2019第13章-微专题3-如何构造全等三角形教育精品.ppt

第13章全等三角形微专题3如何构造全等三角形专题解读本章常用的辅助线的添加方法有：连结法、中线倍长法、截长补短法、作垂线法和作平行线法．实际解题的过程中，要依据题目的条件选择合适的辅助线添加方法，将条件和求证结合起来．图①图②图③“倍长中线法”是利用中点的有效方法，如图①，D是BC的中点，AD＝DE，则有△ABD≌△ECD.如图②，AB＞AC，“截长法”就是在AB上截取AD＝AC；补短法就是延长AC到E，使AE＝AB；通过这样的截长或补短，可以把分散的条件集中起来，为证明线段(或角)的和、差、倍、分提供支持．如图③，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，通过连结AC、AD，构造△ABC≌△AED.专题训练类型1“倍长中线法”构造全等三角形1.如图，四边形中，AB∥CD，O是BD的中点，且AB＋CD＝AC，求证：AO⊥OC.证明：延长CO交AB的延长线于点E，∵OB＝OD，可证△OCD≌△OEB，∴OC＝OE，BE＝CD.再证△AOC≌△AOE(S.S.S.)，∴∠AOC＝∠AOE＝180°2＝90°.∴AO⊥OC.类型2“连结法”构造全等三角形2.如图，在△ABC中，D为BC中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DE＝DF.求证：AB＝AC.证明：连结AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△ADE与△ADF都是直角三角形．∵AD＝AD，DE＝DF.∴Rt△ADE≌Rt△ADF(H.L.)．∴AE＝AF.同理：Rt△BDE≌Rt△CDF(H.L.)．∴BE＝CF，∴AE＋BE＝AF＋CF，∴AB＝AC.3.如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.类型3“翻折法”构造全等三角形解：如图，延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE)∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠BDF＝90°.在△ABD和△FBD中，∵∠ABD＝∠FBD，BD＝BD，∠ADB＝∠FDB＝90°，∴△ABD≌△FBD(A.S.A.)．∴∠2＝∠DFB.又∵∠DFB＝∠1＋∠C，∴∠2＝∠1＋∠C.类型4“基本图形法”构造全等三角形4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连结DF.求证：∠ADC＝∠BDF.证明：如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G.∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠ACF＝90°，∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°，∴∠1＝∠2.在△ACD和△CBG中，∵∠1＝∠2，AC＝CB，∠ACD＝∠CBG＝90°，∴△ACD≌△CBG(A.S.A.)．∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.∵点D为BC的中点，∴CD＝BD，∴BD＝BG.又∵∠DBG＝90°，∠DBF＝45°，∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°，∴∠DBF＝∠GBF.在△BDF和△BGF中，∵BD＝BG，∠DBF＝∠GBF，BF＝BF，∴△BDF≌△BGF(S.A.S.)．∴∠BDF＝∠G，∴∠ADC＝∠BDF.类型5利用角平分线构造全等三角形5.(易错题)如图，已知∠1＝∠2，BD＝DC，∠ADB和∠ADC都是钝角，求证：AB＝AC.证明：过点D作AB、AC的垂线，垂足分别为E、F.∵∠1＝∠2，∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，∴△ADE≌△ADF(A.A.S.)，∴DE＝DF.在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵DE＝DF，BD＝CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(H.L.)，∴∠B＝∠C.在△ABD和△ACD中，∠1＝∠2，∠B＝∠C，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(A.A.S.)，∴AB＝AC.6.已知：如图，∠1＝∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB＋BC＝2BD，求证：∠BAP＋∠BCP＝180°.证明：过点P作PE⊥BA于E，∵∠1＝∠2，∠PEB＝∠PDB＝90°，BP＝BP，∴△PEB≌△PDB(A.A.S.)，∴PE＝PD，BE＝BD.∵AB＋BC＝2BD，BC＝CD＋BD，AB＝BE－AE，∴AE＝CD.在△PEA和△PDC中，∵PE＝PD，∠PEA＝∠PDC，AE＝CD，∴△PEA≌△PDC(S.A.S.)，∴∠PAE＝∠PCD.又∵∠BAP＋∠EAP＝180°.∴∠BAP＋∠BCP＝180°.类型6利用“截长补短法”构造全等三角形7.问题背景：如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°.E、F分别是BC、CD上的点．且∠EAF＝60°.探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG＝BE.连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是．探索延伸：如图②，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°.E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝12∠BAD，上述结论是否仍然成立？并说明理由．解：问题背景：EF＝BE＋DF.探索延伸：EF＝BE＋DF仍然成立．证明如下：如图②，延长FD到G，使DG＝BE，连结AG.∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG.在△ABE和△ADG中，∵DG＝BE，∠B＝∠ADG，AB＝AD，∴△ABE≌△ADG(S.A.S.)，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.∵∠EAF＝12∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF.在△AEF和△AGF中，∵AE＝AG，∠EAF＝∠GAF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF(S.A.S.)，∴EF＝FG.∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF.