3.1.1直线倾斜角与斜率

3.1.1直线的倾斜角与斜率勒奈·笛卡尔（RenéDescartes，1596-1650）：法国数学家、科学家和哲学家，堪称17世纪以来欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”.坐标法：以坐标系为桥梁，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法.解析几何坐标法在平面直角坐标系里点用坐标表示:yxo),(yxpyxol思考？一条直线的位置由哪些条件确定呢？直线如何表示呢？直线的位置我们知道，两点确定一条直线。yxo过一点O的直线可以作无数条，可以用直线与X轴的夹角描述它们的倾斜程度一点能确定一条直线的位置吗？一、直线的倾斜角1、直线倾斜角的定义：当直线L与X轴相交时，我们取X轴作为基准，X轴正向与直线L向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角（angleofinclination）yxol注意：(1)直线向上方向；(2)x轴的正方向。下列四图中，表示直线的倾斜角的是()练习：yxoAyxoByxoCyxoDA2、直线倾斜角的范围：当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为，因此，直线的倾斜角的取值范围为：00180xl播放yxo零度角yxo锐角yxo直角yxo钝角按倾斜角去分类，直线可分几类？3、直线倾斜角的意义体现了直线对轴正方向的倾斜程度在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角。倾斜角倾斜程度2l3lx1lyo倾斜角相同能确定一条直线吗？相同倾斜角可作无数互相平行的直线4、如何才能确定直线位置？yxol一点+倾斜角确定一条直线过一点且倾斜角为能不能确定一条直线？（两者缺一不可）能二、直线的的斜率思考?日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？如图，日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即前进量升高量坡度升高量前进量ABCD设直线的倾斜程度为KBCABACkBDABADktantan结论：坡度越大，楼梯越陡．前进升高前进量升高量坡度（比）直线斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率(slope)。用小写字母k表示，即：tank例如：303330tank45145tank60360tank90?k当时90tan()k不存在即不存在思考：当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是多少？xxyo判断正误：①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan②因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平行于y轴的直线的倾斜角不存在③两直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等；④每条直线都有倾斜角。⑤每条直线都有斜率。3、探究：由两点确定的直线的斜率),(111yxP),(222yxP212112,,yyxxQPP且如图，当α为锐角时，能不能构造一个直角三角形去求？tankxyo1x2x1y2y),(12yxQ中在QPPRt12QPQPQPPk1212tantan1212xxyy0锐角xyo),(111yxP),(222yxP),(12yxQ如图，当α为钝角时，2121,,180yyxx且tan)180tan(tan中在12QPPRtQPQP12tan2112xxyy12122112tanxxyyxxyyk02x1x1y2y钝角思考？xyo(3)12(,)Qxy),(111yxP),(222yxPyox(4)12(,)Qxy),(111yxP),(222yxP21pp1、当的位置对调时，值又如何呢？k思考？2、当直线平行于x轴，或与x轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？xyo),(111yxP),(222yxP1x2x1212xxyyk00tan0k答：成立，因为分子为0，分母不为0，K=01、当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？xyo),(111yxP),(222yxP1y2y1212xxyyk思考？不存在不存在k)(90tan,90答：不成立，因为分母为0。4、直线的斜率公式：综上所述，我们得到经过两点),,(111yxP)(21xx),(222yxP的直线斜率公式：)(21211212xxyykxxyyk或2P2P1P1P2、已知直线上两点、，运用上述公式计算直线AB的斜率时，与A、B的顺序有关吗？),(21aaA),(21bbB1122ababkAB1122babakBA答：与A、B两点的顺序无关。判断正误：①直线斜率的取值范围是（-，+）②直线的倾斜角越大，它的斜率就越大.、如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是什么角？yxo..........ABC直线AB的斜率04822ABk2184)8(022BCk14404)2(2CAk直线BC的斜率直线CA的斜率0ABk∵∴直线CA的倾斜角为锐角∴直线BC的倾斜角为钝角。解：∵0CAk∴直线AB的倾斜角为零度角。∵0BCk例1例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2和-3的直线。例题分析4321,,llll及Oxy3l1l2l4lA3A1A2A441113244KKK例，直线的斜率为，倾斜角为，（）若，求的范围（）若，求的范围例3,已知三点A(a,２），Ｂ（５，１），Ｃ（－４，２a）在同一直线上，求a的值练一练l0135l322224lkmml21、已知直线的倾斜角为，且，则l的斜率范围__________2、直线过原点（0，0），且不过第三象限，那么的倾斜角的取值范围是（）A[0,]B[,]C[,){0}D[,]3、直线的斜率=1-（R）,则直线的倾斜角范围是___三、小结：1、直线的倾斜角定义及其范围：18002、直线的斜率定义：tank3、斜率k与倾斜角之间的关系：0tan00090tan090tan()90180tan0kkkk不存在不存在4、斜率公式：)(21211212xxyykxxyyk或)90(a作业：P90A组1,2,3,4,5B组5,6