随机过程-第三章-泊松过程

-1-第三章泊松过程3.1泊松过程定义3.1计数过程：随机过程(),0Ntt称为一个计数过程，若()Nt表示从0到时刻t为止某一事件A发生的总数，它是一个状态取非负整数、时间连续的随机过程。计数过程满足以下条件：（1）()0Nt，且取值非负整数；（2）若st，则()()NsNt；（3）对于st，()()NtNs表示时间区间(,]st内事件A发生的次数。如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的，则称计数过程有独立增量过程。如时刻t已发生的事件A的次数即()Nt，必须独立于时刻t和ts之间所发生的事件数即(()())NtsNt。如果在任一时间区间内发生的事件A的次数的分布只依赖于时间区间的长度，则称计数过程为平稳增量过程。即对一切12tt及0s，在区间12(,]tsts中事件A的发生次数即21(()())NtsNts与区间12(,]tt中事件A的发生次数即21(()())NtNt具有相同的分布，则过程有平稳增量。泊松过程是计数过程的最重要类型之一，其定义如下。定义3.2泊松过程：计数过程(),0Ntt称为参数为(0)的泊松过程，如果满足：（1）()0Nt；（2）过程有独立增量；（3）在任一长度为t的区间中事件的个数服从均值为t的泊松分布。即对一切s，0t，()(),0,1,2,!nttPNtsNsnenn从条件（3）可知泊松过程有平稳增量且[()]ENtt，于是可认为是单位时间内发生事件A的平均次数，一般称是泊松过程的强度或速率。为确定一个任意的计数过程是泊松过程，必须证明它满足上述三个条件。其中，条件-2-（1）说明事件的计数是从时刻0t开始的；条件（2）通常可从过程直接验证；但是条件（3）的证明却无从下手。为此，引进泊松过程的一个等价定义。定义3.3计数过程(),0Ntt称为参数为(0)的泊松过程，如果满足：（1）()0Nt；（2）过程有平稳与独立增量；（3）存在0，当0h（充分小的0h）时，()()1()PNthNthoh；（4）当0h时，()()2()PNthNtoh。注：若对函数f有0()lim0hfhh，则称函数f是()oh。定理3.1：定义3.2与定义3.3是等价。证明：（1）先证定义3.3蕴含定义3.2。欲证此结论，只需证明满足定义3.3条件（1）－（4）的计数过程()Nt服从参数为t的泊松分布即可。记()()nPtPNtn120()()1()()1()PhPNhPhPhPh首先推导一个关于0()Ph的微分方程：03.3(2)003.3(3)(4)0()()0()()0,()0()0()()0()()()(1())PthPNthPNthNtNtPNtPNthNtPtPhPthoh因此000()()()()PthPtohPthh令0h得0'0()()PtPt解得0()tPtCe又0(0)(0)01PPN，代入进一步得到-3-0()tPte类似地，当1n时0111()()(),()()0()1,()()1()2,()()2()()()()()(1)()()()nnnnnPthPNthnPNtnNthNtPNtnNthNtPNtnNthNtPtPhPtPhohhPthPtoh因此1()()()()()nnnnPthPtPtPtohh令0h得''11()()()[()()]()nnttnnnnPtPtPtePtPtePt因此1(())()ttnndePtePtdt当1n时易解得1()tPtte。当2n，为证明!ntntPten，利用数学归纳法证明。假设当(1)n时成立，因此11(())(1)!(1)!nntttndttePteedtnn解得()()!ntntePtCn又(0)(0)0nPPNn代入进一步解得()()!ntntPten因此，结论得证，即定义3.3蕴含定义3.2。（2）再证定义3.2蕴含定义3.3。欲证此结论，只需验证定义3.3中的条件（3）（4）成立。由定义3.2（3）可得-4-si0()()1()(0)11!()(1())!()hnTaylorExpanonnhPNthNtPNhNehhhhohnhoh2()()2()(0)2()!()nhnPNthNtPNhNhenoh因此，结论得证，即定义3.2蕴含定义3.3。综合，定义3.2和定义3.3等价。注：相比定义3.2对泊松过程的定义，定义3.3中的条件在实际运用中更为容易；但定义3.2在理论研究中是常用的。泊松过程的数字特征：均值(())ENtt，均方值22(())()ENttt，方差(())DNtt协方差函数121212(,)min(,),,0NCtttttt，相关函数212121212(,)min(,),,(,)(1)NNRttttttifttthenRtttt例3.1（泊松过程在排队论中的应用）在随机服务系统中排队现象的研究中，经常用到泊松过程模型，如到达电话总机的呼叫次数，到达某服务设施（商场、车站、购票处等）的顾客数，都可以用泊松过程来描述。以某车站为例，设从早上8点开始，此车站连续售票，乘客依10人/小时的平均速率到达，则从9点到10点这1小时内最多有5名乘客来此购票的概率是多少？从10点到11点没有人来购票的概率是多少？解：用一个泊松过程来描述。设8点为0时刻，则9点为1时刻，参数10＝，则由定义3.2可知51010010110(101)(2)(1)5!(101)(3)(2)00!nnPNNenPNNee例3.2（事故发生次数及保险公司接到的索赔数）若以()Nt表示某公路交叉口、矿山、工厂等场所在(0,]t时间内发生事故的次数，则泊松过程就是(),0Ntt的一种很好近似。另外，保险公司接到赔偿请求的次数（设一次事故就导致一次索赔）等都可以应用泊松过程的模型。以保险为例，设保险公司每次的赔付都是1,每月平均接到4次索赔请求，则一年中它们要付出的金额平均为多少？-5-解：设一年开始为0时刻，1月末为时刻1，则年末为时刻12，依泊松过程的定义可知412(412)(12)(0)!nPNNnen平均索赔请求次数及金额[(12)(0)]41248ENN3.2与泊松过程相联系的若干分布记,1,2,nTn表示第n次事件发生的时刻，规定00T。记,1,2,nXn表示第n次与第1n次事件发生的时间间隔，则,1nXn称为到达时间间隔序列。定理3.2若(),0Ntt是泊松过程，则,1nXn是相互独立且服从参数为的指数分布。证明：首先考虑1X的分布，注意到事件1Xt等价于事件()0Nt，即在(0,]t内没有事件发生。因此1()0tPXtPNte从而11tPXte在已知1X的条件下求2X的分布211()()0()()0tPXtXsPNtsNsXsPNtsNse独立增量平稳增量所以，2X与1X相互独立且都服从参数为的指数分布。重复同样的推导得到定理3.2的命题。注：定理3.2的命题易于理解。泊松过程的平稳独立增量性质等价于表示在概率意义上过程在任何时刻都重新开始，即从任何时刻起过程独立于先前已发生的一切（由独立增量）；且与原过程具有完全一样的分布（由平稳增量）。换言之，泊松过程是无记忆的，因此间隔序列服从指数分布。另一感兴趣的量是nT，第n次事件发生的时间，也称为第n次事件的等待时间。定理3.3,1,2,nTn服从参数为n和的分布，即其概率密度为-6-1()(),0(1)!nttftetn证明：注意到1nniiTX，由定理3.2知,1,2,iXi相互独立，且服从同指数分布。注意到指数分布是当1n时分布的特殊形式，由分布可加性易得,1,2,nTn服从参数为n和的分布。以下我们用另一种方式来推导本证明。注意到，第n次事件在时刻t或之前发生当且仅当时间t已发生的事件数量至少是n，即()nNtnTt因此()()!itnintPTTPNtnei对上式求导，得到nT的概率密度函数1(1)()()()()!(1)!(1)!iintttinintttfteeeiin命题得证。注：nT的数字特征2,nnnnETDT；且nnETnEX特征函数()()nnTntit根据定理3.2可给出泊松过程的另一定义。定义3.4计数过程(),0Ntt是参数为的泊松过程，如果每次事件发生的时间间隔12,,XX相互独立，且服从同一参数的指数分布。证明略。接下来我们考虑事件发生时刻的条件分布。假设到时刻t，泊松过程描述的事件A已发生了n次，我们现在考虑这n次事件发生的时刻12,,,nTTT的联合分布。首先考虑1n时，对于st-7-11(),()1()1()1,(,]()1()1()()0()1ststPTsNtPTsNtPNtPAsstAPNtPNsPNtNsPNtseestet发生在时刻之前内没有发生上式表明，在已知在(0,]t内只发生一次的前提下，事件A发生的时刻在(0,]t上是均匀分布的。推广这一结论可以得到如下定理3.5。定理3.5在已知()Ntn的条件下，事件发生在n个时刻12,,,nTTT的联合概率密度函数是1212!(,,,),0nnnnfttttttt证明：设1210nnttttt，取ih充分小使得1,1,2,,iiithtin，12111()11,1,2,,()()()1,()()0,1,()0()()/!!nniiiiiiiiiihthhhhntnnnPtTthinNtnPNthNtNtNthinNtPNtnheheeetnnhht故按定义，在已知()Ntn的条件下，12,,,nTTT的联合概率密度为1011,1,2,,()!(,,)limiiiiinnhninPtTthinNtnnftthht注：在(0,]t区间上发生n次事件的前提下，各次事件发生的时刻12,,,nTTT可看做相互独立的随机变量，且都服从(0,]t上的均匀分布。例3.3设从早上8点开始有无穷多个人排队等候服务，只有一名服务员，且每个人接受服务的时间是独立的并服从均值为20分钟的指数分布，则到中午12点为止平均有多少已离去？已有9个人接受服务的概率是多少？解：由题设可知，离去的人数()Nt是强度3的泊松过程（以小时为单位）。设8-8-点为0时刻，则1212(4)(0)![(4)(0)]12nPNNnenENN即到12点止平均有12个人接受服务。91212(4)99!PNe例3.4乘客按照强度为的泊松过程来到某车站，车辆在时刻t启程，计算在(0,]t内到达的乘客等待时间的总和的期望值，即要求()1[()]NtiiEtT，其中iT是第i个乘客来到的时刻。解：在()Nt给定的条件下，取条件期望()111[()()][(