合工大高等数学A(上)习题册

班级姓名学号习题1函数的概念具有某种特性的函数1−初等函数两个常用不等式1．设函数2,0()2,0,xxxfxx,+≤⎧=⎨⎩，求（1）(1)f−，(0)f，(1)f；（2）()(0)fxfxΔ−Δ，()(0)fxfx−Δ−Δ（0xΔ）．2．已知21()1fxxx=++，求()fx．3．证明：()2sinfxx=+x)在(,−∞+∞内是严格递增函数．1班级姓名学号4．设()fx在[,上是奇函数，证明：若]aa−()fx在[0上递增，则,]a()fx在[,上也递增．0a−]5．利用均值不等式证明：111(1)(1)1nnnn++++（1,2,n=）．6．求证：1(1)3nn+（1,2,n=）．2班级姓名学号习题数列的极限函数的极限极限的性质21−1．求下列极限：1(2)3(1)lim(2)3nnnnn++→∞−+−+1；22111(2)lim(1)(1)(1)23nn→∞−−⋅⋅⋅−2；22(3)lim[(1)(1)(1)]nnrrr→∞+++(1r)；(4)lim(1)xxxx→+∞+−；3131(5)lim()11xxx→−−++．3班级姓名学号2．求常数a和b，使得02lim1xaxbx→+−=．3．若111()1xxefxe+=−，求0lim()xfx−→，0lim()xfx+→，0lim()xfx→．4班级姓名学号习题无穷小、无穷大22−1．利用等价无穷小的代换求下列极限：0tan(2)ln(1)(1)limsin(3)arctan(2)xxxxx→⋅+⋅；2021cos(2)limsinxxx→−+；201cos(sin)(3)limxxx→−．2．设ln(12),0(),10xxxfxaxaxxx+⎧⎪⎪=⎨+−−⎪−≤⎪⎩,,确定正数a的值，使得0lim()xfx→存在．5班级姓名学号习题极限的存在准则23−1．计算下列极限：30tansin(1)limxxxx→−；22sin(2)(2)lim4xxx→−−；2(3)lim()xxxx→∞−；2221(4)lim()1xxxx→∞+−．6班级姓名学号2．设110,x=16nnxx+=+(1,2,3,n)=⋅⋅⋅，试证数列{}nx的极限存在，并求此数列极限．7班级姓名学号习题连续函数及其性质24−1．求函数11()1xxfxe−=−的间断点，并说明其类型．2．设221()lim1nnnxfxxx→∞−=+，试求函数()fx的表达式，若有间断点，并说明其类型．8班级姓名学号3．设21cos,0,(),0xxfxxaxx⎧⎪=⎨⎪+≤⎩,要使()fx在(),−∞+∞内连续，确定常数．a4．讨论sin,0()1,0,2(11),0xxxfxxxxx⎧⎪⎪⎪==⎨⎪+−⎪⎪⎩,的连续性．9班级姓名学号5．求下列极限：0ln(1)(1)limxxxα→+(α为常数）；sinsin(2)limxaxaxa→−−；0(3)limxxxeexαβ→−(,αβ为常数）．6．设函数()fx在[]0,2π上连续，且(0)(2)ffπ=，证明在[]0,π上至少存在一点ξ，使得()()ffξξπ=+．10班级姓名学号习题导数的概念31−1．求曲线1yxx=−在点13,22⎛⎞−⎜⎝⎠⎟处的切线方程与法线方程．2．若函数()fx可导，求lim[()()]nabnfxfxnn→∞+−−(,0)ab≠．3．讨论函数()sinfxx=在点0x=处的连续性与可导性．11班级姓名学号习题求导的运算法则32−1．求下列函数的导数：2(1)ln2lg3logyxx=−+x；(2)2(sincos)xyxxx=+；21(3)1xyx−=+；sec(4)1tanxyx=+；(5)lnaxyax−=+；12班级姓名学号21sin(6)xye=；22222(7)ln()22xayxaxxa=−−+−；22(8)arctanxyaax=+−．2．设()fx可导，求下列函数的导数：2(1)()xyfx=；1((2))xfxyx+=．13班级姓名学号3．