不定积分习题

习题课（六）内容：不定积分的概念及积分方法基本要求：1．理解原函数与不定积分的概念。2．掌握不定积分的性质及不定积分与导数的关系。3．掌握不定积分的积分方法。4．会求简单的有理函数、无理函数、三角函数有理式的不定积分。内容与方法精讲：一．原函数与不定积分的概念1．原函数定义：在区间I上，若)()(xfxF（即dxxfxdF)()(），称函数)(xF是函数)(xf在区间I上的一个原函数。2．原函数存在的条件：若函数)(xf在区间I上连续。则)(xf在区间I上有原函数。3．不定积分：函数)(xf在区间I上的所有原函数CxF)(称为)(xf在区间I上的不定积分，记作CxFdxxf)()(.4．不定积分与导数的关系：（1）先积分再求导（或微分）)(])([xfdxxf，或dxxfdxxfd)(])([；（2）先求导（或微分）再积分CxFdxxF)()(，或CxFxdF)()(.5．不定积分的线性性：（1）dxxfkdxxkf)()(；（2）dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([.二．基本积分公式（略）三．不定积分的方法1．拆项积分法：利用不定积分的线性性，将一个复杂的不定积分拆成若干个基本积分公式中的积分，从而进行积分。（关键体现在拆项上，例如：通过有理化；利用三角公式；在分子上加一项，减一项等都是常用的手段）。2．凑微分法：CxFxdxfdxxxf)]([)()]([)()]([.主要用来解决复合函数的积分（确切地说是复合函数与之间变量导数之积的积分）。要熟练常用的几个凑微分式子：（1）)()(1)(baxdbaxfadxbaxf)0(a；（2）)0()()(1)(1111abaxdbaxfadxbaxfx；（3）xdxfdxxxfln)(ln)(ln；（4）xxxxdeefdxefe)()(；（5）xdxfdxxxfarctan)(arctan1)(arctan2；（6）xdxfdxxxfarcsin)(arcsin1)(arcsin2；（7）xdxfxdxxfsin)(sincos)(sin；（8）xdxfxdxxfcos)(cossin)(cos；（9）xdxfxdxxftan)(tansec)(tan2；（10）xdxfxdxxxfsec)(sectansec)(sec；（11）.)(ln)()()()(Cxfxfxdfdxxfxf多用于解决无理函数的积分。要掌握几个常用的固定换元：换元名称被积函数特点具体换元公式换元目的三角换元含有22xataxsin去根号化为有理函数或三角函数有理含有22axtaxtan含有taxtantaxsec根式换元含有nbaxnbaxt根式换元含有ndcxbaxndcxbaxt式的积分倒代换分母幂次比分子幂次较高tx1降低分母幂次4．分部积分法：dxxvxuxvxudxxvxu)()()()()()(或)()()()()()(xduxvxvxuxdvxu主要用来解决两类不同的简单函数乘积的积分。关键是掌握好)(xu与)(xv的选取，原则是)(xv好找原函数，)(xu的导数简单，积分dxxvxu)()(积分dxxvxu)()(容易（至少不难）。要掌握以下几种常见类型的分部积分：被积函数类型条件)(xu取作)(xv取作目的幂函数×三角函数正整数次幂幂函数三角函数降低幂次幂函数×指数函数正整数次幂幂函数指数函数降低幂次幂函数×对数函数实数次幂对数函数幂函数去掉对数函数幂函数×反三角函数实数次幂反三角函数幂函数去掉反三角函数指数函数×三角函数)(xu与)(xv任取，用两次分部积分，出现“打回头”四．几类特殊函数的积分例题精讲1．若Cexdxxfx)1()(，求函数).(xf解：（本题考核导数与积分的关系。给出不定积分，求被积函数，只需对等式两边求导）对等式两边同时求导，有.)1()(xxxxeexexf2．若函数)(xf满足xxf22sec)(tan，且1)0(f，求函数).(xf解：（本题也是考核导数与积分的关系。给出导数，求原函数，只需对等式两边求积分。本题要注意积分变量是x2tan，或先将式子xxf22sec)(tan改写为xxf1)(，再两边求积分）对等式两边同时求积分，有.)(tan21tantan)tan1(tansectan)tan()(tan2222222222Cxxxdxxdxxdxfxf所以，221)(xxCxf，由1)0(f，得1C，于是.211)(2xxxf3．设函数.0,sin,0,)(xxxxxf求不定积分.)(dxxf解：（这是分段函数求不定积分问题，要注意原函数.)()(dxxfxF在分界点处应连续）当0x时，CxdxxdxxfxF2)()()(2；当0x时，1cossin)()(CxxdxdxxfxF.有)0()0()0(FFF，有11CC，得CC11.所以，.0,cos1,0,2)(2xCxxCxdxxf4．若)(xf的一个原函数为x2ln，求不定积分.)(dxxfx解：（尽管这也是考核原函数概念的题目，但是由于在被积函数中出现了一个函数与)(xf的导数)(xf乘积的形式，因此首先要进行分部积分）由)(xf的一个原函数为x2ln，即Cxdxxf2ln)(，所以xxxfln2)(.于是，.lnln2)()()(2Cxxdxxfxxfdxxfx5．