近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-2

近世代数课后习题参考答案第二章群论1群论1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?证不是一个群,因为不适合结合律.2.举一个有两个元的群的例子.证}1,1{G对于普通乘法来说是一个群.3.证明,我们也可以用条件1,2以及下面的条件''5,4来作群的定义:'4.G至少存在一个右单位元e,能让aae对于G的任何元a都成立'5.对于G的每一个元a,在G里至少存在一个右逆元,1a能让eaa1证(1)一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由eaa1得eaa1因为由'4G有元'a能使eaa'1所以))(()('111aaaaeaaeaaaeaaaaa'1'1'11][)]([即eaa1(2)一个右恒等元e一定也是一个左恒等元,意即由aae得aeaaaeaaaaaaea)()(11即aea这样就得到群的第二定义.(3)证bax可解取bax1bbebaabaa)()(11这就得到群的第一定义.反过来有群的定义得到''5,4是不困难的.2单位元,逆元,消去律1.若群G的每一个元都适合方程ex2,那么G就是交换群.证由条件知G中的任一元等于它的逆元,因此对Gba,有baababab111)(.2.在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.证(1)先证a的阶是n则1a的阶也是n.eeaaeannn111)()(若有nm使eam)(1即eam1)(因而1eameam这与a的阶是n矛盾.a的阶等于1a的阶(2)a的阶大于2,则1aa若eaaa21这与a的阶大于2矛盾(3)ba则11ba总起来可知阶大于2的元a与1a双双出现,因此有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数3.假定G是个数一个阶是偶数的有限群,在G里阶等于2的元的个数一定是奇数.证根据上题知,有限群G里的元大于2的个数是偶数;因此阶2的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,所以阶2的元的个数一定是奇数.4.一个有限群的每一个元的阶都是有限的.证Ga故Gaaaanm,,,,,,2由于G是有限群,所以这些元中至少有两个元相等:nmaa)(nm故eamnmn是整数,因而a的阶不超过它.4群的同态假定在两个群G和G的一个同态映射之下,aa，a和a的阶是不是一定相同?证不一定相同例如}231,231,1{iiG}1{G对普通乘法GG,都作成群,且1)(x(这里x是G的任意元,1是G的元)由可知G∽G但231,231ii的阶都是3.而1的阶是1.5变换群1.假定是集合的一个非一一变换,会不会有一个左逆元1,使得1?证我们的回答是回有的},3,2,1{A1:1→121→12→12→33→23→44→34→5……显然是一个非一一变换但12.假定A是所有实数作成的集合.证明.所有A的可以写成babaxx,,是有理数,0a形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群?证(1):baxx:dcxx:dcbcaxdbaxcx)(dcbca,是有理数0ca是关闭的.(2)显然时候结合律(3)1a0b则:xx(4):bax)(1:1abxax而1所以构成变换群.又1:1xx:2xx2:21)1(2xx:1212xx故1221因而不是交换群.3.假定S是一个集合A的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号:)('aaa来说明一个变换.证明,我们可以用21:)()]([2121aaa来规定一个S的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说还是S的单位元.证:1)(1aa:2)(2aa那么:21)()]([2121aaa显然也是A的一个变换.现在证这个乘法适合结合律:)]()[(:)(321321aa)]]([[321a)]([:)(321321aa)]]([[321a故)()(321321再证还是S的单位元:)(aaa:)()]([aaa:)()]([aaa4．证明一个变换群的单位元一定是恒等变换。证设是是变换群G的单位元G，G是变换群，故是一一变换，因此对集合A的任意元a，有A的元b，:)(bab))(()(aa=abb)()(aa)(另证)()(1xx根据.7.1习题3知xx)(1xx)(5.证明实数域上一切有逆的nn矩阵乘法来说，作成一个群。证G={实数域上一切有逆的nn矩阵}GBA,则11AB是AB的逆从而GBA,对矩阵乘法来说，G当然适合结合律且E（n阶的单位阵）是G的单位元。故G作成群。6置换群1.找出所有3S的不能和)(123231交换的元.证3S不能和)(123231交换的元有)(),(),(123321123213123132这是难验证的.2.把3S的所有的元写成不相连的循环置换的乘积解:3S的所有元用不相连的循环置换写出来是:(1),(12),(13),(23),(123),(132).3.