简单的线性规划问题

上一页返回首页下一页阶段一阶段二阶段三学业分层测评3.3.2简单的线性规划问题上一页返回首页下一页1．了解线性规划的意义，能根据线性约束条件建立目标函数．(重点)2．理解并初步运用线性规划的图解法解决一些实际问题．(重点、难点)3．理解目标函数的最大、小值与其对应直线的截距的关系．(易混点)上一页返回首页下一页[基础·初探]教材整理1线性规划中的基本概念阅读教材P87～P88探究，完成下列问题．线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的________线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组不等式组上一页返回首页下一页目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足____________的解(x，y)可行域所有_______组成的集合最优解使目标函数取得____________的可行解线性规划问题在________条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题线性约束条件可行解最大或最小值线性约束上一页返回首页下一页判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)可行域是一个封闭的区域．()(2)在线性约束条件下，最优解是唯一的．()(3)最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解．()(4)线性规划问题一定存在最优解．()上一页返回首页下一页【解析】(1)错误．可行域是约束条件表示的平面区域，不一定是封闭的．(2)错误．在线性约束条件下，最优解可能有一个或多个，也可能有无数个，也可能无最优解，故该说法错误．(3)正确．满足线性约束条件的解称为可行解，但不一定是最优解，只有使目标函数取得最大值或最小值的可行解，才是最优解，所以最优解一定是可行解．(4)错误．线性规划问题不一定存在可行解，存在可行解也不一定存在最优解，故该说法是错误的．【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×上一页返回首页下一页教材整理2简单的线性规划阅读教材P88例5～P90例7，完成下列问题．线性目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－abx＋zb，它表示斜率为－ab，在y轴上的截距是zb的一条直线，当z变化时，方程表示一组________的直线．当b0，截距最大时，z取得____值，截距最小时，z取得____值；当b0，截距最大时，z取得____值，截距最小时，z取得____值．互相平行最大最小最小最大上一页返回首页下一页1．若x≥0，y≥0，x＋y≤1，则z＝x－y的最大值为________．上一页返回首页下一页【解析】根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示．上一页返回首页下一页令z＝0，作直线l：y－x＝0.当直线l向下平移时，所对应的z＝x－y的函数值随之增大，当直线l经过可行域的顶点M时，z＝x－y取得最大值．顶点M是直线x＋y＝1与直线y＝0的交点，解方程组x＋y＝1，y＝0，得顶点M的坐标为(1,0)，代入z＝x－y，得zmax＝1.【答案】1上一页返回首页下一页2．设变量x，y满足约束条件x＋y－2≥0，x－y－2≤0，y≥1，则目标函数z＝x＋2y的最小值为________.上一页返回首页下一页【解析】由线性约束条件画出可行域(如图所示)．由z＝x＋2y，得y＝－12x＋12z，12z的几何意义是直线y＝－12x＋12z在y轴上的截距，要使z最小，需使12z最小，易知当直线y＝－12x＋12z过点A(1,1)时，z最小，最小值为3.【答案】3上一页返回首页下一页3．(2015·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件x＋y－5≤0，2x－y－1≥0，x－2y＋1≤0，则z＝2x＋y的最大值为________．上一页返回首页下一页【解析】画出可行域(如图所示)，通过平移直线y＝－2x分析最优解．上一页返回首页下一页∵z＝2x＋y，∴y＝－2x＋z，将直线y＝－2x向上平移，经过点B时z取得最大值．由x＋y－5＝0，x－2y＋1＝0，解得x＝3，y＝2，∴zmax＝2×3＋2＝8.【答案】8上一页返回首页下一页[小组合作型]求线性目标函数的最值问题(1)(2015·湖南高考)若变量x，y满足约束条件x＋y≥1，y－x≤1，x≤1，则z＝2x－y的最小值为()A．－1B．0C．1D．2上一页返回首页下一页(2)(2015·广东高考)若变量x，y满足约束条件x＋2y≤2，x＋y≥0，x≤4，则z＝2x＋3y的最大值为()A．2B．5C．8D．10上一页返回首页下一页(3)(2015·福建高考)变量x，y满足约束条件x＋y≥0，x－2y＋2≥0，mx－y≤0，若z＝2x－y的最大值为2，则实数m等于()A．－2B．－1C．1D．2【精彩点拨】按照线性规划的求解步骤进行求解．上一页返回首页下一页【自主解答】(1)画出可行域如图中阴影部分所示．由z＝2x－y得y＝2x－z，平移直线2x－y＝0，当直线过A点时，z取得最小值．由x＋y＝1，y－x＝1，得x＝0，y＝1，上一页返回首页下一页∴A(0,1)．∴当x＝0，y＝1时，zmin＝2×0－1＝－1，故选A.(2)法一画出可行域如图所示．由z＝2x＋3y，得y＝－23x＋z3，欲求z的最大值，可将直线y＝－23x向上平移，易知当经过B点时截距最大，即z取得最大值．由x＝4，x＋2y＝2，得x＝4，y＝－1，故B(4，－1)，则zmax＝2×4＋3×(－1)＝5.故选B.上一页返回首页下一页法二画出可行域如图所示．分别求出点A(－2,2)，点B(4，－1)，点C(4，－4)，代入z＝2x＋3y得z的值依次为2,5，－4，故z＝2x＋3y的最大值为5.故选B.上一页返回首页下一页(3)对于选项A，当m＝－2时，可行域如图(1)，直线y＝2x－z的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故A不正确；对于选项B，当m＝－1时，mx－y≤0等同于x＋y≥0，可行域如图(2)，直线y＝2x－z的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故B不正确；对于选项C，当m＝1时可行域如图(3)，当直线y＝2x－z过点A(2,2)时截距最小，z最大为2，满足题意，故C正确；对于选项D，当m＝2时，可行域如图(4)，直线y＝2x－z与直线2x－y＝0平行，截距最小值为0，z最大为0，不符合题意，故D不正确．