设()fx满足13()2()fxfxx+=，求()fx′．4．已知2sin()yx=，求23,,dydydydxdxdx．14班级姓名学号习题高阶导数33−1．设，求lnsecyx=y′′′．2．设()()fxgx=，其中是二阶可导函数，试求g()fx′′．3．设1yyxe=+，求220xdydx=．15班级姓名学号4．求下列函数的阶导数n()ny：(1)axye=(α为常数）；21(2)32yxx=−+；2(3)sinyx=．16班级姓名学号习题隐函数与参变量函数的求导方法34−1．求下列函数的导数dydx：(1)xyxye+=；(2)yxxy=．2．证明：双曲线2xya=上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积都等于．22a17班级姓名学号3．设(),()(),xftytftft′=⎧⎨′=−⎩其中()ft二阶可导，求22dydx．4．设2ln1,tan,xtyarct⎧⎪=+⎨=⎪⎩求22dydx．5．求曲线在对应于(1)0,10yxtttey+−=⎧⎨++=⎩0t=的点处的切线方程．18班级姓名学号习题微分中值定理41−1．证明：arctanarccot2xxπ+=．2．设函数()fx在[],ab上连续，在(内可导．证明：至少存在一点，使得)),ab(,abξ∈()()()()bfbafaffbaξξξ−′=+−．19班级姓名学号3．若()fx在[上二阶可导，且]3,ab12()()()fxfxfx==，其中123axxxb，证明：在(,内至少存在一点，使得)abc()0fc′′=．20班级姓名学号习题洛必达（L′Hospital）法则42−1．求下列极限：30sin(1)limxxxx→−；2ln(2)limlnxxxxx→+∞+；2011(3)lim()tanxxxx→−；0ln(tan)(4)limln(tan)xaxbx+→；(0,0ab)21班级姓名学号11(5)lim()xxxxab→∞−；(0,0ab)20(6)lim()2xxxxab→+(0,0ab)．2．若，(0)0f=()fx′在点0x=的某邻域内连续，且(0)0f′≠，试求()0limfxxx+→．22班级姓名学号习题Taylor中值定理43−1．写出2()lnfxx=x在处的四阶泰勒展开式．01x=2．写出()xfxxe−=的阶麦克劳林公式．n23班级姓名学号习题函数的单调性与极值44−1．求函数(1)()(1)xxxxxϕ−=−在内的极值．0x12．求函数32()(5)fxxx=−⋅在[1上的最大值和最小值．,4]−24班级姓名学号3．过点引一条直线，使其在两坐标轴上的截距均为正，且它们之和为最小，求此直线方程．(1,4)M4．在半径为R的球内作一内接圆锥体，要使锥体体积最大，问其高、底半径应是多少？25班级姓名学号习题曲线的凹凸性及曲线的拐点45−1．讨论曲线21xyxx=+−的凹凸性及拐点．2．求过xyxe−=上的极大值点和拐点的连线的中点，并垂直于0x=的直线方程．26班级姓名学号习题曲线整体形状的研究46−1．求曲线2211xxeye−−+=−的水平与铅直渐近线．2．描绘函数222(1)xyx=−的图形．27班级姓名学号习题导数在不等式证明中的应用47−1．证明：当02xπ时，有sintan2xxx+．2．设，，证明：．0ab1n11()()nnnnnbababnaab−−−−−28班级姓名学号3．设函数()fx在[],ab上连续，在(内二阶可导，若),ab()()0fafb′′==，则在内至少存在一点(),abξ，使得2()()()()4bafbfafξ−′′−≤．4．证明：当时，（正整数）．0x≥1(1)nnxnx−−−≤1n1n29班级姓名学号习题定积分的概念与性质51−1．利用定积分的几何意义计算下列定积分：20(1)xdx∫；120(2)1xdx−∫．2．比较下列积分的大小：21(1)lnxdx∫与221(ln)xdx∫；与．312(2)xedx−−−∫312xedx−−∫3．