证明:(1)两个不相连的循环置换可以交换(2))()(11121iiiiiikkk证(1)))((121mkkiiiii=)(11211132nmmkknmmkiiiiiiiiiiiii)(12121113221nmmkkknmkkkkiiiiiiiiiiiiiiii=()(121211132132niiiiiiiiiiiiiiiinmmkkkmkkk又mkkiii21())(21kiii=)(12121113221nmmkkknmkkkkiiiiiiiiiiiiiiii)(112111132nmmkknmmkiiiiiiiiiiiiii=)(121211132132nmmkkknmkkkiiiiiiiiiiiiiiii,故))(())((211121kmkmkkiiiiiiiiii(2))())((11121iiiiiiikkk,故)()(11121iiiiiikkk.3.证明一个K一循环置换的阶是K.证设)()(2113221kiiiiiikiii)(1232kiiii…………)(1111kkiiiik)()(111ikkiiiik设kh,那么)()(111ikhhiiiih５．证明nS的每一个元都可以写成)1(,),13(),12(n这1n个２－循环置换中的若干个乘积。证根据.6.2定理２。nS的每一个元都可以写成若干不相干循环置换的乘积而我们又能证明)())(()(1312121kkiiiiiiiii同时有)1)(1)(1()(111iiiiill,这样就得到所要证明的结论。则)(1132niiii)(1111kkiiii7循环群1．证明一个循环群一定是交换群。证)(aGma，Gan则mnmnnmnmaaaaaa2．假设群的元a的阶是n，证明ra的阶是dn这里),(nrd是r和n的最大公因子证因为dnr),(所以,,11dnndrr而1),(11nr3.假设a生成一个阶n是的循环群G。证明ra也生成G，假如1),(nr(这就是说r和n互素)证a生成一个阶n是的循环群G，可得生成元a的阶是n，这样利用上题即得所证，或者，由于1),(nr有1tnsrnrtnsrtnsraaaaa)(即)(raa故raa)()(4假定G是循环群，并且G与G同态，证明G也是循环群。证有2。4。定理1知G也是群，设G且aa)((是同态满射)Gb则存在Gb使bb)(kab因而G∽G故kkaa)(即kab)(因而kab即Ã=（ã）5．假设G是无限阶的循环群，G是任何循环群，证明G与G同态。证ⅰ）设G是无限阶的循环群，)(aG)(aG令aa)(且)()()(aaaaaaassss所以G∽Gⅱ）设)(aG而a的阶是n。令：11khaa当且只当111knqh,nk10易知是G到G的一个满射12khaa222knqhnk20设knqkk21则212121)(kkqqnhhkqqqn)(21那么khhaaa212121kkkkqkqaaaaaG∽G8子群1．找出S3的所有子群证S3={)132(),123(),23(),13(),12(),1(}的子群一定包含单位元)1(。ⅰ）S3本身及只有单位元)1(都是子群ⅱ）包含)1(和一个2一循环的集合一定是子群因)1()(),())(1(2ijijij2H={)12(),1(}，3H={)13(),1(}，4H={)23(),1(}亦为三个子群ⅲ）包含)1(及两个3—循环置换的集合是一个子群)()(2ijkijk，)1())((ikjijk5H={)132(),123(),1(}是子群，3S有以上6个子群，今证只有这6个子群，ⅳ）包含)1(及两个或三个2—循环置换的集合不是子群因)())((ijkikij不属于此集合ⅴ)若一集合中3—循环置换只有一个出现一定不是子群因)()(2ikjijkⅵ)一个集合若出现两个3—循环置换及一个2—循环置换不是子群因)())((ikijkijⅶ）3—循环置换及2—循环置换都只有两个出现的集合不是子群因若)(),(ikij出现则)(0)((jkijkij故3S有且只有6个子群。2.证明；群G的两个子群的交集也是G的子群。证21,HH是G的两个子群，21HHHH显然非空Hba,则1,Hba同时2,Hba因2,1HH是子群，故11Hab，同时21Hab所以11HabHH2故H是G的子群3．取3S的子集)}123(),12{(S，S生成的子群包含哪些个元？一个群的两个不同的子集不会生成相同的子群？证S)1()12(2S)132()123(2S)13()123)(12(S)23()132)(12(从而3SS群的两个不同的子集会生成相同的子群)}123{(1S1S生成的子群为{)132(),123(),1(})}132{(2S2S生成的子群为{)132(),123(),1(}4．证明，循环群的子群也是循环群。证G=（a）是循环群，H是G的子群设Hak，而kh0时Hak。任意Hb则Gb因而mabrkqmkr0rkqrkqmaaaa因Ham，qkkqaa)(所以)(kaH是循环群.5.找出模12的剩余类加群的所有子群证剩余类加群是循环群故其子群是循环群.G={]11[,],1[],0[}(ⅰ)G])11([])7([])5([])1([(ⅱ)])0([1H(ⅲ)])10([])2([即2H]}10[],8[],6[],4[],2[],0{[(ⅳ)[])9(])3([即3H]}9][6[],3[],0{[(ⅴ)])8([])4([即4H]}8[],4[],0{[(ⅵ)([6])即5H]}6[],0{[有且只有以上6个子群.6.假定H是群G的一个非空子集,并且H的每一个元的阶都有限,证明,H作成子群的充要条件:Hba,推出Hab证必要性显然充分性Hba,推出Hab,(*)所以只证Ha推出即可.Ha,a的阶有限设