故选C.上一页返回首页下一页【答案】(1)A(2)B(3)C上一页返回首页下一页1．解二元线性规划问题的一般步骤(1)画：在直角坐标平面上画出可行域和直线ax＋by＝0(目标函数为z＝ax＋by)；(2)移：平行移动直线ax＋by＝0，确定使z＝ax＋by取得最大值或最小值的点；(3)求：求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大值和最小值；(4)答：给出正确答案．上一页返回首页下一页2．一般地，对目标函数z＝ax＋by，若b0，则纵截距与z同号，因此，纵截距最大时，z也最大；若b0，则纵截距与z异号，因此，纵截距最大时，z反而最小．上一页返回首页下一页[再练一题]1．(2015·广东高考)若变量x，y满足约束条件4x＋5y≥8，1≤x≤3，0≤y≤2，则z＝3x＋2y的最小值为()A．4B.235C．6D.315上一页返回首页下一页【解析】不等式组4x＋5y≥8，1≤x≤3，0≤y≤2，表示的平面区域为如图所示的阴影部分，作直线l0：3x＋2y＝0，平移直线l0，当经过点A时，z取得最小值．上一页返回首页下一页此时x＝1，4x＋5y＝8，∴A1，45，∴zmin＝3×1＋2×45＝235.【答案】B上一页返回首页下一页2．(2015·北京高考)若x，y满足x－y≤0，x＋y≤1，x≥0，则z＝x＋2y的最大值为()A．0B．1C.32D．2上一页返回首页下一页【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如下图．作直线x＋2y＝0，向右上平移，当直线过点A(0,1)时，z＝x＋2y取最大值，即zmax＝0＋2×1＝2.【答案】D上一页返回首页下一页非线性目标函数的最优解问题变量x，y满足x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1.(1)设z＝yx，求z的最小值；(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围．上一页返回首页下一页【精彩点拨】(1)①式子z＝yx可进行怎样的改写？②y－0x－0表示的几何意义是什么？③当倾斜角是锐角时，斜率与倾斜角的大小关系是什么？(2)①代数式x2＋y2可以怎样进行改写？②x2＋y2的几何意义是什么？上一页返回首页下一页【自主解答】由约束条件x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1，作出(x，y)的可行域如图所示．上一页返回首页下一页由x＝1，3x＋5y－25＝0，解得A1，225.由x＝1，x－4y＋3＝0，解得C(1,1)，由x－4y＋3＝0，3x＋5y－25＝0，解得B(5,2)．上一页返回首页下一页(1)∵z＝yx＝y－0x－0，∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．观察图形可知zmin＝kOB＝25.(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域中的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域中的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝2，dmax＝|OB|＝29，∴2≤z≤29.上一页返回首页下一页1．利用线性规划求最值，关键是理解好线性目标函数的几何意义，从本题的求解过程可以看出，最优解一般在可行域的边界上，并且通常在可行域的顶点处取得，所以作图时要力求准确．上一页返回首页下一页2．非线性目标函数的最值的求解策略(1)z＝(x－a)2＋(y－b)2型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a，b)距离的平方，特别地，z＝x2＋y2型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方．(2)z＝y－bx－a型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．(3)z＝|Ax＋By＋C|可转化为点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的A2＋B2倍．上一页返回首页下一页[再练一题]3．设x，y满足条件x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3.(1)求u＝x2＋y2的最大值与最小值；(2)求v＝yx－5的最大值与最小值.上一页返回首页下一页【解】画出满足条件的可行域如图所示，上一页返回首页下一页(1)x2＋y2＝u表示一组同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点x2＋y2的值都相等，由图可知：当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆O过C点时，u最大，过(0,0)时，u最小．又C(3,8)，所以umax＝73，umin＝0.(2)v＝yx－5表示可行域内的点P(x，y)到定点D(5,0)的斜率，由图可知，kBD最大，kCD最小，又C(3,8)，B(3，－3)，所以vmax＝－33－5＝32，vmin＝83－5＝－4.上一页返回首页下一页[探究共研型]利用线性规划解决实际问题某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．上一页返回首页下一页探究1设投资甲、乙两个项目的资金分别为x、y万元，那么x、y应满足什么条件？【提示】x＋y≤60，x≥23y，x≥5，y≥5.上一页返回首页下一页探究2若公司对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，设该公司所获利润为z万元，那么z与x，y有何关系？【提示】根据公司所获利润＝投资项目甲获得的利润＋投资项目乙获得的利润，可得z与x，y的关系为z＝0.4x＋0.6y.上一页返回首页下一页探究3x，y应在什么条件下取值，x，y取值对利润z有无影响？【提示】x，y必须在线性约束条件x＋y≤60，x≥23y，x≥5，y≥5下取值．x，y取不同的值，直接影响z的取值．上一页返回首页下一页某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