模拟高通、带通滤波器设计

4.模拟滤波器的频率变换——模拟高通、带通、带阻滤波器的设计归一化频响函数低通归一化拉式复变量低通归一化频率低通拉式复变量低通传输函数；低通AFjGAFjpAFAFjsAFsG)()(的归一化频响函数实际的归一化拉式复变量实际的归一化频率实际拉式复变量”频响函数需要设计的“实际AFjHAFjqAFjsAFsH)()(如果已知低通G(jλ)，高通H(jη)则用下式转换：1()()HjGj11)低通到高通的频率变换λ和η之间的关系为4.模拟滤波器的频率变换——模拟高通、带通、带阻滤波器的设计模拟高通filter的设计方法高通归一化的系统函数H(q)Ha(s)低通归一化的系统函数G(p)模拟高通滤波器指标ALF的指标转换关系1转换关系()()cpsHsGpqp1Csq(2)确定相应低通滤波器的设计指标：将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边界频率(1)确定高通滤波器的技术指标：通带下限频率，阻带上限频率，通带最大衰减，阻带最小衰减。模拟高通滤波器的设计步骤：pssp①低通滤波器通带截止频率；②低通滤波器阻带截止频率；③通带最大衰减仍为，阻带最小衰减仍为。ss/1pp/1ps(5)求模拟高通的H(s)。去归一化，将代入G(q)中qp1()()cpsHsGp(3)设计归一化低通滤波器G(p)。(4)设计归一化高通滤波器G(q)。Csq①高通技术要求：fp=200Hz,αp=3dB;fs=100Hz,αs=15dB②低通技术要求：11,23,15psspsdBdB,5.0,1cfsfscfpfp例6.2.3设计高通滤波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性单调下降，fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减αs=15dB。归一化频率③设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，0.10.1321010.181012lg2.47,3lg1()221psspssppspspkkNNGpppp④求模拟高通H(s)：33223()()222cpcccscpsHsGpsssf112220/,//,/sssslluuluBBBB模拟带通filter的设计方法带通滤波器的指标要求luB202带通滤波器频率特性是正负对称的，故这个变换必须是一对二的映射，它应该是Ω的二次函数λp对应ηuλs对应ηs21202luuup22022sss指标转换公式：边界频率转换成低通的边界频率。202模拟带通filter的设计方法模拟带通滤波器指标ALF的指标转换关系202低通归一化的系统函数G（p）高通归一化的系统函数H(q)qqp202Ha(s)q=s/B22()()()()luulluulspsspsHsGp(1)确定模拟带通滤波器的技术指标，即：带通上限频率，带通下限频率下阻带上限频率,上阻带下限频率121220,,,sslssluuluBBBB通带中心频率，通带宽度通带最大衰减为，阻带最小衰减为：与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：总结模拟带通的设计步骤：ulsp1s2sul20luB(2)确定归一化低通技术要求：通带最大衰减仍为αp，阻带最小衰减亦为αs。22222010211,,sspssss(3)设计归一化低通G(p)。(4)直接将G(p)转换成带通H(s)。3)低通到带阻的频率变换低通与带阻滤波器的频率变换模拟带通filter的设计方法220为低通到带阻的频率变换公式：通带中心频率，通带宽度ul20luBp=jλ，并去归一化s/B，可得上式是直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式。2220()ululsBspss220()()sBpsHsGp下面总结设计带阻滤波器的步骤：(1)确定模拟带阻滤波器的技术要求，即：下通带截止频率,上通带截止频率阻带下限频率，阻带上限频率阻带中心频率，阻带宽度它们相应的归一化边界频率为以及通带最大衰减和阻带最小衰减。ulsp1s2sul20luB121220,,,sslssluuluBBBB(2)确定归一化模拟低通技术要求，即：取λs和λs的绝对值较小的λs；通带最大衰减为，阻带最小衰减为。(3)设计归一化模拟低通G(p)。(4)直接将G(p)转换成带阻滤波器H(s)。12222210201,,sspssss220()()sBpsHsGpsp例6.2.5设计模拟带阻滤波器，其技术要求为：Ωl=2π×905rad/s,Ωs1=2π×980rad/s,Ωs2=2π×1020rad/s,Ωu=2π×1105rad/s,αp=3dB,αs=25dB。试设计巴特沃斯带阻滤波器。解(1)模拟带阻滤波器的技术要求：Ωl=2π×905,Ωu=2π×1105;Ωs1=2π×980,Ωs2=2π×1020;Ω20=ΩlΩu=4π2×1000025,B=ΩuΩl=2π×200;ηl=Ωl/B=4.525,ηu=Ωu/B=5.525;ηs1=Ωs1/B=4.9,ηs2=5.1;η20=ηlηu=25(2)归一化低通的技术要求：222101,4.95,4.953,25spssspsdBdB(3)设计归一化低通滤波器G(p):0.10.121010.05621014.95lg1.8,2lg1()21psspssppspspkkNNGppp(4)带阻滤波器的H(s)为22042240042222240002()()2(2)2sBpssssHsGpsBBsBsHa(s)H(Z)ALF的指标低通归一化的系统函数G(p)转换关系转换关系6.5数字高通、带通和带阻滤波器的设计模拟滤波器指标数字滤波器的指标21tan2T双线性变换法例6.5.1设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率ωp=0.8πrad，通带衰减不大于3dB，阻带截止频率ωs=0.44πrad,阻带衰减不小于15dB。希望采用巴特沃斯型滤波器。(1)数字高通的技术指标为ωp=0.8πrad,αp=3dB;ωs=0.44πrad,αs=15dB(2)模拟高通的技术指标令T=1，则有12tan6.155/,3212tan1.655/,32pppsssradsdBradsdB(3)转化为模拟低通滤波器的技术指标：10.163/,36.15510.604/,151.655ppssradsdBradsdB1,3.71spsp将Ωp和Ωs对3dB截止频率Ωc归一化，这里Ωc=Ωp(4)设计归一化模拟低通滤波器G(p)。模拟低通滤波器的阶数N计算如下：0.10.1lglg1010.18031013.711.31,2psspspspssppkNkNN查表6.2.1，得到归一化模拟低通传输函数G(p)为22221()21()2cccGpppGsss去归一化，将p=s/Ωc代入上式得到：(5)将模拟低通转换成模拟高通。将G(s)的变量换成1/s，得到模拟高通Ha(s)：22221()()21caccsHsGsss(6)用双线性变换法将模拟高通H(s)转换成数字高通H(z)：11121()()azszHzHs实际上(5)、(6)两步可合并成一步，即11112112121212()()0.106(1)0.0653(1)()1.6241.9470.56611.1990.349zszHzGszzHzzzzz例6.5.2设计一个数字带通滤波器，通带范围为0.3πrad到0.4πrad，通带内最大衰减为3dB，0.2πrad以下和0.5πrad以上为阻带，阻带内最小衰减为18dB。采用巴特沃斯型模拟低通滤波器。解(1)数字带通滤波器技术指标为通带上截止频率ωu=0.4πrad通带下截止频率ωl=0.3πrad阻带上截止频率ωs2=0.5πrad阻带下截止频率ωs1=0.2πrad通带内最大衰减αp=3dB，阻带内最小衰减αs=18dB。(2)模拟带通滤波器技术指标如下：设T=1，则有2211012tan1.453/212tan1.019/212tan2/212tan0.650/21.217/0.434/uullssssululradsradsradsradsradsBrads(通带中心频率)(带宽)将以上边界频率对带宽B归一化，得到ηu=3.348,ηl=2.348;ηs2=4.608,ηs1=1.498;η0=2.804(3)模拟归一化低通滤波器技术指标：归一化阻带截止频率222022.902sss归一化通带截止频率λp=1αp=3dB,αs=18dB(4)设计模拟低通滤波器：0.10.11010.1271012.902lg0.1271.940,2lg2.902psspssppkNN查表6.2.1，得到归一化低通传输函数G(p),21()21Gppp(5)将归一化模拟低通转换成模拟带通：(6)通过双线性变换法将Ha(s)转换成数字带通滤波器H(z)。下面将(5)、(6)两步合成一步计算：220()()()ulaspsHsGp11121zsz将上式代入(5)中的转换公式，得1122122120021211212224(1)(1)()2(1)()5.484.57.4816.3135.18806190.868(1)1zsululzszzpszzzzzzz将上面的p等式代入G(p)中，得2412340.021(12)()11.4912.8481.681.273zzHzzzzzMATLAB提供了四个函数lp2lp,lp2hp,lp2bp,lp2bs来完成这些频带变换。以lp2bs（低通到带阻）为例，调用格式为：[numT,denT]=lp2bs(num,den,OmegaZ,B)其中：num,den为低通原型的分子分母系数OmegaZ,B为带阻的中心频率Ωz和阻带宽度BnumT,denT为带阻滤波器的分子分母系数低通Ha(s)数字低通H(Z)ALF的指标低通归一化的系统函数G(p)转换关系数字高通、带通和带阻滤波器的另一种设计模拟滤波器指标数字滤波器的指标21tan2T双线性变换法转换关系模拟低通滤波器变换成数字带通滤波器由低通模拟原型到模拟高通的变换关系为)(112hhcsss根据双线性变换，模拟带通与数字带通之间的S平面与Z平面的关系仍为11112zzTs)(1121121111211hhczzTzzTs模拟低通滤波器变换成数字带阻滤波器由模拟低通原型到模拟带阻的变换关系为hhcsss121)(根据双线性变换，模拟带阻与数字带阻之间的S平面与Z平面的关系仍为11112zzTshhczzTzzTs1211111112)(112设已根据指标要求，设计好了归一化低通滤波器为三阶巴特沃斯型，其传递函数为试设计下列模拟滤波器：(1）通带为1