设函数)(xF是)(xf在0x时的一个原函数，满足2)1(2)()(xxexFxfx，且1)0(F，0)(xF.求函数)(xf.解：（本题还是考核原函数概念。由于在条件2)1(2)()(xxexFxfx中同时出现了)(xf与)(xF，为方便都统一于)(xF，然后再积分）由)(xF是)(xf的一个原函数及2)1(2)()(xxexFxfx，有2)1(2)()(xxexFxFx，对上式两边同时求积分，得2)(2xF)11(21)1(2)()(2xdxedxxxedxxFxFxxCxedxxexxxexxx)1(2)1)1(1(21.由1)0(F及0)(xF，得0C，且xexFx1)(，所以，2/32/)1(2)1()()(xxexedxdxFxfxx.6．求下列不定积分（本例都是典型的、常见的凑微分类型，有些题目要经过多次凑微分）（1）dxxxxln1ln；（2）4)(xxeedx；（2）22arcsin4xxdx；（4）dxxx211arctan；（5）dxxxcostan；（6）dxxxxcossintanln.解：（1）)ln1(ln11)ln1(ln1lnxdxxdxxxxCxxxdxxln12)ln1(32)ln1(]ln11ln1[2/3.（2）)1()1(1)1(21)1()(24224244xxxxxxxedeeedxeeedx)1(])1(1)1(1[2124232xxxedeeCeeCeexxxx3223222)1(1231)1(161)1(141.（3）Cxddxdxxxxxxxx2arcsinlnarcsinarcsinarcsin)(1arcsin42222222.（4）)(])(1[arctan])(1[arctan1arctan1211212121xxxxxxddxxdxxCxdx2)21(arctan211arctan1arctan.（5）Cxxdxdxxxxdxxxcos2cos)(coscoscossincostan23.（6）xdxxdxxxxdxxxxtantantanlncostantanlncossintanln2Cxxxdtanln21tanlntanln2.7．求下列不定积分（本例都是有理函数的积分，有理函数的积分不一定都拆成部分分式）（1）dxxx1133；（2）23)1(xxdx；（3）)1(28xxdx.解：（1）(本题除了利用部分分式，没有太好的办法。).312arctan32)1(1ln31)(arctan1)1ln(311ln32)()()(1)12(311ln32)123211321(11222321232221223212233CxxxxxCxxxxxxxdxxdxxxxdxxxxxdxxx（2）(本题属于dxxxRn)(型,可以凑成nnndxxxR)(型).)111(ln31]111)1([31])1()1()1([31)1()1(31)1(31)1(33333333233333323333233323Cxxxxxxdxdxxxdxxdxdxxxxxxxdxxxdx（3）(本题由于分母的幂次相对于分子的幂次较高,因此应当用到代换.)令tx1,则2tdtdx,于是.1arctan1315171)arctan37()111(1)1(35735722462828CxxxxxCttttttdtttttdtttxxdx8．求下列不定积分（本例都是三角函数有理式的积分，能不用万能代换的，尽量不用万能代换，通常都可以用凑微分求解）（1）dxxxx4sin1cossin；（2）dxxxx42costansin；（3）xxdxcos22sin；（4）dxxxxcossinsin.解：（1）（本题属于xdxxfcos)(sin型）.)arctan(sin21)(sin1sin21sinsin1sinsin1cossin222244Cxxxdxdxxdxxxx（2）（本题属于dxxxxR)tan,cos,(sin22型，可作代换txtan.也可以直接凑微分）.2tan3tan4tantan)tantan(tantan)tansec(tancostansin234232242Cxxxxdxxxxdxxxdxxxx（3）（本题有两个关键点，一是要统一角度，二是要将分母上的两项之和化为一项）.)tanseclncos1sin(41sec41)tanseclntan(sec41secsec21)tanseclntan(sec41)tansec(sec21cossin121)1(sincos21cos22sin22233CxxxxCxxxxxxxdxxxxdxxxxdxxxxxdxxxdx（4）（本题解法很多，下面仅介绍几种有代表型的解法）方法一：本题可以通过拆项的方法求解.)cossinln(21]cossin)cos(sin[21)cossincossin1(21cossin)cos(sin)cos(sin21cossinsinCxxxxxxxdxdxxxxxdxxxxxxxdxxxx方法二（伴侣型积分）：记dxxxxIcossinsin1，dxxxxIcossincos2.则.cossinlncossin)cos(sincossincossin.cossincossin2121CxxxxxxddxxxxxIICxdxdxxxxxII