第12章整式的乘除知识点总结

我们的团队---内部资料志存高远奋发图强我们的资料第1页★第12章整式的乘除知识点★★1.同底数幂的乘法公式为:均为正整数、nmaaanmnm即:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.注意:（1）本公式可以反向利用,即:均为正整数、nmaaanmnm有关的重要结论（2）为奇数为偶数nAnAAnnn;（3）为奇数）为偶数）nABnABBAnnn((.★2.幂的乘方公式为:为正整数）、nmaamnnm(即,幂的乘方,底数不变,指数相乘.（1）公式可以反向利用,即:)(为正整数、nmaanmmn（2）重要结论:)(为正整数、nmaaamnmnnm（3）公式可推广:我们的团队---内部资料志存高远奋发图强我们的资料第2页为正整数）、、pnmaamnppnm(★3.积的乘方公式为:)(为正整数nbaabnnn即积的乘方,把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.（1）公式可推广:)(为正整数ncbaabcnnnn（2）公式可以反向使用,用于某些简便运算的题目.)(为正整数nabccbaabbannnnnnn（3）说明:在反向利用积的乘方公式时,可以把两个指数的最大公约数给提出来.注意:222),(babanbabannn如为正整数.★4.同底数幂的除法公式:)0,,(anmnmaaanmnm且为正整数、即同底数幂相除,底数不变,指数相减.（1）是被除数的指数减去除数的整数.（2）公式可以改写为:)0,,(anmnmaaanmnm且为正整数、（3）当nm时,10aaanm.记住:任何不等于0的数的0次方都等于1.0的0次方没有意义.底数既可以是数字、字母,也可以是单项式或多项式.我们的团队---内部资料志存高远奋发图强我们的资料第3页例题LITI●例1.计算:2012201122.●例2.计算332aa分析给出最详细的过程.分析332aa与是同类项解:原式12011201122解:原式33a201120112011201122122221●例3.计算:46aa分析本题为易错题,没有得到最终的结果.解:原式2a（有些学生的结果到此为止）2a（这才是最终的结果）.●例4.已知484212nn,求n的值.分析本题具有一定的难度,要求学生对所学的公式结论深刻掌握.解:484212nn422222222221624832481224822248222nnnnnnnn∴.2,42nn●例5.已知,2168444tt求t的值.我们的团队---内部资料志存高远奋发图强我们的资料第4页例题LITI●例1.计算:2012201122.●例2.计算332aa分析给出最详细的过程.分析332aa与是同类项解:原式12011201122解:原式33a201120112011201122122221●例3.计算:46aa分析本题为易错题,没有得到最终的结果.解:原式2a（有些学生的结果到此为止）2a（这才是最终的结果）.●例4.已知484212nn,求n的值.分析本题具有一定的难度,要求学生对所学的公式结论深刻掌握.解:484212nn422222222221624832481224822248222nnnnnnnn∴.2,42nn●例5.已知,2168444tt求t的值.我们的团队---内部资料志存高远奋发图强我们的资料第5页★5.整式的乘法整式的乘法运算有三种:（1）单项式·单项式;（2）单项式·多项式;（3）多项式·多项式.单项式·单项式系数与系数相乘,同底数幂相乘,单独的幂保留.（1）注意两个用科学记数法表示的数相乘（2）在计算时要用到同底数幂的乘法公式.其他两种运算的进行都需要将运算转化为单项式·单项式,然后再把所得的积相加,还要用到乘法分配律,注意符号的改变.在进行多项式·多项式时,还要注意合并同类项.单项式与多项式相乘,将单项式分别乘以多项式的每一项,再将所得的积相加.运算的结果可以按某个字母的降幂顺序排列.●6.计算:28105103.解:28105103111028105.11015101053两个重要的结论:（1）多项式相等的问题如果两个多项式相等,则它们对应的系数相等.我们的团队---内部资料志存高远奋发图强我们的资料第6页如若FExDxCBxAx22,则有FCEBDA.（2）多项式中不不含某一项的问题如果一个多项式中不不含某项,则该项系数等于0（合并同类项之后的系数）.★6.平方差公式即两数和乘以这两数的差22bababa这就是说,两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.说明:（1）该公式可以简化某些多项式乘以多项式的运算,也可以实现某些有理数运算的简便运算.（2）该公式可以反向利用,即逆用.（3）反向利用平方差公式可以用于分解因式.●例7.计算223232yxyx.解:原式yxyxyxyx32323232xyyxyxyxyxyx246432323232●例8平方差公式用于分解因式分解因式:229141nm.