设()fx为连续函数，且20()2()fxxfxd=+∫x，求()fx．30班级姓名学号习题微积分学基本公式52−1．求函数0()xxxxedx−Φ=∫的极值．2．求下列极限：200cos(1)limxxtdtx→∫；21cos20(2)limtxxedtx−→∫．3．设cos,0,2()1,0,2xxfxxorxππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪⎪⎩求函数0()()xxftdtΦ=∫在(),−∞+∞内的表达式．31班级姓名学号4．计算下列定积分：321(1)44xxd−+∫x；30(2)sinsinxxdxπ−∫；(3)设231()1xfxx−=+，计算220()1()fxdxfx′+∫．32班级姓名学号习题不定积分的概念与性质53−求下列不定积分：21.tanxdx∫．4222.1xdxx+∫．2213.sincosdxxx⋅∫．1cos4.1cos2xdxx−−∫．33班级姓名学号习题换元积分法54−1．求下列不定积分：(1)2xxedx−∫；(2)(4)dxxx−∫；(3)1lndxxx+∫；(4)321xdxx+∫；34班级姓名学号(5)tancosxdxx∫；(6)11xdxe+∫；(7)211sindxxx∫；(8)xxdxee−+∫；(9)(2)1dxxx−−∫；35班级姓名学号(10)223()dxax−∫；(11)1xed−∫x；(12)21dxxx−∫．2．计算下列定积分：411(1)1dxx+∫；3231(2)(1)dxx+∫；36班级姓名学号41(3)(2)fxd−∫x，其中2,0()1,101cosxxexfxxx−⎧≥⎪=⎨,.−⎪+⎩3．证明：200sin2sinnnxdxxdxππ=∫∫．4．若()fx为连续的偶函数，证明0()xftdt∫为奇函数．37班级姓名学号习题分部积分法55−1．求下列不定积分：(1)lnxdxx∫；(2)()xfxdx′′∫（其中()fx二阶可导）；(3)arctanxxdx⋅∫；(4)1cos2xdxx+∫；(5)2ln(1)xxdx++∫．38班级姓名学号2．计算下列定积分：2130(1)xxedx∫；10(2)arctanxdx∫；1220arcsin(3)1xxdxx−∫．3．设sinxx是()fx的一个原函数，计算2()xfxdxππ′∫．39班级姓名学号习题有理函数的积分及应用56−求下列不定积分：321.1xdxx+∫．222.25xdxxx−−+∫．13.1sindxx+∫．414.cosdxx∫．40班级姓名学号习题广义积分57−计算下列广义积分：21ln1.xdxx+∞∫．02.xxedx+∞−∫．213.(1)dxxx+∞+∫．11224.dxxx−∫．41班级姓名学号习题定积分的应用61−1．假设曲线21yx=−(01)x≤≤，x轴，y轴所围区域被曲线2yax=(0a)分成面积相等的两部分，求的值．a2．求双纽线2cos2rθ=围成平面图形的面积．3．求圆围成的区域绕22(2)xy+−=1x轴旋转而成的旋转体的体积．42班级姓名学号4．圆柱形水桶高10米，底面半径为3米，桶内盛满了水，问要把桶内的水全部抽完需做多少功？（取重力加速度10g=）5．求心形线(1cos)raθ=+的周长．6．一底为b，高为的对称抛物线拱形闸门，其底平行于水面，距水面为（即顶与水面hh齐）。闸门垂直放在水中，求闸门所受的压力。若底与高之和为常数，即（为常数），问高和底各为多少时，闸所受的压力最大？bhl+=43班级姓名学号参考答案习题11−1．（1）1，，2；(2）222xxΔ−Δ，．2．1−211xxx++．习题21−1．1(1)3；1(2)2；1(3)1r−；1(4)2；．2．(5)14a=，4b=．3．1，，不存在．1−习题22−1．1(1)3；2(2)8；1(3)2．2．14．习题23−1．1(1)2；1(2)4；2(3)e−；．2．．2(4)e3