垂径定理及其推论

圆的对称性——垂径定理及其推论教学目标教学过程设计教学方法与手段教学内容教学内容的说明教学内容：1、了解圆的轴对称性。2、弄清垂径定理及其推论的题设和结论。3、运用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明。4、学会与垂径定理有关的添加辅助线的方法。教学重点：垂径定理及其推论教学难点：垂径定理的证明方法轴对称性是理解“垂径定理”的关键。1、通过直观演示了解圆的轴对称性。2、通过“试验——观察——猜想——证明”掌握垂径定理及其推论。3、运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。4、培养学生的数学直觉能力、抽象概括能力。激发学生的探索精神。教学目标的确立教学方法与手段教学方法：教学手段：教师启发引导下的学生自主探究、小组合作学习以及分层教学、分层评价。教（学）具演示、计算机辅助教学教学过程的设计动手操作观察猜测交流讨论分析推理归纳总结积极参与共同学习学法指导教学程序(1)以旧引新，引导探究.(2)动手操作，观察猜想.(3)指导论证，引申结论.(5)反思小结，布置作业.教学过程的设计(4)多方练习，分层评价.(1)以旧引新，引导探究.1、什么是轴对称图形2、观察下列图形哪些是轴对称图形？•o圆是轴对称图形它有无数条对称轴经过圆心的每一条直线都是它的对称轴圆的轴对称性AB••(2)动手操作，观察猜想.•O•CDE┐••••操作：CD是以点O为圆心的直径，过直径上任一点E作弦AB⊥CD，将圆0沿CD对折，比较图中的线段和弧，你有什么发现？猜想：AE=BE,AD=BD,AC=BC⌒⌒⌒⌒AB•••O•CDE┐••••(3)指导论证，引申结论.求证：AE=BE,AD=BD,AC=BC⌒⌒⌒⌒已知：在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且CD⊥AB于点E，分析：直径CD所在直线既是等腰三角形OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴，把⊙O沿直径CD折叠，由图形的重合，即可得到所求证结论。(3)指导论证，引申结论.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧直径（或过圆心的直线）垂直于弦判断题：(1)过圆心的直径平分弦(2)垂直于弦的直线平分弦(3)⊙O中，OE⊥弦AB于E，则AE=BE•oABCDE(1)•oABCDE(2)O•ABE(3)题设结论(3)指导论证，引申结论.例1、如图在⊙O中，直径CD交弦AB于点E，AE=BE求证：CD⊥AB，AB••OCDE•••AD=BD,AC=BC⌒⌒⌒⌒证明：联结AO、BO，∵AO=BO∴△AOB为等腰三角形∵AE=BE∴CD⊥AB∵CD是直径，∴推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧。AD=BD,AC=BC⌒⌒⌒⌒小组讨论：下列命题是否正确，说明理由1、弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的两条弧。2、平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，且平分弦所对的另一条弧。(3)指导论证，引申结论.总结：(3)指导论证，引申结论.五个条件(1)垂直于弦(2)过圆心(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧规律知二推三例2、已知：如图在⊙O中，弦AB的长是8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径(4)多方练习，分层评价.•oABE└解：联结OA，作OE⊥AB于E，则OE=3cm,AE=BE∵AB=8cm∴AE=4cm在Rt中有OA===5cm∴⊙O的半径为5cm22AEOE2243解后指出：从例2看出圆的半径OA，圆心到弦的垂线段OE及半弦长AE构成Rt△AOE.把垂径定理和勾股定理结合起来，解决这类问题就显得很容易了。练习：A组在圆中某弦长为8cm，圆的直径是10cm，则圆心到弦的距离是()cmB组在圆o中弦CD＝24，圆心到弦CD的距离为5,则圆o的直径是()C组若AB为圆O的直径，弦CD⊥AB于E，AE＝16，BE=4,则CD＝()(4)多方练习，分层评价.•ABDCEO•oCDE•CDOE答案：3答案：26答案：16例3如图已知⊙O的直径为4cm，弦AB=cm，求∠OAB的度数。(4)多方练习，分层评价.•oAB┐D解：过O作OD⊥AB于点D,则AD=BD∵AB=cm∴AD=cm∵⊙O的直径为4cm∴OA＝2cm在Rt△OAD中∵cos∠OAB＝=∴锐角∠OAB＝30°323OAAD23你还有没有其它方法？练习：已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC=BD•o•oABCD┐E证明：过O作OE⊥AB于E，则AE=BE,CE=DE∴AE－CE=BE－DE即AC=BD解后指出：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只需从圆心作弦的垂线段。反思小结：(5)反思小结，布置作业.布置作业：1、对垂径定理的理解(1)证明定理的方法是典型的“叠合法”(2)定理是解决有关弦的问题的重要方法(3)定理中反映的弦的中点，弦所对的两条弧的中点都集中在“垂直于弦的直径”上。圆、弦又关于直径所在的直线对称。2、关于垂径定理的运用(1)辅助线的常用作法(2)注意把问题化为解直角三角形的问题A层：教科书P1361、2、3B层：目标检测P72（一）（二）C层：含A、B层及目标检测P73