解:原式229141nm我们的团队---内部资料志存高远奋发图强我们的资料第7页nmnmnm31213121312122●例9某些题目无法直接使用平方差公式,需要对所给的式子变形处理之后才可以使用（即创造条件使用平方差公式）.计算:cbacba.解:原式cbacbabccbacbcbacba2222222222●例10多项式相等的问题已知nmxxxxxx22316116,求nm、的值.解:nmxxxxxx22316116nxmnxmxxxxnmxxnxmxxxxx232322323161166116∴61161nmnm我们的团队---内部资料志存高远奋发图强我们的资料第8页解之得:65nm.●11.多项式中不不含某一项的问题已知bxxaxx3822的乘积中不含2x项和3x项,求ba、的值.解:bxxaxx3822bxxabxaxbxxabxaxaxbxxx824833824833234223234∵该乘积中不含2x项和3x项∴08303aba解之得:13ba.●例12反向利用平方差公式的问题计算:2211xx.分析反向利用积的乘方公式和平方差公式可方便地解决问题.解:2211xx1211124222xxxxx●例13一道综合题探索下面的问题:我们的团队---内部资料志存高远奋发图强我们的资料第9页.__________11;__________11;__________11;__________111201020112012232xxxxxxxxxxxxxx）（（2）请你用上面的结论计算:12222201020112012.解:（1）.1;1;1;12013432xxxx（2）122222010201120121212222122013201020112012★7.平方差公式的图形证明:★8.完全平方和公式的图形证明:★9.完全平方公式完全平方公式有两个:完全平方和公式与完全平方差公式.完全平方和公式:我们的团队---内部资料志存高远奋发图强我们的资料第10页2222bababa完全平方差公式:2222bababa两个公式可以合记为:2222bababa说明:（1）公式里面的22ba、叫做完全平方项,习惯上将它们放在公式的两边,将乘积的2倍放中间.（2）两个公式的惟一区别在于一个是加上乘积的2倍,另一个是减去乘积的2倍.（3）两个公式可以相互转化.（4）反向利用完全平方公式可以用于分解因式,是公式法里面的两个非常重要且常用的公式.（5）有关的重要结论:abbaba2222abbaba2222422babaab（6）完全平方式的判断判断所给的多项式是不是完全平方式只需要判断两个完全平方项所对应的数或式子的2倍是否等于多项式的我们的团队---内部资料志存高远奋发图强我们的资料第11页第三项（或第三项的相反数）即可,若等于,则是;若不等于,则不是.（7）配方法配方法是一种很重要的解决问题的方法,可以用来分解因式、解方程（如在九年级要学习的解一元二次方程）等.把题目所给的多项式进行变形、拆项等处理,使多项式中出现完全平方式的过程,叫做配方,利用配方来解决问题的方法就叫做配方法.●例14.若25422xax是完全平方式,则a________.分析:根据完全平方式的判断方法,两个完全平方项2x与25所对应的5与x的乘积的2倍,应等于xa42.所以xax4210,解得1a或9a.注意本题有两种情况,两种结果.●例15体验配方法的一种应用当a为何有理数时,二次三项式5422aa有最小值?最小值是多少?解:5422aa31231223242222aaaaa∵012a∴33122a,此时1a.（小说明:即当1a时取等号）∴该多项式的最小值为3.●例16.配方法的应用求证:多项式64222baba的值总是正数.说明这是我们做过的一道选择题改编而来.证明:64222baba我们的团队---内部资料志存高远奋发图强我们的资料第12页121144122222babbaa（○小○说○明:这里完成了配方）∵02,0122ba∴112122ba∴多项式64222baba的值总是正数.●例17.若222963nmnmnkm,则k的值为________.分析利用完全平方和公式把等式的左边展开,再根据两个多项式相等的结论即可解决本问题.本题属于易错题.解:222963nmnmnkm222229696nmnmnkmnmk∴1,12kk,但1k不符合题意,舍去,所以1k.●例18完全平方公式的结论的应用已知0142mm,求221mm的值.分析利用结论:abbaba2222解:0142mm41414122mmmmmmmmm∴221mm我们的团队---内部资料志存高远奋发图强我们的资料第13页14242122mm●例19完全平方公式用于分解因式分解因式:1242xx.解:原式16442xx624242424442222xxxxxxx说明:当然,这里还用到了配方法和其它的公式.●例20.已知abbaba412222,求22ba的值.解:abbaba41222201021204122222222