命题1命题2命题3符号化(1)p:刘晓月跑得快q:刘晓月跳得高-(2)p:老王是山东人q:老王是河北人-(3)p:天气冷q:我穿羽绒服-(4)p:王欢与李乐组成一个小组--p:王欢与李乐组成一个小组(5)p:李辛与李末是兄弟--p:李辛与李末是兄弟(6)p:王强学过法语q:刘威学过法语-(7)p:他吃饭q:他听音乐-(8)p:天下大雨q:他乘车上班-(9)p:天下大雨q:他乘车上班-(10)p:天下大雨q:他乘车上班-(11)p:下雪q:路滑r:他迟到了(12)p:2是素数q:4是素数-(13)p:2是素数q:4是素数-15.设p：2+3=5.q：大熊猫产在中国.r:太阳从西方升起.求下列符合命题的真值：（1）（2）（3）（4）解：p真值为1，q真值为1，r真值为0.（1）0，（2）0，（3）0，（4）116.当p,q的真值为0,r,s的真值为1时,求下列各命题公式的真值：（1）（2）（3）（4）解：（1）0，（2）0，（3）0，（4）117.判断下面一段论述是否为真：“是无理数.并且,如果3是无理数,则也是无理数.另外,只有6能被2整除,6才能被4整除.”是无理数s:6能被2整除t：6能被4整除符号化为:，该式为重言式，所以论述为真。18.在什么情况下,下面一段论述是真的:“说小王不会唱歌或小李不会跳舞是正确的,而说如果小王会唱歌,小李就会跳舞是不正确的.”解：p:小王会唱歌。q:小李会跳舞。真值为1.真值为0.可得，p真值为1，q真值为0.所以，小王会唱歌，小李不会跳舞。19.用真值表判断下列公式的类型:（1）（2）p（3）（4）（5）（6）（7）.解：（1）pqr00010011010101111001解：p:是无理数q:3是无理数r:101111011111此式为重言式（2）pq（p001010101111此式为可满足式（3）qr000010100110此式为矛盾式（4）pq001011101111此式为重言式（5）pqr00000010010101111001101011011110此式为可满足式（6）pqr00010011010101111001101111011111此式为重言式（7）pqrs00001000100010000111010010101001100011111000010010101011011111001110101110011111此式为可满足式20.求下列公式的成真赋值：（1）（2）（3）（4）解：pq000110011011101111111101由真值表得：（1）的成真赋值是01，10,11（2）的成真赋值是00，10,11（3）的成真赋值是00，01,10（4）的成真赋值是01，10,1121.求下列各公式的成假赋值：（1）（2）（3）解：pqr000111001111010101011011100110101110110101111111由真值表得：（1）的成假赋值是011（2）的成假赋值是010,110（3）的成假赋值是100,10122.已知公式是矛盾式，求公式成真和成假赋值.解：∵是矛盾式∴也是矛盾式。由此可得：该式无成真赋值。而成假赋值为：000,001,010,011,100,101,110,11123.已知公式是重言式,求公式的成真和成假赋值.解：∵是重言式，∴也是重言式。由此可得：该式无成假赋值。而成真赋值为：000,001,010,011,100,101,110,11124.已知是重言式，试判断公式及的类型.解：∵是重言式，而要使该式为重言式，其成真赋值只有11，∴都是重言式。25.已知是矛盾式，试判断公式及的类型.解：∵是矛盾式，而要使该式为矛盾式，其成假赋值只有00，∴都是重言式。26.已知是重言式，是矛盾式，试判断的类型.解：是矛盾式。是重言式。27.设A、B都是含命题变量项p1,p2,…,pn的公式,证明:是重言式当且仅当A和B都是重言式.及解：AB000010100111由真值表可得，当且仅当A和B都是重言式时，是重言式。28.设A、B都是含命题变量项p1,p2,…,pn的公式,已知是矛盾式,能得出A和B都是矛盾式的结论吗?为什么?解：AB000010100111同样由真值表可得，的成假赋值有00,01,10.所以无法得到A和B都是矛盾式。29.设A、B都是含命题变量项p1,p2,…,pn的公式,证明:是矛盾式当且仅当A和B都是矛盾式.解：AB000011101111由真值表可得，当且仅当A和B都是矛盾式时，是矛盾式。30.设A、B都是含命题变量项p1,p2,…,pn的公式,已知是重言式,能得出A和B都是重言式的结论吗?解：AB000011101111由真值表可得的成真赋值有01,10，11.所以无法得到A和B都是重言式。习题二1.设公式Apq=→,Bpq=∧¬，用真值表验证公式A和B适合德摩根律：¬∨⇔¬∧¬(AB)ABpqAB¬∨(AB)¬∧¬AB0010110110001001001110002.公式A和B同题（1），用真值表验证公式A和B适合蕴涵等值式.AB→⇔¬∨ABpqABAB→¬∨AB001000011000100111